GeoGebra 教學10：向量積（3D繪圖區）

GeoGebra 教學10：向量積（3D繪圖區） > 作者：王一哲> 日期：2019/4/7 **向量積** (vector product) 也稱為**叉積** (cross produ.       Published LinkedwithGitHub Like Bookmark Subscribe #GeoGebra教學10：向量積（3D繪圖區） >作者：王一哲 >日期：2019/4/7 **向量積**(vectorproduct)也稱為**叉積**(crossproduct)，在高中數學課本中被稱為外積，但是在數學上有另一個外積(outerproduct)，兩者是不同的。

假設向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$分別定義為 $$\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)$$ $$\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)$$ 則兩者的向量積為 $$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \hati&\hatj&\hatk\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix} =(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2)$$ 也可以利用降階寫成3個2乘以2的行列式 $$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} y_1&z_1\\ y_2&z_2 \end{vmatrix}\hati- \begin{vmatrix} x_1&z_1\\ x_2&z_2 \end{vmatrix}\hatj+ \begin{vmatrix} x_1&y_1\\ x_2&y_2 \end{vmatrix}\hatk =(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2)$$ --- 配合目前高中數學課本使用的符號再寫一次，假設向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$分別定義為 $$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$$ $$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$$ 則兩者的向量積為 $$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \hati&\hatj&\hatk\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix} =(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$$ 也可以利用降階寫成3個2乘以2的行列式 $$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} a_2&a_3\\ b_2&b_2 \end{vmatrix}\hati- \begin{vmatrix} a_1&a_3\\ b_1&b_3 \end{vmatrix}\hatj+ \begin{vmatrix} a_1&a_2\\ b_2&b_2 \end{vmatrix}\hatk =(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$$ 通常用會下圖幫助學生記得運算規則，將向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$各寫兩次，再刪除頭、尾兩欄，接下來每兩欄為一組，左上、右下兩者相乘減掉右上、左下兩者相乘，即可寫出$(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$。

向量積運算
--- 相當於是向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$在空間中形成的平行四邊形的法向量。

若$\mathbf{a}$與$\mathbf{b}$的夾角為$\theta$，則$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$的量值相檔於取$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$的垂直量相乘，即 $$ c=ab\sin\theta $$
本次課程檔案已上傳至GeoGebraTube，可以線上操作或下載檔案，網址為https://ggbm.at/upfavbyq 向量積
##繪圖步驟 1.由於向量積運算的結果會和相乘的兩個向量垂直，必須開啟**3D繪圖區**才能顯示圖形，我們先由**檢視**⇒**3D繪圖區**或是快速鍵**Ctrl+Shift+3**開啟3D繪圖區。

開啟3D繪圖區選單
3D繪圖區
2.用以下指令新增點O、A、B。

```latex O=Point({0,0,0}) A=Point({4,0,0}) B=Point({2,3,4}) ``` 3.用以下指令新增向量u、v。

```latex u=Vector(O,A) v=Vector(O,B) ``` 4.將點A沿著向量v平移，畫出點C。

```latex C=Point(A,v) ``` 5.用以下指令畫出平行四邊形OACB。

```latex Polygon(O,A,C,B) ``` 向量積繪圖步驟1~5
6.用以下指令畫出平行四邊形OACB的中點D。

```latex D=Midpoint(O,C) ``` 7.計算$\mathbf{u}\times\mathrm{v}$並命名為向量w。

```latex w=Cross(u,v) ``` 8.將點D沿著向量w平移，再畫出向量$\mathbf{area}=\overrightarrow{DD'}$ ```latex D'=Point(D,w) area=Vector(D,D') ``` 可以將步驟7、8合併為一行指令 ```latex area'=Vector(D,Point(D,Cross(u,v))) ``` 向量積繪圖最終成果
##相關指令的官方說明書 1.點https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command 2.向量https://wiki.geogebra.org/en/Vector_Command 3.多邊形https://wiki.geogebra.org/en/Polygon_Command 4.中心點https://wiki.geogebra.org/en/Midpoint_Command 5.向量積https://wiki.geogebra.org/en/Cross_Command
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