費馬最後定理 - 藍色情懷

費馬最後定理作者：樑子傑大約在1637 年，當法國業餘數學家費馬（Pierre de Fermat, 1601 - 1665）閱讀古希臘名著《算術》時，在書邊的空白地方， ... 藍色情懷 跳到主文 歡迎光臨藍色情懷在痞客邦的小天地 部落格全站分類：數位生活 相簿 部落格 留言 名片 Jan30Tue200701:43 費馬最後定理 費馬最後定理 作者：樑子傑  大約在1637年，當法國業餘數學家費馬（PierredeFermat,1601-1665）閱讀古希臘名著《算術》時，在書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：「將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。

我對這個命題有一個美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。

」換成現代的數學術語，費馬的意思就即是：「當整數 n>2時，方程xn +yn=zn 沒有整數解。

」   費馬當時相信自己經已發現了一個數學證明，來證明這個現象。

可惜的是，當費馬死後，他的兒子為他收拾書房時，並沒有發現費馬的「美妙證明」。

到底，費馬有沒有證實這個命題呢？又或者，費馬這個命題是否正確呢？   費馬這個命題並不難理解，如果大家用計算機輸入一些數字研究一下，（注意：費馬的時代並未發明任何電子計算工具，）那麼就會「相信」費馬這個命題是正確的。

由於費馬在生時提出的其他數學命題，都經已被證實或否定，就祇剩下這一個看似正確，但無法證明的命題未能獲證，所以數學家就稱它為「費馬最後定理」。

說也奇怪，最先對「費馬最後定理」的證明行出第一步的人，就是費馬本人！有人發現，在費馬的書信中，曾經提及方程 x4+y4=z4 無整數解的證明。

費馬首先假設方程x4 +y4=z 2 是有解的，即是存在三個正整數a 、b和c ，並且a4+b4 剛好等於c2 。

然後他通過「勾股數組」的通解，構作出另外三個正整數e、f和 g，使得e4 +f4=g2並且c>g。

費馬指出這是不可能的，因為如果這是正確的，那麼重覆他的構作方法，就可以構造出一連串遞降的數字，它們全都滿足方程 x4+y4=z 2 。

但是c 是一個有限數，不可能如此無窮地遞降下去！所以前文中假設方程 x4+y4=z 2 有解這個想法不成立，亦即是說方程x4 +y4=z 2無整數解。

又由於方程x4+y4 =z 2是無解的，方程x4 +y4=z4 亦必定無解。

否則將後者的解寫成x4 +y4=(z2)2 就會變成前一個方程的解，從而導出矛盾。

由此可知，當n=4時，「費馬最後定理」成立。

為「費馬最後定理」踏出另一步的人，是瑞士大數學家歐拉（LeonhardEuler,1707-1783）。

他利用了複數a+b√-3的性質，證實了方程x3 +y3=z3無解。

但由於歐拉在他的證明中，在沒有足夠論據的支持下，認為複數 a +b√-3 的立方根必定可以再次寫成a+b√-3 的形式，因此他的證明未算圓滿。

歐拉證明的缺憾，又過了近半個世紀，才由德國數學家高斯（CarlFriedrichGauss,1777-1855）成功地補充。

同時，高斯更為此而引進了「複整數」的概念，即形如 a+b√-k的複數，其中k 為正整數，a和b為整數。

  1823年，七十一歲高齡的法國數學家勒讓德（AdrienMarieLegendre,1752-1833）提出了「費馬最後定理」當 n=5時的證明。

1828 年，年青的德國 數學家狄利克雷（Peter GustavLejeuneDirichlet,1805-1859）亦獨立地證得同樣的結果。

其後，在 1832年，狄利克雷更證明當n=14時，「費馬最後定理」成立。

  1839年，另一位法國人拉梅（Gabriel Lame,1795-1870）就證到n=7。

1847年，拉梅更宣稱他已完成了「費馬最後定理」的證明。

  拉梅將xn+y n分解成(x+y)(x +ry)(x+r2y)…(x+rn-1y)，其中 r=cos(2p/n)+i sin(2p/n)，即方程rn=1的複數根。

