四次方程式- 維基百科，自由的百科全書

1 四次方程的解法 · 2 特殊情況. 2.1 名義上的四次方程; 2.2 雙二次方程 · 3 費拉里的方法. 3.1 轉變成減少次數的四次方程; 3.2 費拉里的解法. 3.2.1 轉化嵌套的三次方程為 ... 四次方程式 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 此條目需要精通或熟悉相關主題的編者參與及協助編輯。

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y = 7 x 4 + 9 x 3 − 24 x 2 − 28 x + 48 {\displaystyley=7x^{4}+9x^{3}-24x^{2}-28x+48} 的圖形 四次方程式，是未知數最高次數不超過四次的多項式方程式。

一個典型的一元四次方程式的通式為： a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyleax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,} 其中 a ≠ 0 {\displaystylea\neq0\,} 本篇只討論一元四次方程式，並簡稱為四次方程式。

目次 1四次方程的解法 2特殊情況 2.1名義上的四次方程 2.2雙二次方程 3費拉里的方法 3.1轉變成減少次數的四次方程 3.2費拉里的解法 3.2.1轉化嵌套的三次方程為降低次數的三次方程 3.2.2解嵌套的降低次數的三次方程 3.2.3配成完全平方項 3.2.4費拉里方法的概要 3.3笛卡兒方法 4歐拉的方法 5其它方法 5.1化為雙二次方程 5.2埃瓦里斯特·伽羅瓦的理論和因式分解 5.3求根公式 6參見 7文獻 四次方程式的解法[編輯] 數學家們為了解開四次方程式——確切地說，找到解開四次方程式的方法——做出了許多努力。

像其它多項式一樣，有時可以對四次方程式進行因式分解；但高次冪下的因式分解往往非常困難，尤其是當根是無理數或複數時。

因此找到一個公式解（就像二次方程式的求根公式那樣，能解所有的一元二次方程式）意義重大。

經過諸多研究後，數學家們終於找到了四次方程式的公式解。

不過之後埃瓦里斯特·伽羅瓦證明，求根公式止步於四次方程式，更高次冪的方程式無法通過固定的公式求出。

對於五次及以上的方程式，需要一種更為有效的方式來求解。

由於四次方程式的複雜性（參見下文），求解公式並不常用。

如果只要求求解有理實根，可以使用試錯法，該方法對於任意次數的多項式求解都有效。

或是使用魯菲尼法則求出，前提是所給的多項式的係數都是有理的。

利用計算機編程，通過牛頓法等數值方法，可以輕易得到任意次方程式的實數（數值）解。

特殊情況[編輯] 名義上的四次方程式[編輯] 如果 e = 0 {\displaystylee=0\,} ，那麼其中一個根為 x = 0 {\displaystylex=0\,} ，其它根可以通過消去四次項，並解產生的三次方程式, a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyleax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,} 雙二次方程式[編輯] 四次方程式式中若 b   {\displaystyleb\} 和 d   {\displaystyled\} 均為 0   {\displaystyle0\} 者有下列形態： a x 4 + c x 2 + e = 0 {\displaystyleax^{4}+cx^{2}+e=0\,\!} 因此它是一個雙二次方程式式。

解雙二次方程式式非常容易，只要設 z = x 2 {\displaystylez=x^{2}\,} ，我們的方程式式便成為： a z 2 + c z + e = 0 {\displaystyleaz^{2}+cz+e=0\,\!} 這是一個簡單的二次方程式式，其根可用二次方程式式的求根公式來解： z = − c ± c 2 − 4 a e 2 a {\displaystylez={{-c\pm{\sqrt{c^{2}-4ae}}}\over{2a}}\,\!} 當我們求得z的值以後，便可以從中得到 x {\displaystylex\,} 的值： x 1 = + z 1 {\displaystylex_{1}=+{\sqrt{z_{1}}}\,\!} x 2 = − z 1 {\displaystylex_{2}=-{\sqrt{z_{1}}}\,\!} x 3 = + z 2 {\displaystylex_{3}=+{\sqrt{z_{2}}}\,\!} x 4 = − z 2 {\displaystylex_{4}=-{\sqrt{z_{2}}}\,\!} 若任何一個 z {\displaystylez\,} 的值為負數或複數，那麼一些 x {\displaystylex\,} 的值便是複數。

