導數- 維基百科，自由的百科全書

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。

若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導(可微分)，否則稱為不可導(不可微分) ... 導數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋   提示：此條目的主題不是倒數。

一個實值函數的圖像曲線。

函數在一點的導數等於它的圖像上這一點處之切線的斜率。

系列條目微積分學 函數 極限論 微分學 積分 微積分基本定理 微積分發現權之爭（英語：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基礎概念（含極限論和級數論） 實數性質 函數 ·單調性 ·初等函數 ·數列 ·極限 ·實數的構造（1=0.999…） ·無窮大（銜尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit） ·實無窮（英語：Actualinfinity） ·大O符號 ·上確界 ·收斂數列 ·芝諾悖論 ·柯西序列 ·單調收斂定理 ·夾擠定理 ·波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 ·斯托爾茲－切薩羅定理 ·上極限和下極限 ·函數極限 ·漸近線 ·鄰域 ·連續 ·連續函數 ·間斷點 ·狄利克雷函數 ·稠密集 ·均勻連續 ·緊緻集 ·海涅－鮑萊耳定理 ·支撐集 ·歐幾里得空間 ·內積 ·外積 ·混合積 ·拉格朗日恆等式 ·等價範數 ·坐標系 ·多元函數 ·凸集 ·壓縮映射原理 ·級數 ·收斂級數（英語：convergentseries） ·幾何級數 ·調和級數 ·項測試 ·格蘭迪級數 ·收斂半徑 ·審斂法 ·柯西乘積 ·黎曼級數重排定理 ·函數項級數（英語：functionseries） ·均勻收斂 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的線性（英語：linearityofdifferentiation） ·導數（流數法 ·二階導數 ·光滑函數 ·高階微分 ·萊布尼茲記號（英語：Leibniz's_notation） ·幽靈似的消失量） ·介值定理 ·微分均值定理（羅爾定理 ·拉格朗日均值定理 ·柯西均值定理） ·泰勒公式 ·求導法則（乘法定則 ·廣義萊布尼茨定則（英語：GeneralLeibnizrule） ·除法定則 ·倒數定則 ·連鎖律） ·羅必達法則 ·反函數及其微分 ·FaàdiBruno公式（英語：FaàdiBruno'sformula） ·對數微分法 ·導數列表 ·導數的函數應用（單調性 ·切線 ·極值 ·駐點 ·反曲點 ·求導檢測（英語：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲線的曲率 ·埃爾米特插值） ·達布定理 ·魏爾斯特拉斯函數 一元積分 積分表 定義 不定積分 定積分 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 積分的線性 求積分的技巧（換元積分法 ·三角換元法 ·分部積分法 ·部分分式積分法 ·降次積分法）微元法 ·積分第一均值定理 ·積分第二均值定理 ·牛頓-萊布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函數 ·Γ函數 ·古德曼函數 ·橢圓積分） ·數值積分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森積分法 ·牛頓-寇次公式） ·積分判別法 ·傅立葉級數（狄利克雷定理 ·週期延拓） ·魏爾斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦爾定理 ·萊歐維爾定理 多元微積分 偏導數 ·隱函數 ·全微分（微分的形式不變性） ·二階導數的對稱性 ·全導數 ·方向導數 ·純量場 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘數 ·海森矩陣 ·鞍點 ·多重積分（逐次積分（英語：iteratedintegral） ·積分順序（英語：Orderofintegration(calculus)）） ·積分估值定理 ·旋轉體 ·帕普斯-古爾丁中心化旋轉定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小號 ·雅可比矩陣 ·廣義多重積分（高斯積分） ·若爾當曲線 ·曲線積分 ·曲面積分（施瓦茨的靴（俄語：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若爾當測度 ·隱函數定理 ·皮亞諾-希爾伯特曲線 ·積分轉換 ·摺積定理 ·積分符號內取微分(萊布尼茨積分定則（英語：Leibnizintegralrule）) ·多變數原函數的存在性（全微分方程式） ·外微分的映射原像存在性（恰當形式） ·向量值函數 ·向量空間內的導數推廣（英語：generalizationsofthederivative）（加托導數 ·弗雷歇導數（英語：Fréchetderivative） ·矩陣的微積分（英語：matrixcalculus）） ·弱導數 微分方程式 常微分方程式 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亞諾存在性定理 ·分離變數法 ·級數展開法 ·積分因子 ·拉普拉斯算子 ·歐拉方法 ·柯西-歐拉方程式 ·伯努利微分方程式 ·克萊羅方程式 ·全微分方程式 ·線性微分方程式 ·疊加原理 ·特徵方程式 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程式 ·拉普拉斯轉換法 ·偏微分方程式（拉普拉斯方程式 ·卜瓦松方程式） ·史特姆-萊歐維爾理論 ·N體問題 ·積分方程式 相關數學家 牛頓 ·萊布尼茲 ·柯西 ·魏爾斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·歐拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴羅 ·波爾查諾 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若爾當 ·達布 ·傅立葉 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·約翰·伯努利 ·阿達馬 ·麥克勞林 ·迪尼 ·沃利斯 ·費馬 ·達朗貝爾 ·黑維塞 ·吉布斯 ·奧斯特羅格拉德斯基 ·萊歐維爾 ·棣美弗 ·格雷果里 ·瑪達瓦（英語：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦羅第二 ·阿涅西 ·阿基米德 歷史名作 從無窮小量分析來理解曲線（英語：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析學教程（英語：Coursd'Analyse） ·無窮小分析引論 ·用無窮級數做數學分析（英語：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微積分（英語：CalculusonManifolds(book)） ·微積分學教程 ·純數學教程（英語：ACourseofPureMathematics） ·機械原理方法論（英語：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支學科 實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動態系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最佳化 ·非標準分析 閱論編 導數（英語：derivative）是微積分學中的一個概念。