如果xn +yn=zn ，那麼拉梅認為每一個(x+rk y)都會是n 次冪乘以一個複數單位，從而可導出矛盾，並能證明「費馬最後定理」成立。

不過，拉梅的證明很快便證實為無效，這是因為拉梅所構作的複數，並不一定滿足「唯一分解定理」。

甚麼是「唯一分解定理」呢？在一般的整數中，每一個合成數都祇可能被分解成一種「質因數連乘式」。

但在某些「複整數」中，情況就未必相同。

例如： 6=2×3=(1+)× (1-)，而在a +b 的複整數中，2、3、(1+)和(1 -) 都是互不相同的質數。

換句話說，形如a +b的複整數，並不符合「唯一分解定理」。

如果能夠滿足「唯一分解定理」，那麼當z n=ab，其中a、b 為兩個互質的整數時，我們就確信可以找到整數u和v ，使得a=un和b =vn 了。

但如果未能滿足「唯一分解定理」，以上的推論就不成立了。

例如： 62=2×3×(1+)×(1-) ，但右方的四個數，都並非是一個平方數，故此，當62=ab時，即使a、b 為兩個互質的整數，我們亦不能肯定a 和b 是不是平方數了！這一點，亦正好是拉梅證明的一大缺口！ 為了解決未能滿足「唯一分解定理」所帶來的問題，德國數學家庫默爾（ErnstEdwardKummer,1810-1893）就提出了「理想數」的想法。

已知n為一個質數。

假設r=cos(2p/n)+i sin(2p/n)，即方程rn=1的複數根，則稱a0+a1r +a2r 2+……+an-1r n-1 為「分圓整數」，其中ai 為整數。

並非每一個分圓整數集合都滿足「唯一分解定理」，但如果能夠加入一個額外的「數」，使到該分圓整數集合滿足「唯一分解定理」，則稱該數為「理想數」。

庫默爾發現，當n為一些特殊的質數時，（他稱之為「正規質數」，）就可以利用「理想數」來證明「費馬最後定理」在這情況下成立。

由此，庫默爾證明了當n <100 時，「費馬最後定理」成立。

  德國商人沃爾夫斯凱爾（PaulFriedrich Wolfskehl,1856-1908）在他的遺囑上訂明，如果有人能夠在他死後一百年內證實「費馬最後定理」，則可以獲得十萬馬克的獎金。

自此，「費馬最後定理」就吸引到世上不同人仕的注意，不論是數學家或者是業餘學者，都紛紛作出他們的「證明」。

在 1909至1934 年間，「沃爾夫斯凱爾獎金」的評審委員會，就收到了成千上萬個「證明」，可惜的是當中並沒有一個能夠成立。

自從經過了兩次世界大戰之後，該筆獎金的已大幅貶值，「費馬最後定理」的吸引力和熱潮，亦慢慢地降低了。

其實，研究「費馬最後定理」有甚麼好處呢？首先，就是可以滿足人類的求知慾。

「費馬最後定理」是一道簡單易明的命題，但是它的證明卻並非一般人所能 理解，這已經是一個非常之有趣的事情。

其次，在證明該定理的過程之中，我們發現了不少新的數學現象，產生了不少新的數學工具，同時亦豐富了我們對數學，特 別是數論的知識。

有數學家更認為，「費馬最後定理」就好像一隻會生金蛋的母雞，由它所衍生出來的數學理論，例如：「唯一分解定理」、「分圓整數」、「理想 數」……等等，都是人類思想中最珍貴的產物。