費拉里的方法[編輯] 開始時，四次方程式首先要被轉化為低級的四次方程式式。

轉變成減少次數的四次方程式[編輯] 要讓以下四次方程式式變成標準的四次方程式式，先在等式兩邊分別除以 a {\displaystylea\,} a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 ( 1 ′ ) {\displaystyleax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad\qquad(1')} x 4 + b a x 3 + c a x 2 + d a x + e a = 0. {\displaystylex^{4}+{b\overa}x^{3}+{c\overa}x^{2}+{d\overa}x+{e\overa}=0.} 第一步：消除 x 3 {\displaystylex^{3}\,} 列。

為了做到這一步，先把變數 x {\displaystylex\,} 變成 u {\displaystyleu\,} ，其中 x = u − b 4 a {\displaystylex=u-{b\over4a}} . 將變數替換： ( u − b 4 a ) 4 + b a ( u − b 4 a ) 3 + c a ( u − b 4 a ) 2 + d a ( u − b 4 a ) + e a = 0. {\displaystyle\left(u-{b\over4a}\right)^{4}+{b\overa}\left(u-{b\over4a}\right)^{3}+{c\overa}\left(u-{b\over4a}\right)^{2}+{d\overa}\left(u-{b\over4a}\right)+{e\overa}=0.} 展開後變成： ( u 4 − b a u 3 + 6 u 2 b 2 16 a 2 − 4 u b 3 64 a 3 + b 4 256 a 4 ) + b a ( u 3 − 3 u 2 b 4 a + 3 u b 2 16 a 2 − b 3 64 a 3 ) + c a ( u 2 − u b 2 a + b 2 16 a 2 ) + d a ( u − b 4 a ) + e a = 0. {\displaystyle\left(u^{4}-{b\overa}u^{3}+{6u^{2}b^{2}\over16a^{2}}-{4ub^{3}\over64a^{3}}+{b^{4}\over256a^{4}}\right)+{b\overa}\left(u^{3}-{3u^{2}b\over4a}+{3ub^{2}\over16a^{2}}-{b^{3}\over64a^{3}}\right)+{c\overa}\left(u^{2}-{ub\over2a}+{b^{2}\over16a^{2}}\right)+{d\overa}\left(u-{b\over4a}\right)+{e\overa}=0.} 整理後變成以u為變數的表達式 u 4 + ( − 3 b 2 8 a 2 + c a ) u 2 + ( b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a ) u + ( − 3 b 4 256 a 4 + b 2 c 16 a 3 − b d 4 a 2 + e a ) = 0. {\displaystyleu^{4}+\left({-3b^{2}\over8a^{2}}+{c\overa}\right)u^{2}+\left({b^{3}\over8a^{3}}-{bc\over2a^{2}}+{d\overa}\right)u+\left({-3b^{4}\over256a^{4}}+{b^{2}c\over16a^{3}}-{bd\over4a^{2}}+{e\overa}\right)=0.} 現在改變表達式的係數，為 α = − 3 b 2 8 a 2 + c a , {\displaystyle\alpha={-3b^{2}\over8a^{2}}+{c\overa},} β = b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a , {\displaystyle\beta={b^{3}\over8a^{3}}-{bc\over2a^{2}}+{d\overa},} γ = − 3 b 4 256 a 4 + b 2 c 16 a 3 − b d 4 a 2 + e a . {\displaystyle\gamma={-3b^{4}\over256a^{4}}+{b^{2}c\over16a^{3}}-{bd\over4a^{2}}+{e\overa}.} 結果就是我們期望的低級四次方程式式，為 u 4 + α u 2 + β u + γ = 0 ( 1 ) {\displaystyleu^{4}+\alphau^{2}+\betau+\gamma=0\qquad\qquad(1)} 如果 β = 0 {\displaystyle\beta=0\,} 那麼等式就變成了雙二次方程式式，更加容易解決（解釋上面）；利用反向替代，我們可以獲得我們要解決的變數 x {\displaystylex\,} 的值. 費拉里的解法[編輯] 這種降低的四次方程式的方法是被費拉里發現的，然而，這種方式曾經被發現過。

接下來，利用一個恆等式 ( u 2 + α ) 2 − u 4 − 2 α u 2 = α 2 {\displaystyle(u^{2}+\alpha)^{2}-u^{4}-2\alphau^{2}=\alpha^{2}\,} 從方程式(1)和上式，得出： ( u 2 + α ) 2 + β u + γ = α u 2 + α 2 . ( 2 ) {\displaystyle(u^{2}+\alpha)^{2}+\betau+\gamma=\alphau^{2}+\alpha^{2}.\qquad\qquad(2)} 結果把 u 4 {\displaystyleu^{4}\,} 配成了完全平方式： ( u 2 + α ) 2 {\displaystyle(u^{2}+\alpha)^{2}\,} 。