函數在某一點的導數是指這個函數在這一點附近的變化率。

導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。

當函數 f {\displaystylef} 的自變數在一點 x 0 {\displaystylex_{0}} 上產生一個增量 h {\displaystyleh} 時，函數輸出值的增量與自變數增量 h {\displaystyleh} 的比值在 h {\displaystyleh} 趨於0時的極限如果存在，即為 f {\displaystylef} 在 x 0 {\displaystylex_{0}} 處的導數，記作 f ′ ( x 0 ) {\displaystylef'(x_{0})} 、 d f d x ( x 0 ) {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}(x_{0})} 或 d f d x | x = x 0 {\displaystyle\left.{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}\right|_{x=x_{0}}} 。

例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度[1]:153。

導數是函數的局部性質。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。

若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導(可微分)，否則稱為不可導(不可微分)。

如果函數的自變數和取值都是實數的話，那麼函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。

對於可導的函數 f {\displaystylef} ， x ↦ f ′ ( x ) {\displaystylex\mapstof'(x)} 也是一個函數，稱作 f {\displaystylef} 的導函數。

尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導（英語：differentiation）。

反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。

微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的[1]:372。

求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

目次 1定義 1.1一般定義 1.2幾何意義 1.3導數、導函數與微分算子 1.4導數與微分 2歷史 3導數的記法 3.1牛頓的記法 3.2萊布尼茲的記法 3.3拉格朗日的記法 3.4其它記法 4函數可導的條件 5導數與函數的性質 5.1單調性 5.2凹凸性 6導數的計算 6.1基本函數的導數 6.2導數的求導法則 6.3例子 7高階導數 7.1二階導數 7.2高階導數 7.3高階導數的求法 8多元函數的導數 8.1向量值函數的導數 8.2偏導數 8.3方向導數 9推廣 9.1復變量導數 9.2弱微分 9.3次導數 9.4非整數階導數 9.5加托導數和弗雷歇導數 9.6導子 10導數的應用 10.1邊際和彈性 11參見 12注釋 13參考文獻 14外部連結 定義[編輯] 一般定義[編輯] 一個動畫，給出了一個直觀的導數概念，因為參數變化時函數的「擺動」會改變。