在「數論」的研究之中，有一門分枝不可不提，它就是「橢圓曲線」。

「橢圓曲線」並非橢圓形，它是計算橢圓周長時的一件「副產品」。

但「橢圓曲線」本身卻有著一些非常有趣的數學性質，吸引著數學家的注視。

簡單來說，「橢圓曲線」就是滿足方程y 2=x3+ax2+bx+c 的點所組成的曲線，其中a、b和c為有理數使方程x3+ax2+bx +c=0有不同的根。

在曲線上定一個有理點O。

不難證明，當直線穿過兩個位於曲線上的有理點 A和B 後，該直線必定與曲線再相交於第三個有理點C。

由O 和C再在曲線上得有理點D。

我們可以將曲線上的有理點以A+B=D為定義看成一個「群」。

由於以上性質可以用來解答很多相關的數學問題，故此「橢圓曲線」就成為數學研究的一個焦點。

現時，「橢圓曲線」的理論，就主要應用在現代編寫通訊密碼的技術之上。

提到「橢圓曲線」，又不可不提「谷山—志村猜想」了。

  1954年，志村五郎在東京大學結識了比他小一歲的谷山豊（1927-1958），之後，就開始了二人對「模形式」的研究。

「模形式」，起源於法國數學家龐加萊（HenryPoincare,1854-1912）對「自守函數」的研究。

所謂「自守函數」，可以說是「週期函數」的推廣，而「模形式」則可以理解為在複平面上的「週期函數」。

  1955年，谷山開始提出他的驚人猜想。

1958年，谷山突然自殺身亡。

其後，志村繼續谷山的研究，總結出以下的一個想法：「每條橢圓曲線，都可以對應一個模形式。

」之後，人們就稱這猜想為「谷山—志村猜想」。

起初，大多數數學家都不相信這個猜想，但經過十多年的反覆檢算後，又沒有理據可以將它推翻。

到了 70 年代，相信「谷山—志村猜想」的人越來越多，甚至以假定「谷山—志村猜想」成立的前提下進行他們的論證。

  1984年秋，德國數學家弗賴（Gerhand Frey），在一次數學會議上，提出了以下的觀點： 首先，假設「費馬最後定理」不成立。

即能夠發現正整數A、B、 C和N，使得 AN +BN=CN 。

於是利用這些數字構作橢圓曲線：y 2=x(x-AN)(x+ BN)。

弗賴 發現這條曲線有很多非常特別的性質，特別到不可能對應於任何一個「模形式」！換句話說，弗賴認為：如果「費馬最後定理」不成立，那麼「谷山—志村猜想」也是錯的！但倒轉來說，如果「谷山—志村猜想」成立，那麼「費馬最後定理」就必定成立！因此，弗賴其實是指出了一條證明「費馬最後定理」的新路徑：這就是去證明「谷山—志村猜想」！ 可惜的是，弗賴在1984 年的證明犯錯，並未能成功地證實他的觀點。

不過，美國數學家裡貝特（KennethRibet），經過多次失敗後，終於在1986年證實了有關的問題。

似乎，要證明「費馬最後定理」，現在祇需要證明「谷山—志村猜想」就可以了。

但是自從該猜想被提出以來，已經歷過差不多三十年的時間，數學家對這個證明，亦沒有多大的進展。

不過，在這時候，英國數學家懷爾斯就開始他偉大而艱巨的工作。

  懷爾斯（AndrewWiles），出生於1953年。

10 歲已立志要證明「費馬最後定理」。

1975 年，開始在劍橋大學進行研究，專攻「橢圓曲線」和「岩澤理論」。

在取得博士學位之後，就轉到美國的普林斯頓大學繼續工作。

當他知道裡貝特證實了弗賴的猜想後，就決定放棄當時手上的所有研究，專心於「谷山—志村猜想」的證明。

由於他不想被人騷擾，他更決定要秘密地進行此項工作。

經過了七年的秘密工作後，懷爾斯認為他已證實了「谷山—志村猜想」，並且在 1993年6月23日，在劍橋大學的牛頓研究所中，以「模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示論」為題，發表了他對「谷山—志村猜想」對半穩定橢圓曲線（即「費馬最後定理」）的證明。

當日的演講非常成功，「費馬最後定理」經已被證實的消息，很快就傳遍世界。

不過，當懷爾斯將他長達二百頁的證明送給數論專家審閱時，卻發現當中出現漏洞。

起初，懷爾斯以為很容易便可以將這個漏洞修補，但事與願違，到了 1993 年的年底，他承認他的證明出現問題，而且要一段時間才可解決。

到了1994年的9 月，懷爾斯終於突破了證明中的障礙，成功地完成了一項人類史上的創舉，證實了「費馬最後定理」。

1995年5月，懷爾斯的證明，發表在雜誌《數學年鑑》之中。

到了 1997年6月27日，懷爾斯更獲得價值五萬美元的「沃爾夫斯凱爾獎金」，實現了他的童年夢想，正式地結束了這個長達 358年的數學證明故事。

從費瑪最後定理的歷史中可以發現，有許多研究成果，都是研究人員燃燒熱情，試圖提出「有趣」的命題，然後再嘗試用邏輯驗證。

費瑪最後定理：x n+yn=zn當n>2時，不存在整數解 1.1963年安德魯‧懷爾斯AndrewWiles被埃裡克‧坦普爾‧貝爾EricTempleBell的一本書吸引，「最後問題TheLastProblem」，故事從這裡開始。