左式中， α u 2 {\displaystyle\alphau^{2}\,} 並不出現，但其符號已改變並被移到右邊。

下一步是在方程式 ( 2 ) {\displaystyle\left(2\right)\,} 左邊的完全平方中插入變數 y {\displaystyley\,} ，相應地在右邊插入一項 2 y {\displaystyle2y\,} 。

根據恆等式 ( u 2 + α + y ) 2 − ( u 2 + α ) 2 = 2 y ( u 2 + α ) + y 2     = 2 y u 2 + 2 y α + y 2 , {\displaystyle{\begin{matrix}(u^{2}+\alpha+y)^{2}-(u^{2}+\alpha)^{2}&=&2y(u^{2}+\alpha)+y^{2}\\\\&=&2yu^{2}+2y\alpha+y^{2},\end{matrix}}} 及 0 = ( α + 2 y ) u 2 − 2 y u 2 − α u 2 {\displaystyle0=(\alpha+2y)u^{2}-2yu^{2}-\alphau^{2}\,} 兩式相加，可得 ( u 2 + α + y ) 2 − ( u 2 + α ) 2 = ( α + 2 y ) u 2 − α u 2 + 2 y α + y 2 {\displaystyle(u^{2}+\alpha+y)^{2}-(u^{2}+\alpha)^{2}=(\alpha+2y)u^{2}-\alphau^{2}+2y\alpha+y^{2}\qquad\qquad} （ y {\displaystyley\,} 的插入） 與等式(2)相加，得 ( u 2 + α + y ) 2 + β u + γ = ( α + 2 y ) u 2 + ( 2 y α + y 2 + α 2 ) {\displaystyle(u^{2}+\alpha+y)^{2}+\betau+\gamma=(\alpha+2y)u^{2}+(2y\alpha+y^{2}+\alpha^{2})\,} 也就是 ( u 2 + α + y ) 2 = ( α + 2 y ) u 2 − β u + ( y 2 + 2 y α + α 2 − γ ) . ( 3 ) {\displaystyle(u^{2}+\alpha+y)^{2}=(\alpha+2y)u^{2}-\betau+(y^{2}+2y\alpha+\alpha^{2}-\gamma).\qquad\qquad(3)} 現在我們需要尋找一個 y {\displaystyley\,} 值，使得方程式 ( 3 ) {\displaystyle\left(3\right)\,} 的右邊為完全平方。

而這只要令二次方程式的判別式為零。

為此，首先展開完全平方式為二次式： ( s u + t ) 2 = ( s 2 ) u 2 + ( 2 s t ) u + ( t 2 ) {\displaystyle(su+t)^{2}=(s^{2})u^{2}+(2st)u+(t^{2})\,} 右邊的二次式有三個係數。

可以驗證，把第二項係數平方，再減去第一與第三項係數之積的四倍，可得到零： ( 2 s t ) 2 − 4 ( s 2 ) ( t 2 ) = 0 {\displaystyle(2st)^{2}-4(s^{2})(t^{2})=0\,} 因此，為了使方程式(3)的右邊為完全平方，我們必須解出下列方程式： ( − β ) 2 − 4 ( 2 y + α ) ( y 2 + 2 y α + α 2 − γ ) = 0 {\displaystyle(-\beta)^{2}-4(2y+\alpha)(y^{2}+2y\alpha+\alpha^{2}-\gamma)=0\,} 把二項式與多項式相乘， β 2 − 4 [ 2 y 3 + 5 α y 2 + ( 4 α 2 − 2 γ ) y + ( α 3 − α γ ) ] = 0 {\displaystyle\beta^{2}-4[2y^{3}+5\alphay^{2}+(4\alpha^{2}-2\gamma)y+(\alpha^{3}-\alpha\gamma)]=0\,} 兩邊除以 4 {\displaystyle4\,} ，再把 − β 2 4 {\displaystyle-{\frac{\beta^{2}}{4}}\,} 移動到右邊， 2 y 3 + 5 α y 2 + ( 4 α 2 − 2 γ ) y + ( α 3 − α γ − β 2 4 ) = 0 {\displaystyle2y^{3}+5\alphay^{2}+(4\alpha^{2}-2\gamma)y+\left(\alpha^{3}-\alpha\gamma-{\beta^{2}\over4}\right)=0\qquad\qquad} 這是關於 y {\displaystyley\,} 的三次方程式。