直觀上 f ( x ) − f ( a ) {\displaystylef(x)-f(a)} 代表函數值從 a {\displaystylea} 到 x {\displaystylex} 的變化量，那這樣， f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}} 代表的是從 a {\displaystylea} 到 x {\displaystylex} 的平均變化率，如果把 x {\displaystylex} 趨近於 a {\displaystylea} ，似乎就可以更能貼切的描述函數值在 a {\displaystylea} 附近的變化。

以此為動機，若實函數 f {\displaystylef} 於實數 a {\displaystylea} 有定義，且以下極限（注意這個表達式所定義的函數定義域不含 a {\displaystylea} ） lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle\lim_{x\toa}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}} 存在則稱 f {\displaystylef} 於 a {\displaystylea} 處可導，並稱這個極限為 f {\displaystylef} 於 a {\displaystylea} 處的導數[2]:117-118，記為 f ′ ( a ) {\displaystylef^{\prime}(a)} 也可記作 d f d x | x = a {\displaystyle\left.{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}\right|_{x=a}} 或 d f d x ( a ) {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}(a)} [1]:154。

根據函數極限的定義，導數定義部分的＂存在 δ > 0 {\displaystyle\delta>0} 使所有的 x ∈ D f {\displaystylex\inD_{f}} ，只要 0 < | x − a | < δ {\displaystyle0 0 {\displaystyle\delta>0} 對所有的實數 h {\displaystyleh} ，只要 a + h ∈ D f {\displaystylea+h\inD_{f}} 且 0 < | h | < δ {\displaystyle0 0 {\displaystyler>0} ，使 f {\displaystylef} 在 ( a − r , a + r ) {\displaystyle(a-r,\,a+r)} 裡都有定義，那定義 F {\displaystyleF} 為以 { h ∈ R | ( h ≠ 0 ) ∧ ( | h | < r ) } {\displaystyle\{h\in\mathbb{R}\,|\,(h\neq0)\wedge(|h| 0 {\displaystyle\delta>0} 使得 f ′ {\displaystylef'} 在區間 ( x 0 − δ , x 0 ] {\displaystyle(x_{0}-\delta,x_{0}]} 上都大於等於零，而在區間 [ x 0 , x 0 + δ ) {\displaystyle[x_{0},x_{0}+\delta)} 上都小於等於零，那麼 x 0 {\displaystylex_{0}} 是一個極大值點，反之則為極小值點[2]:170。

如果 f ″ ( x 0 ) = 0 {\displaystylef''(x_{0})=0} 並且 f ″ ( x ) {\displaystylef''(x)} 在 x 0 {\displaystylex_{0}} 改變加減號，則稱這個點是反曲點；否則這個點不是反曲點。

[21]:200 如果函數在 x 0 {\displaystylex_{0}} 處的二階導數 f ″ ( x 0 ) {\displaystylef''(x_{0})} 存在，極值點也可以用它的正負性判斷（已確定 f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystylef'(x_{0})=0} ）。

如果 f ″ ( x 0 ) > 0 {\displaystylef''(x_{0})>0} ，那麼 x 0 {\displaystylex_{0}} 是一個極小值點，反之為極大值點[2]:170-171。

凹凸性[編輯] 主條目：凸函數和凹函數 可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。

如果函數的導函數在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函數是向下凸的，反之則是向上凸的。

如果二階導函數存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上 f ″ {\displaystylef''} 恆大於零，則這個區間上函數是向下凸的，反之這個區間上函數是向上凸的[2]:176-178。

導數的計算[編輯] 原則上，函數的導數可以通過考慮差商和計算其極限來從定義計算。

在實踐中，一旦知道了一些簡單函數的導數，就可以使用從更簡單的函數獲得更複雜函數的導數的規則，來更容易地計算其他函數的導數。

基本函數的導數[編輯] 主條目：導數列表 所謂基本函數是指一些形式簡單並且容易求出導數的函數。

這些基本函數的導函數可以通過定義直接求出。

冪函數的導數：如果 f ( x ) = x r , {\displaystylef(x)=x^{r},} 其中 r {\displaystyler} 是任意實數，那麼 f ′ ( x ) = r x r − 1 , {\displaystylef'(x)=rx^{r-1},} 函數 f {\displaystylef} 的定義域可以是整個實數域，但導函數的定義域則不一定與之相同。

