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多項式函數圖形的平移（Translations of A Graph of A Polynomial Function） 國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農 ... Sunday24thJuly2022 24-Jul-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 多項式函數圖形的平移（TranslationsofAGraphofAPolynomialFunction） 國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯 摘要:本文說明將多項式函數\(f(x)\)的圖形沿平行\(x\)軸方向移動\(h\)單位，沿平行\(y\)軸方向移動\(k\)單位，則新圖形是多項式函數\(f(x-h)+k\)的圖形。

國中數學中已學過二次函數\(f(x)=ax^2+bx+c\)的圖形是拋物線，並且可利用配方法將函數寫成\(f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)，得拋物線的頂點坐標為\(V(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。

反過來，若給定二次項係數\(a\)及頂點坐標\(V(x_0,y_0)\)，就可以立刻寫出符合條件的二次函數\(f(x)=a(x-x_0)^2+y_0\)。

例如二次函數\(f(x)\)的首項係數為\(\frac{1}{2}\)，頂點坐標為\((-1,2)\)，則\(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\)。

接下來，若我們將二次函數的圖形平移（大小、開口方向均保持不變），則僅要知道平移後的頂點坐標，即可得到平移後的函數。

以符號表示，將\(f(x)=a(x-x_0)^2+y_0\)沿平行\(x\)軸方向移動\(h\)單位（\(h>0\)時表示向右平移，\(h<0\)時表示向左平移），沿平行\(y\)軸方向移動\(k\)單位（\(k>0\)時表示向上平移，\(k<0\)時表示向下平移），則新的頂點為\((x_0+h,y_0+k)\)，也就是說平移後的二次函數為\(g(x)=a(x-x_0-h)^2+y_0+k\)。

由此我們還可以得知，任兩個首項係數相同的二次函數，其圖形經過平移後可完全重疊。

在二次函數中，我們可以藉助頂點平移後的新坐標，輕易地寫出新的二次函數。

然而，在一般多項式函數中，該怎麼求出圖形平移後的新函數呢？仿照二次函數頂點平移的想法，我們也可以得到很棒的結論。

若點\(P(x_0,y_0)\)是函數\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)圖形上的任一點， 則會滿足\(y_0=a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0+a_0\)。

今將\(f(x)\)的圖形沿平行\(x\)軸方向移動\(h\)單位，沿平行\(y\)軸方向移動\(k\)單位， 那點\(P\)就會平移至點\(P'(x_0+h,y_0+k)\)， 此時點\(P’\)會在函數\(g(x)=a_n(x-h)^n+a_{n-1}(x-h)^{n-1}+\cdotsa_1(x-h)+a_0+k\)的圖形上（將\(P’\)點坐標代入\(g(x)\)中驗證即知）， 也就是說，函數\(f(x)\)圖形上的任一點在平移後，都會落在函數\(g(x)\)的圖形上。

反過來，若點\(Q(\alpha,\beta)\)在函數\(g(x)\)的圖形上，即 \(\beta=a_n(\alpha-h)^n+a_{n-1}(\alpha-h)^{n-1}+\cdots+a_1(\alpha-h)+a_0+k\) \(\Rightarrow\beta-k=a_n(\alpha-h)^n+a_{n-1}(\alpha-h)^{n-1}+\cdots+a_1(\alpha-h)+a_0\) \(\Rightarrow(\alpha-h,\beta-k)\)滿足\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) \(\Rightarrow\)點\((\alpha-h,\beta-k)\)在函數\(f(x)\)的圖形上。

換句話說，函數\(g(x)\)的圖形上的點，都可以在函數\(f(x)\)圖形上找一點平移而得到。

因此，函數\(g(x)\)可表示成\(f(x-h)+k\)，因此，我們得到下面的結論： 將多項式函數\(f(x)\)的圖形沿平行\(x\)軸方向移動\(h\)單位，沿平行\(y\)軸方向移動\(k\)單位， 則新圖形是多項式函數\(f(x-h)+k\)的圖形。

例如：將\(f(x)=x^3+1\)的圖形右移\(1\)單位、下移\(2\)單位，則新圖形為函數\(g(x)=(x-1)^3-1\)的圖形。

事實上，上述的結論可還以推廣到一般函數都成立，不僅限於多項式函數，有興趣的讀者可模仿上述的推論方式，自行推導看看。

參考資料： 林福來等 (2011)，《普通高級中學數學第一冊》，南一書局。

Tags:圖形的平移,多項式函數 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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