兩邊除以 2 {\displaystyle2\,} ， y 3 + 5 2 α y 2 + ( 2 α 2 − γ ) y + ( α 3 2 − α γ 2 − β 2 8 ) = 0. ( 4 ) {\displaystyley^{3}+{5\over2}\alphay^{2}+(2\alpha^{2}-\gamma)y+\left({\alpha^{3}\over2}-{\alpha\gamma\over2}-{\beta^{2}\over8}\right)=0.\qquad\qquad(4)} 轉化嵌套的三次方程式為降低次數的三次方程式[編輯] 方程式 ( 4 ) {\displaystyle\left(4\right)\,} 是嵌套的三次方程式。

為了解方程式 ( 4 ) {\displaystyle\left(4\right)\,} ，我們首先用換元法把它轉化為減少次數的三次方程式： y = v − 5 6 α . {\displaystyley=v-{5\over6}\alpha.} 方程式 ( 4 ) {\displaystyle\left(4\right)\,} 變為 ( v − 5 6 α ) 3 + 5 2 α ( v − 5 6 α ) 2 + ( 2 α 2 − γ ) ( v − 5 6 α ) + ( α 3 2 − α γ 2 − β 2 8 ) = 0. {\displaystyle\left(v-{5\over6}\alpha\right)^{3}+{5\over2}\alpha\left(v-{5\over6}\alpha\right)^{2}+(2\alpha^{2}-\gamma)\left(v-{5\over6}\alpha\right)+\left({\alpha^{3}\over2}-{\alpha\gamma\over2}-{\beta^{2}\over8}\right)=0.} 展開，得 ( v 3 − 5 2 α v 2 + 25 12 α 2 v − 125 216 α 3 ) + 5 2 α ( v 2 − 5 3 α v + 25 36 α 2 ) + ( 2 α 2 − γ ) v − 5 6 α ( 2 α 2 − γ ) + ( α 3 2 − α γ 2 − β 2 8 ) = 0. {\displaystyle\left(v^{3}-{5\over2}\alphav^{2}+{25\over12}\alpha^{2}v-{125\over216}\alpha^{3}\right)+{5\over2}\alpha\left(v^{2}-{5\over3}\alphav+{25\over36}\alpha^{2}\right)+(2\alpha^{2}-\gamma)v-{5\over6}\alpha(2\alpha^{2}-\gamma)+\left({\alpha^{3}\over2}-{\alpha\gamma\over2}-{\beta^{2}\over8}\right)=0.} 合併同類項，得 v 3 + ( − α 2 12 − γ ) v + ( − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 ) = 0. {\displaystylev^{3}+\left(-{\alpha^{2}\over12}-\gamma\right)v+\left(-{\alpha^{3}\over108}+{\alpha\gamma\over3}-{\beta^{2}\over8}\right)=0.} 這是嵌套的三次方程式。

記 P = − α 2 12 − γ , {\displaystyleP=-{\alpha^{2}\over12}-\gamma,} Q = − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 . {\displaystyleQ=-{\alpha^{3}\over108}+{\alpha\gamma\over3}-{\beta^{2}\over8}.} 則此三次方程式變為 v 3 + P v + Q = 0. ( 5 ) {\displaystylev^{3}+Pv+Q=0.\qquad\qquad(5)} 解嵌套的降低次數的三次方程式[編輯] 方程式 ( 5 ) {\displaystyle\left(5\right)\,} 的解(三個解中任何一個都可以)為 令 U = − Q 2 ± Q 2 4 + P 3 27 3 {\displaystyleU={\sqrt[{3}]{{-Q\over2}\pm{\sqrt{{Q^{2}\over4}+{P^{3}\over27}}}}}} （由三次方程式） v = U − P 3 U {\displaystylev=U-{P\over3U}} 則原來的嵌套三次方程式的解為 y = − 5 6 α − P 3 U + U ( 6 ) {\displaystyley=-{5\over6}\alpha-{P\over3U}+U\qquad\qquad(6)} 注意 ( 1 ) {\displaystyle\left(1\right)\,} ： P = 0 ⟹ Q 2 + Q 2 4 + P 3 27 = 0 {\displaystyleP=0\Longrightarrow{Q\over2}+{\sqrt{{Q^{2}\over4}+{P^{3}\over27}}}=0} 注意 ( 2 ) {\displaystyle\left(2\right)\,} ： lim P → 0 P Q 2 + Q 2 4 + P 3 27 3 = 0 {\displaystyle\lim_{P\to0}{P\over{\sqrt[{3}]{{Q\over2}+{\sqrt{{Q^{2}\over4}+{P^{3}\over27}}}}}}=0} 配成完全平方項[編輯] y {\displaystyley\,} 的值已由 ( 6 ) {\displaystyle\left(6\right)\,} 式給定，現在知道等式 ( 3 ) {\displaystyle\left(3\right)\,} 的右邊是完全平方的形式 s 2 u 2 + 2 s t u + t 2 = ( s 2 u + 2 s t 2 s 2 ) 2 {\displaystyles^{2}u^{2}+2stu+t^{2}=\left({\sqrt{s^{2}}}u+{2st\over2{\sqrt{s^{2}}}}\right)^{2}} 這對於平方根的正負號均成立，只要等式兩邊取相同的符號。