例如當 r = 1 2 {\displaystyler={\frac{1}{2}}} 時： f ′ ( x ) = 1 2 x − 1 2 {\displaystylef'(x)={\frac{1}{2}}x^{-{\tfrac{1}{2}}}\,} [2]:119 導函數的定義域只限所有正實數而不包括0。

需要注意的是，不會有多項式函數的導數為 x − 1 {\displaystyle\scriptstylex^{-1}} 。

當 r = 0 {\displaystyler=0} 時，常函數的導數是0。

底數為 e {\displaystylee} 的指數函數 y = e x {\displaystyle\scriptstyley=e^{x}} 的導數還是自身： d d x e x = e x . {\displaystyle\scriptstyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}e^{x}=e^{x}.} 而一般的指數函數 y = a x {\displaystyley=a^{x}} 的導數還需要乘以一個係數： d d x a x = ln ⁡ ( a ) a x . {\displaystyle\scriptstyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.} [2]:122 自然對數函數的導數則是 x − 1 {\displaystylex^{-1}} ： d d x ln ⁡ ( x ) = 1 x , x > 0. {\displaystyle\scriptstyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\ln(x)={\frac{1}{x}},\qquadx>0.} [2]:123同樣的，一般的對數函數導數則還需要乘以一個係數： d d x log a ⁡ ( x ) = 1 x ln ⁡ ( a ) {\displaystyle\scriptstyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\log_{a}(x)={\frac{1}{x\ln(a)}}} 三角函數的導數仍然是三角函數，或者由三角函數構成[2]:122: d d x sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) . {\displaystyle{\frac{d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).} d d x cos ⁡ ( x ) = − sin ⁡ ( x ) . {\displaystyle{\frac{d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).} d d x tan ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) = 1 cos 2 ⁡ ( x ) = 1 + tan 2 ⁡ ( x ) . {\displaystyle{\frac{d}{dx}}\tan(x)=\sec^{2}(x)={\frac{1}{\cos^{2}(x)}}=1+\tan^{2}(x).} d d x cot ⁡ ( x ) = − csc 2 ⁡ ( x ) = − 1 sin 2 ⁡ ( x ) . {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\cot(x)=-\csc^{2}(x)=-{\frac{1}{\sin^{2}(x)}}.} 反三角函數的導數則是無理分式[1]:160: d d x arcsin ⁡ ( x ) = 1 1 − x 2 , − 1 < x < 1. {\displaystyle{\frac{d}{dx}}\arcsin(x)={\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}},\qquad-1 0 {\displaystylef''(x)>0} 函數在x上凹。

f ″ ( x ) < 0 {\displaystylef''(x)<0} 函數在x下凹。

高階導數[編輯] 二階導數的導數稱為三階導數，記做 f ‴ ( x ) {\displaystylef'''(x)\,} ， y ‴ {\displaystyley'''\,} ， d 3 y d x 3 {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{3}y}{{\rm{d}}x^{3}}}} 或 d 3 f ( x ) d x 3 {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{3}f(x)}{{\rm{d}}x^{3}}}} 三階導數的導數稱為四階導數，記做 f ( 4 ) ( x ) {\displaystylef^{(4)}(x)\,} ， y ( 4 ) {\displaystyley^{(4)}\,} ， d 4 y d x 4 {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{4}y}{{\rm{d}}x^{4}}}} 或 d 4 f ( x ) d x 4 {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{4}f(x)}{{\rm{d}}x^{4}}}} 一般的 f ( x ) {\displaystylef(x)\,} 的 n − 1 {\displaystylen-1\,} 階導數的導數稱為 f ( x ) {\displaystylef(x)\,} 的 n {\displaystylen\,} 階導數，記為 f ( n ) ( x ) {\displaystylef^{(n)}(x)\,} ， y ( n ) {\displaystyley^{(n)}\,} ， d n y d x n {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}y}{{\rm{d}}x^{n}}}} 或 d n f ( x ) d x n {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}f(x)}{{\rm{d}}x^{n}}}} [2]:133 高階導數的求法[編輯] 一般來說，高階導數的計算和導數一樣，可以按照定義逐步求出。