2.畢達哥拉斯Pythagoras定理，任一個直角三角形，斜邊的平方=另外兩邊的平方和 x2+y2=z2 畢達哥拉斯三元組：畢氏定理的整數解 3.費瑪Fermat在研究丟番圖Diophantus的「算數」第2卷的問題8時，在頁邊寫下了註記 「不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高於2次冪，寫成兩個同樣次冪的和。

」 「對這個命題我有一個十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。

」 4.1670年，費瑪Fermat的兒子出版了載有Fermat註記的「丟番圖的算數」 5.在Fermat的其他註記中，隱含了對n=4的證明=>n=8,12,16,20...時無解 萊昂哈德‧歐拉LeonhardEuler證明了n=3時無解=>n=6,9,12,15...時無解 3是質數，現在只要證明費瑪最後定理對於所有的質數都成立 但歐基裡德證明「存在無窮多個質數」 6.1776年索菲‧熱爾曼針對(2p+1)的質數，證明了費瑪最後定理"大概"無解 7.1825年古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷和阿得利昂-瑪利埃‧勒讓德延伸熱爾曼的證明，證明了n=5無解。

8.1839年加布里爾‧拉梅GabrielLame證明了n=7無解。

9.1847年拉梅與奧古斯汀‧路易斯‧科西AugustiLouisCauchy同時宣稱已經證明了費瑪最後定理。

最後是劉維爾宣讀了恩斯特‧庫默爾ErnstKummer的信，說科西與拉梅的證明，都因為「虛數沒有唯一因子分解性質」而失敗，庫默爾證明了費瑪最後定理的完整證明是當時數學方法不可能實現的。

10.1908年保羅‧沃爾夫斯凱爾PaulWolfskehl補救了庫默爾的證明 這表示費瑪最後定理的完整證明，尚未被解決，沃爾夫斯凱爾提供了10萬馬克給提供證明的人，期限是到2007年9月13日止。

11.1900年8月8日大衛‧希爾伯特，提出數學上23個未解決的問題且相信這是迫切需要解決的重要問題。

12.1931年庫特‧哥德爾不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合論是相容的，那麼存在既不能證明又不能否定的定理。

=>完全性是不可能達到的 第二不可判定性定理：不存在能證明公理系統是相容的構造性過程。

=>相容性永遠不可能證明 13.1963年保羅‧科恩PaulCohen發展了可以檢驗給定問題是不是不可判定的方法（只適用少數情形） 證明希爾伯特23個問題中，其中一個「連續統假設」問題是不可判定的，這對於費瑪最後定理來說是一大打擊 14.1940年阿倫‧圖靈AlanTuring發明破譯Enigma編碼的反轉機 開始有人利用暴力解決方法，要對費瑪最後定理的n值一個一個加以證明。