A {\displaystyleA\,} 的正負是多餘的，因為它將被本頁後面馬上將提到的另一個 ± a {\displaystyle\pma\,} 消去。

從而它可分解因式為： ( α + 2 y ) u 2 + ( − β ) u + ( y 2 + 2 y α + α 2 − γ ) = [ α + 2 y u + ( − β ) 2 α + 2 y ] 2 {\displaystyle(\alpha+2y)u^{2}+(-\beta)u+(y^{2}+2y\alpha+\alpha^{2}-\gamma)=\left[{\sqrt{\alpha+2y}}u+{(-\beta)\over2{\sqrt{\alpha+2y}}}\right]^{2}} . 註：若 β ≠ 0 {\displaystyle\beta\neq0\,} 則 α + 2 y ≠ 0 {\displaystyle\alpha+2y\neq0\,} 。

如果 β = 0 {\displaystyle\beta=0\,} 則方程式為雙二次方程式，前面已討論過。

因此方程式 ( 3 ) {\displaystyle\left(3\right)\,} 化為 ( u 2 + α + y ) 2 = ( α + 2 y u − β 2 α + 2 y ) 2 ( 7 ) {\displaystyle(u^{2}+\alpha+y)^{2}=\left({\sqrt{\alpha+2y}}u-{\beta\over2{\sqrt{\alpha+2y}}}\right)^{2}\qquad\qquad(7)} . 等式 ( 7 ) {\displaystyle\left(7\right)\,} 兩邊各有一個乘起來的完全平方式。

兩完全平方式相等。

如果兩平方式相等，則兩平方式的因子也相等，即有下式： ( u 2 + α + y ) = ± ( α + 2 y u − β 2 α + 2 y ) ( 7 ′ ) {\displaystyle(u^{2}+\alpha+y)=\pm\left({\sqrt{\alpha+2y}}u-{\beta\over2{\sqrt{\alpha+2y}}}\right)\qquad\qquad(7')} . 對 u {\displaystyleu\,} 合併同類項，得 u 2 + ( ∓ s α + 2 y ) u + ( α + y ± s β 2 α + 2 y ) = 0 ( 8 ) {\displaystyleu^{2}+\left(\mp_{s}{\sqrt{\alpha+2y}}\right)u+\left(\alpha+y\pm_{s}{\beta\over2{\sqrt{\alpha+2y}}}\right)=0\qquad\qquad(8)} . 註： ± s {\displaystyle\pm_{s}} 及 ∓ s {\displaystyle\mp_{s}} 中的下標 s {\displaystyles\,} 用來標記它們是相關的。

方程式 ( 8 ) {\displaystyle\left(8\right)\,} 是關於 u {\displaystyleu\,} 的二次方程式。

其解為 u = ± s α + 2 y ± t ( α + 2 y ) − 4 ( α + y ± s β 2 α + 2 y ) 2 . {\displaystyleu={\pm_{s}{\sqrt{\alpha+2y}}\pm_{t}{\sqrt{(\alpha+2y)-4(\alpha+y\pm_{s}{\beta\over2{\sqrt{\alpha+2y}}})}}\over2}.} 化簡，得 u = ± s α + 2 y ± t − ( 3 α + 2 y ± s 2 β α + 2 y ) 2 . {\displaystyleu={\pm_{s}{\sqrt{\alpha+2y}}\pm_{t}{\sqrt{-\left(3\alpha+2y\pm_{s}{2\beta\over{\sqrt{\alpha+2y}}}\right)}}\over2}.} 這就是降低次數的四次方程式的解，因此原來的四次方程式的解為 x = − b 4 a + ± s α + 2 y ± t − ( 3 α + 2 y ± s 2 β α + 2 y ) 2 . ( 8 ′ ) {\displaystylex=-{b\over4a}+{\pm_{s}{\sqrt{\alpha+2y}}\pm_{t}{\sqrt{-\left(3\alpha+2y\pm_{s}{2\beta\over{\sqrt{\alpha+2y}}}\right)}}\over2}.\qquad\qquad(8')} 注意：兩個 ± s {\displaystyle\pm_{s}} 來自等式 ( 7 ′ ) {\displaystyle\left(7^{'}\right)\,} 的同一處，並且它們應有相同的符號，而 ± t {\displaystyle\pm_{t}} 的符號是無關的。