同時，高階導數也有求導法則： d n d x n ( u ± v ) = d n d x n u ± d n d x n v {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}(u\pmv)={\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}u\pm{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}v} d n d x n ( C u ) = C d n d x n u   {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}(Cu)=C{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}u\} d n d x n ( u ⋅ v ) = ∑ k = 0 n C k n d n − k d x n − k u d k d x k v {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}(u\cdotv)=\sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}{\frac{{\rm{d}}^{n-k}}{{\rm{d}}x^{n-k}}}u{\frac{{\rm{d}}^{k}}{{\rm{d}}x^{k}}}v} （萊布尼茲公式）[2]:134 因此，可以利用已知的高階導數求導法則，通過四則運算,變數代換等方法，求出 n   {\displaystylen\} 階導數。

一些常見的有規律的高階導數的公式如下[2]:133： d n d x n x α = x α − n ∏ k = 0 n − 1 ( α − k ) {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}x^{\alpha}=x^{\alpha-n}\prod_{k=0}^{n-1}(\alpha-k)} d n d x n 1 x = ( − 1 ) n n ! x n + 1 {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}{\frac{1}{x}}=(-1)^{n}{\frac{n!}{x^{n+1}}}} d n d x n ln ⁡ x = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}\lnx=(-1)^{n-1}{\frac{(n-1)!}{x^{n}}}} {\displaystyle\!} d n d x n e x = e x   {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}e^{x}=e^{x}\} d n d x n a x = a x ⋅ ln n ⁡ a {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}a^{x}=a^{x}\cdot\ln^{n}a} ( a > 0 )   {\displaystyle(a>0)\} {\displaystyle\!} d n d x n sin ⁡ ( k x + b ) = k n sin ⁡ ( k x + b + n π 2 ) {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}\sin\left(kx+b\right)=k^{n}\sin\left(kx+b+{\frac{n\pi}{2}}\right)} d n d x n cos ⁡ ( k x + b ) = k n cos ⁡ ( k x + b + n π 2 ) {\displaystyle{\frac{{\rm{d}}^{n}}{{\rm{d}}x^{n}}}\cos\left(kx+b\right)=k^{n}\cos\left(kx+b+{\frac{n\pi}{2}}\right)} 多元函數的導數[編輯] 主條目：向量分析 向量值函數的導數[編輯] 當函數 y {\displaystyley} 的取值不再是實數，而是一般的 R n {\displaystyle\mathbf{R}^{n}} 中的向量時，仍然可能對其求導。

這時的函數值是： y = ( y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋯ , y n ( x ) ) {\displaystyley=\left(y_{1}(x),y_{2}(x),\cdots,y_{n}(x)\right)} 。

每個 y i ( x ) , 1 ⩽ i ⩽ n {\displaystyley_{i}(x),\;\;1\leqslanti\leqslantn} 都是一個實數值的函數。

具體的例子如二維或者三維空間裡的參數方程式。

因此，對 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} 求導實際上是對每個分量函數 y i ( x ) {\displaystyley_{i}(x)} 求導。