15.1988年內奧姆‧埃爾基斯NaomElkies對於Euler提出的x 4+y4+z4=w4不存在解這個推想，找到了一個反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年安德魯‧懷爾斯AndrewWiles師承約翰‧科次，研究橢圓曲線 研究橢圓曲線的目的是要算出他們的整數解，這跟費瑪最後定理一樣 ex:y2=x3-2只有一組整數解52=33-2 (費瑪證明宇宙中指存在一個數26，他是夾在一個平方數與一個立方數中間) 由於要直接找出橢圓曲線是很困難的，為了簡化問題，數學家採用「時鍾運算」方法 在五格時鍾運算中，4+2=1 橢圓方程式x3-x2=y2+y 所有可能的解為(x,y)=(0,0)(0,4)(1,0)(1,4)，然後可用E5=4來代表在五格時鍾運算中，有四個解 對於橢圓曲線，可寫出一個E序列E1=1,E2=4,..... 17.1954年至村五郎與谷山豐研究具有非同尋常的對稱性的modularform模型式 模型式的要素可從1開始標號到無窮（M1,M2,M3,...） 每個模型式的M序列要素個數可寫成M1=1M2=3....這樣的範例 1955年9月提出模型式的M序列可以對應到橢圓曲線的E序列，兩個不同領域的理論突然被連接在一起 安德列‧韋依採納這個想法，「谷山-志村猜想」 18.朗蘭茲提出「朗蘭茲綱領」的計畫，一個統一化猜想的理論，並開始尋找統一的環鏈 19.1984年格哈德‧弗賴GerhardFrey提出 (1)假設費瑪最後定理是錯的，則xn+yn=zn有整數解，則可將方程式轉換為y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN這樣的橢圓方程式 (2)弗賴橢圓方程式太古怪了，以致於無法被模型式化 (3)谷山-志村猜想斷言每一個橢圓方程式都可以被模型式化 (4)谷山-志村猜想是錯誤的 反過來說 (1)如果谷山-志村猜想是對的，每一個橢圓方程式都可以被模型式化 (2)每一個橢圓方程式都可以被模型式化，則不存在弗賴橢圓方程式 (3)如果不存在弗賴橢圓方程式，那麼xn+yn=zn沒有整數解 (4)費瑪最後定理是對的 20.1986年肯‧貝里特證明弗賴橢圓方程式無法被模型式化 如果有人能夠證明谷山-志村猜想，就表示費瑪最後定理也是正確的 21.1986年安德魯‧懷爾斯AndrewWiles開始一個小陰謀，他每隔6個月發表一篇小論文，然後自己獨力嘗試證明谷山-志村猜想，策略是利用歸納法，加上埃瓦裡斯特‧伽羅瓦的群論，希望能將E序列以「自然次序」一一對應到M序列 22.1988年宮岡洋一發表利用微分幾何學證明谷山-志村猜想，但結果失敗 23.1989年安德魯‧懷爾斯AndrewWiles已經將橢圓方程式拆解成無限多項，然後也證明了第一項必定是模型式的第一項，也嘗試利用依娃沙娃Iwasawa理論，但結果失敗 24.1992年修改科利瓦金-弗萊契方法，對所有分類後的橢圓方程式都奏效 25.1993年尋求同事尼克‧凱茲NickKatz的協助，開始對驗證證明 26.1993年5月「L-函數和算術」會議，安德魯‧懷爾斯AndrewWiles發表谷山-志村猜想的證明 27.1993年9月尼克‧凱茲NickKatz發現一個重大缺陷 安德魯‧懷爾斯AndrewWiles又開始隱居，嘗試獨力解決缺陷，他不希望在這時候公佈證明，讓其他人分享完成證明的甜美果實 28.安德魯‧懷爾斯AndrewWiles在接近放棄的邊緣，在彼得‧薩納克的建議下，找到理查德‧泰勒的協助 29.1994年9月19日發現結合依娃沙娃Iwasawa理論與科利瓦金-弗萊契方法就能夠完全解決問題 30.「谷山-志村猜想」被證明了，故得證「費瑪最後定理」 參考書目 《費瑪最後定理》　　作者：賽門　辛　　出版社：臺灣商務印書館 《費馬最後定理》　　作者：艾克塞爾　　出版社：時報出版 《費馬猜想》　　　　作者：姚玉強　　　出版社：九章出版社     關於懷爾斯解決費馬最後定理的一些補充說明 ThefinalstagesinprovingFermat'sLastTheorem IsTherea「Simple」ProofofFermat'sLastTheorem? ASimpleProofofFermat'sLastTheorem SolvingFermat:AndrewWiles TheMathematicsofFermat'sLastTheorem TheProofofFermat'sLastTheorem AnotherproofforFermat'slasttheorem Fermat's LastTheoremissolvedusingthebinomialseries Fermat'slasttheorem-anelementaryproofbyNicodeJong(1992) TheProofofFermatsLastTheorembyR.TaylorandA.Wiles AShort-FormProofofFermat'sLastTheorem Fermat'slasttheoremWasWiles'proofreallyfirst?  http://www.ams.org/new-in-math/fermat.html http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html http://www.ams.org./notices/199710/barner.pdf   全站熱搜 創作者介紹 Bluelove1968 藍色情懷 Bluelove1968發表在痞客邦留言(0)人氣() E-mail轉寄 全站分類：不設分類個人分類：♥♡♥趣味數學/數學家小傳♥♡♥上一篇：《幾何原本》淺釋 下一篇：ErnstEduardKummer(29January1810-14May1893) ▲top 留言列表 禁止留言 回到頁首 回到主文 免費註冊 客服中心 痞客邦首頁 ©2003-2022PIXNET 關閉視窗