費拉里方法的概要[編輯] 給定一個四次方程式 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyleax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,} 其解可用如下方法求出： α = − 3 b 2 8 a 2 + c a , {\displaystyle\alpha=-{3b^{2}\over8a^{2}}+{c\overa},} β = b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a , {\displaystyle\beta={b^{3}\over8a^{3}}-{bc\over2a^{2}}+{d\overa},} γ = − 3 b 4 256 a 4 + b 2 c 16 a 3 − b d 4 a 2 + e a , {\displaystyle\gamma={-3b^{4}\over256a^{4}}+{b^{2}c\over16a^{3}}-{bd\over4a^{2}}+{e\overa},} 若 β = 0 {\displaystyle\beta=0\,} ，求解 u 4 + α u 2 + γ = 0 {\displaystyleu^{4}+\alphau^{2}+\gamma=0\,} 並代入 x = u − b 4 a {\displaystylex=u-{b\over4a}} ，求得根 x = − b 4 a ± s − α ± t α 2 − 4 γ 2 , β = 0 {\displaystylex=-{b\over4a}\pm_{s}{\sqrt{-\alpha\pm_{t}{\sqrt{\alpha^{2}-4\gamma}}\over2}},\qquad\beta=0} . P = − α 2 12 − γ , {\displaystyleP=-{\alpha^{2}\over12}-\gamma,} Q = − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 , {\displaystyleQ=-{\alpha^{3}\over108}+{\alpha\gamma\over3}-{\beta^{2}\over8},} R = Q 2 ± Q 2 4 + P 3 27 , {\displaystyleR={Q\over2}\pm{\sqrt{{Q^{2}\over4}+{P^{3}\over27}}},} （平方根任一正負號均可） U = R 3 , {\displaystyleU={\sqrt[{3}]{R}},} （有三個複根，任一個均可） y = − 5 6 α + { U = 0 → − Q 3 U ≠ 0 , → U − P 3 U , , {\displaystyley={\displaystyle-{5\over6}\alpha+{\begin{cases}U=0&\to-{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq0,&\toU-{P\over3U},\end{cases}}\quad\quad\quad},} x = − b 4 a + ± s α + 2 y ± t − ( 3 α + 2 y ± s 2 β α + 2 y ) 2 . {\displaystylex=-{b\over4a}+{\pm_{s}{\sqrt{\alpha+2y}}\pm_{t}{\sqrt{-\left(3\alpha+2y\pm_{s}{2\beta\over{\sqrt{\alpha+2y}}}\right)}}\over2}.} 兩個 ± s {\displaystyle\pm_{s}\,} 必須有相同的符號, ± t {\displaystyle\pm_{t}\,} 的符號無關。

為得到全部的根，對 ± s {\displaystyle\pm_{s}\,} ， ± t {\displaystyle\pm_{t}\,} , = {\displaystyle=} , + {\displaystyle+\,} , + {\displaystyle+\,} 及 + − {\displaystyle+-\,} 及 − + {\displaystyle-+\,} 及 − − {\displaystyle--\,} 來求 x {\displaystylex\,} 。

二重根將得出兩次，三重根及四重根將得出四次（儘管有 β = 0 {\displaystyle\beta=0\,} ，是一種特殊的情況）。

方程式根的次序取決於立方根 U {\displaystyleU\,} 的選取。

（見對 ( 8 ) {\displaystyle\left(8\right)\,} 相對 ( 8 ′ ) {\displaystyle\left(8^{'}\right)\,} 的注） 此即所求。

還有解四次方程式的其他方法，或許更好些。

費拉里首先發現這些迷宮般的解之一。

他所解的方程式是 x 4 + 6 x 2 − 60 x + 36 = 0 {\displaystylex^{4}+6x^{2}-60x+36=0\,} ， 它已經化為簡約的形式。