y ′ ( t ) = ( y 1 ′ ( t ) , ⋯ , y n ′ ( t ) ) . {\displaystyle\mathbf{y}'(t)=(y'_{1}(t),\cdots,y'_{n}(t)).} [2]:191 這也符合定義 y ′ ( t ) = lim h → 0 y ( t + h ) − y ( t ) h , {\displaystyle\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to0}{\frac{\mathbf{y}(t+h)-\mathbf{y}(t)}{h}},} 設 ( e 1 , e 2 , ⋯ e n ) {\displaystyle\left(e_{1},e_{2},\cdotse_{n}\right)} 為 R n {\displaystyle\mathbf{R}^{n}} 的一組基，那麼對函數： y : t ↦ y 1 ( t ) e 1 + y 2 ( t ) e 2 + ⋯ y n ( t ) e n , {\displaystyley\,:t\,\mapsto\,y_{1}(t)e_{1}+y_{2}(t)e_{2}+\cdotsy_{n}(t)e_{n},} 其導函數為： y ′ ( t ) = y 1 ′ ( t ) e 1 + y 2 ′ ( t ) e 2 + ⋯ y n ′ ( t ) e n {\displaystyley'(t)=y'_{1}(t)e_{1}+y'_{2}(t)e_{2}+\cdotsy'_{n}(t)e_{n}} 偏導數[編輯] 主條目：偏導數 如果有函數 f {\displaystylef} 其自變數不是單個實數，而是多於一個元素，例如： f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystylef(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,} 這時可以把其中一個元素（比如 x {\displaystylex} ）看做參數，那麼 f {\displaystylef} 可以看做是關於另一個元素的參數函數： f ( x , y ) = f x ( y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystylef(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,} 也就是說，對於某個確定的 x {\displaystylex} ，函數 f x {\displaystylef_{x}} 就是一個關於 y {\displaystyley} 的函數。

在 x = a {\displaystylex=a} 固定的情況下，可以計算這個函數 f x {\displaystylef_{x}} 關於 y {\displaystyley} 的導數。

f a ′ ( y ) = a + 2 y {\displaystylef_{a}'(y)=a+2y\,} 這個表達式對於所有的 a {\displaystylea} 都對。

這種導數稱為偏導數，一般記作： ∂ f ∂ y ( x , y ) = x + 2 y {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialy}}(x,y)=x+2y} 這裡的符號∂是字母 d {\displaystyled} 的圓體變體，一般讀作 δ {\displaystyle\delta} 的首音節或讀「偏」，以便與 d {\displaystyled} 區別。

更一般地來說，一個多元函數 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystylef\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)} 在點 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) {\displaystyle\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)} 處對 x i {\displaystylex_{i}} 的偏導數定義為： ∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i + h , … , a n ) − f ( a 1 , … , a n ) h . {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n})=\lim_{h\to0}{\frac{f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots,a_{n})-f(a_{1},\ldots,a_{n})}{h}}.} 上面的極限中，除了 x i {\displaystylex_{i}} 外所有的自變元都是固定的，這就確定了一個一元函數： f a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n ( x i ) = f ( a 1 , … , a i − 1 , x i , a i + 1 , … , a n ) {\displaystylef_{a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots,a_{n})} 因此，按定義有： d f a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n d x i ( a i ) = ∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n ) . {\displaystyle{\frac{df_{a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac{\partialf}{\partialx_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n}).} 偏導數的實質仍然是一元函數的導數。

[22]:56 多變數函數的一個重要的例子，是從 R n {\displaystyle\mathbf{R}^{n}} （例如 R 2 {\displaystyle\mathbf{R}^{2}} 或 R 3 {\displaystyle\mathbf{R}^{3}} ）映射到 R {\displaystyle\mathbf{R}} 上的純量值函數 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystylef\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)} 。

在這種情況下， f {\displaystylef} 關於每一個變數 x i {\displaystylex_{i}} 都偏誤導數 ∂ f ∂ x i {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx_{i}}}} 。

在點 x = a {\displaystylex={\boldsymbol{a}}} ，這些偏導數定義了一個向量： ∇ f ( a ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( a ) , … , ∂ f ∂ x n ( a ) ] {\displaystyle\nablaf({\boldsymbol{a}})=\left[{\frac{\partialf}{\partialx_{1}}}({\boldsymbol{a}}),\ldots,{\frac{\partialf}{\partialx_{n}}}({\boldsymbol{a}})\right]} 。

這個向量稱為 f {\displaystylef} 在點 a {\displaystyle{\boldsymbol{a}}} 的梯度。

如果 f {\displaystylef} 在定義域中的每一個點都是可微的，那麼梯度便是一個向量值函數 ∇ f {\displaystyle\nablaf} ，它把點 a {\displaystylea} 映射到向量 ∇ f ( a ) {\displaystyle\nablaf(a)} 。