它有一對解，可由上面給出的公式得到。

笛卡兒方法[編輯] ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) = 0 {\displaystyle(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0\,} 此四次方程式是下列兩個二次方程式之積： ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 ( 9 ) {\displaystyle(x-x_{1})(x-x_{2})=0\qquad\qquad(9)} 以及 ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) = 0. ( 10 ) {\displaystyle(x-x_{3})(x-x_{4})=0.\qquad\qquad(10)} 由於 x 2 = x 1 ⋆ {\displaystylex_{2}=x_{1}^{\star}} 因此 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = x 2 − ( x 1 + x 1 ⋆ ) x + x 1 x 1 ⋆ = x 2 − 2 R e ( x 1 ) x + [ R e ( x 1 ) ] 2 + [ I m ( x 1 ) ] 2 . {\displaystyle{\begin{matrix}(x-x_{1})(x-x_{2})&=&x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star})x+x_{1}x_{1}^{\star}\qquad\qquad\qquad\quad\\&=&x^{2}-2\,\mathrm{Re}(x_{1})x+[\mathrm{Re}(x_{1})]^{2}+[\mathrm{Im}(x_{1})]^{2}.\end{matrix}}} 設 a = − 2 R e ( x 1 ) , {\displaystylea=-2\,\mathrm{Re}(x_{1}),} b = [ R e ( x 1 ) ] 2 + [ I m ( x 1 ) ] 2 {\displaystyleb=[\mathrm{Re}(x_{1})]^{2}+[\mathrm{Im}(x_{1})]^{2}\,} 則方程式 ( 9 ) {\displaystyle\left(9\right)\,} 變為 x 2 + a x + b = 0. ( 11 ) {\displaystylex^{2}+ax+b=0.\qquad\qquad(11)} 同時有(未知的)變數 w {\displaystylew\,} 和 v {\displaystylev\,} 使方程式 ( 10 ) {\displaystyle\left(10\right)\,} 變為 x 2 + w x + v = 0. ( 12 ) {\displaystylex^{2}+wx+v=0.\qquad\qquad(12)} 方程式 ( 11 ) {\displaystyle\left(11\right)\,} 與 ( 12 ) {\displaystyle\left(12\right)\,} 相乘，得 x 4 + ( a + w ) x 3 + ( b + w a + v ) x 2 + ( w b + v a ) x + v b = 0. ( 13 ) {\displaystylex^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.\qquad\qquad(13)} 把方程式 ( 13 ) {\displaystyle\left(13\right)\,} 與原來的二次方程式比較，可知 a + w = B A , {\displaystylea+w={B\overA},} b + w a + v = C A , {\displaystyleb+wa+v={C\overA},} w b + v a = D A , {\displaystylewb+va={D\overA},} 及 v b = E A . {\displaystylevb={E\overA}.} 因此 w = B A − a = B A + 2 R e ( x 1 ) , {\displaystylew={B\overA}-a={B\overA}+2\mathrm{Re}(x_{1}),} v = E A b = E A ( [ R e ( x 1 ) ] 2 + [ I m ( x 1 ) ] 2 ) . {\displaystylev={E\overAb}={E\overA\left([\mathrm{Re}(x_{1})]^{2}+[\mathrm{Im}(x_{1})]^{2}\right)}.} 方程式 ( 12 ) {\displaystyle\left(12\right)\,} 的解為 x 3 = − w + w 2 − 4 v 2 , {\displaystylex_{3}={-w+{\sqrt{w^{2}-4v}}\over2},} x 4 = − w − w 2 − 4 v 2 . {\displaystylex_{4}={-w-{\sqrt{w^{2}-4v}}\over2}.} 這兩個解中的一個應是所求的實解。

歐拉的方法[編輯] 寫出式子 x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystylex^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} ，令 y = x + a / 4 {\displaystyley=x+a/4} , 把上式改寫為 y 4 + e y 2 + f y + g = 0 {\displaystyley^{4}+ey^{2}+fy+g=0} , 再利用係數 e , f , g {\displaystylee,f,g} 造出另一式子: z 3 + ( e / 2 ) z 2 + ( ( e 2 − 4 g ) / 16 ) z − f 2 / 64 = 0 {\displaystylez^{3}+(e/2)z^{2}+((e^{2}-4g)/16)z-f^{2}/64=0} ,求出 z {\displaystylez} 的三根，並用 p , q , r {\displaystylep,q,r} 代表它們。

那麼 y {\displaystyley} 的四個根就是 + p + q + r {\displaystyle+{\sqrt{p}}+{\sqrt{q}}+{\sqrt{r}}} + p − q − r {\displaystyle+{\sqrt{p}}-{\sqrt{q}}-{\sqrt{r}}} − p + q − r {\displaystyle-{\sqrt{p}}+{\sqrt{q}}-{\sqrt{r}}} − p − q + r {\displaystyle-{\sqrt{p}}-{\sqrt{q}}+{\sqrt{r}}} 合併來看 二次方程式根的樣式為 j A {\displaystylej{\sqrt{A}}} ,其中 j ∈ { h 0 , h 1 } ,                     h 2 = 1 {\displaystylej\in\{h^{0},h^{1}\},\\\\\\\\\\h^{2}=1} 三次方程式根的樣式為 j 1 A 3 + j 2 B 3 {\displaystylej_{1}{\sqrt[{3}]{A}}+j_{2}{\sqrt[{3}]{B}}} ,其中 j ∈ { h 0 , h 1 , h 2 } ,           h 3 = 1 {\displaystylej\in\{h^{0},h^{1},h^{2}\},\\\\\h^{3}=1} 四次方程式根的樣式為 j 1 A 4 + j 2 B 4 + j 3 C 4 {\displaystylej_{1}{\sqrt[{4}]{A}}+j_{2}{\sqrt[{4}]{B}}+j_{3}{\sqrt[{4}]{C}}} ,其中 j ∈ { h 0 , h 1 , h 2 , h 3 } , h 4 = 1 {\displaystylej\in\{h^{0},h^{1},h^{2},h^{3}\},h^{4}=1} 延伸這樣式，暗示了五次方程式尋根的方向。

其它方法[編輯] 化為雙二次方程式[編輯] 一個例子可見雙二次方程式。

埃瓦里斯特·伽羅瓦的理論和因式分解[編輯] 求根公式[編輯] 四次方程式的求根公式可以通過上述的伽羅瓦理論和因式分解得到。

[1]對於 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq0}} ，有：[2] x 1 = − b 4 a + 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + − b 3 + 4 a b c − 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle{x_{1}=-{\frac{b}{4a}}+{\frac{1}{2}}{\sqrt{\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-{\frac{2c}{3a}}+{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac{1}{2}}{\sqrt{{\frac{b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac{4c}{3a}}-{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac{-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac{2c}{3a}}+{\dfrac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} x 2 = − b 4 a + 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − b 3 − 4 a b c + 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle{x_{2}=-{\frac{b}{4a}}+{\frac{1}{2}}{\sqrt{\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-{\frac{2c}{3a}}+{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac{1}{2}}{\sqrt{{\frac{b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac{4c}{3a}}-{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}-{\frac{b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac{2c}{3a}}+{\dfrac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} x 3 = − b 4 a − 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + b 3 − 4 a b c + 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle{x_{3}=-{\frac{b}{4a}}-{\frac{1}{2}}{\sqrt{\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-{\frac{2c}{3a}}+{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac{1}{2}}{\sqrt{{\frac{b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac{4c}{3a}}-{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac{b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac{2c}{3a}}+{\dfrac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} x 4 = − b 4 a − 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + b 3 − 4 a b c + 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle{x_{4}=-{\frac{b}{4a}}-{\frac{1}{2}}{\sqrt{\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-{\frac{2c}{3a}}+{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac{1}{2}}{\sqrt{{\frac{b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac{4c}{3a}}-{\frac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac{b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac{2c}{3a}}+{\dfrac{{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt{(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} Δ = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle{\Delta=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}}} [來源請求] PlanetMath指出，這四個形式直接使用，即使是在計算機上也過於複雜。

[2]這四個解的推導過程的最後幾步有較為簡單的中間形式可以採用。

得到這些解需要用到三次方程式的求根公式。

[1] 參見[編輯] 費拉里 卡爾達諾 文獻[編輯] ^1.01.1TheQuarticFormulaDerivation.[2021-07-14].（原始內容存檔於2021-07-14）. Galois-theoreticderivationofthequarticformula.planetmath.org.[2021-07-14].（原始內容存檔於2021-01-18）.  ^2.02.1quarticformula.planetmath.org.[2021-07-14].（原始內容存檔於2021-04-11）.  Ferrari'sachievementArchived2012-02-19atWebCite 四次方程式的求根公式（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 閱論編多項式函數 零次函數(常數函數) 一次函數 二次函數 三次函數 四次函數 五次函數 方程式 一次方程式 二次方程式 三次方程式 四次方程式 五次方程式 六次方程式 七次方程式 八次方程式 九次方程式 算法 多項式除法 因式 不可約多項式 最大公因式（英語：Polynomialgreatestcommondivisor） 秦九韶算法 結式 判別式 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=四次方程&oldid=71173313」 分類：​方程初等代數多項式隱藏分類：​自2013年6月需要專業人士關注的頁面有未列明來源語句的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةCatalàČeštinaЧӑвашлаDeutschEnglishEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתMagyarIdoItaliano日本語한국어ລາວNederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийShqipSvenskaไทยTagalogУкраїнськаTiếngViệt 編輯連結