這樣，梯度便決定了一個向量場。

方向導數[編輯] 主條目：方向導數 方向導數是比偏導數更加廣泛的概念。

導數的本質是函數值增量與自變數增量之比的極限。

在多元函數 f {\displaystylef} 中，可以選定一個確定的方向（以這個方向上的單位向量 δ {\displaystyle{\boldsymbol{\delta}}} 表示），並考慮函數在這個方向上的增量： f ( x 0 + t δ ) − f ( x 0 ) {\displaystylef({\boldsymbol{x}}_{0}+t{\boldsymbol{\delta}})-f({\boldsymbol{x}}_{0})} 這個增量為關於 t {\displaystylet} 的一元函數。

函數 f {\displaystylef} 的方向導數定義為這個增量與 t {\displaystylet} 的比值在 t {\displaystylet} 趨於0時的極限，記為 ∂ f ∂ δ ( x 0 ) {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partial{\boldsymbol{\delta}}}}({\boldsymbol{x}}_{0})} 。

∂ f ∂ δ ( x 0 ) = lim t → 0 f ( x 0 + t δ ) − f ( x 0 ) t {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partial{\boldsymbol{\delta}}}}({\boldsymbol{x}}_{0})=\lim_{t\to0}{\frac{f({\boldsymbol{x}}_{0}+t{\boldsymbol{\delta}})-f({\boldsymbol{x}}_{0})}{t}}} 方向導數表示了函數從某點開始在某個方向上的變化率。

[22]:55-56 在 R n {\displaystyle\mathbf{R}^{n}} 中，如果將向量 δ {\displaystyle{\boldsymbol{\delta}}} 選為正規基 ( e 1 , e 2 , ⋯ , e n ) {\displaystyle\left({\boldsymbol{e}}_{1},{\boldsymbol{e}}_{2},\cdots,{\boldsymbol{e}}_{n}\right)} 之中的一個，如 e i {\displaystyle{\boldsymbol{e}}_{i}} ，那麼方向導數就是關於 x i {\displaystyle{\boldsymbol{x}}_{i}} 的偏導數。

[22]:55-56 推廣[編輯] 導數的概念建立在變數為實數之上，但也可以推廣到更加廣泛的意義上。

推廣的導數本質上仍舊是函數在局部一點上的線性逼近。

複變數導數[編輯] 主條目：全純函數 對於變數為複數的函數，也可以定義導數的概念。

假設有複變函數 f : Ω ∈ C → C {\displaystylef:\Omega\in\mathbb{C}\to\mathbb{C}} 。

如果 f {\displaystylef} 在某一點 z 0 {\displaystylez_{0}} 及附近有定義，並且極限： lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 {\displaystyle\lim_{z\toz_{0}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}} 存在，那麼就說函數 f {\displaystylef} 在 z 0 {\displaystylez_{0}} 可導。

其中 z → z 0 {\displaystylez\toz_{0}} 表示 z − z 0 {\displaystylez-z_{0}} 的模長趨向於0。

如果將複變數 z {\displaystylez} 視作 x + i y {\displaystylex+iy} ，那麼 f {\displaystylef} 可以視作一個 R 2 {\displaystyle\mathbb{R}^{2}} 上的函數。

如果作為複變函數的 f {\displaystylef} 可導，那麼作為 R 2 {\displaystyle\mathbb{R}^{2}} 上函數的 f {\displaystylef} 的偏導數也存在，但反之則不然。

只有當柯西-黎曼條件滿足的時候才能保證複變函數的復可導性[23]。

弱微分[編輯] 主條目：弱微分 在分布理論里，弱微分的概念使得對更多嚴格意義上無法求導的函數也可以定義導函數。

設 u {\displaystyleu} 是一個局部勒貝格可積（比如說在 L l o c 1 ( R )   {\displaystyleL_{loc}^{1}(\mathbb{R})\} 中）的函數，稱 v ∈ L l o c 1 ( R ) {\displaystylev\inL_{loc}^{1}(\mathbb{R})} 是 u {\displaystyleu} 的一個弱微分，如果對所有的測試函數 φ {\displaystyle\varphi} ，都有： ∫ R u ( t ) φ ′ ( t ) d t = − ∫ R v ( t ) φ ( t ) d t {\displaystyle\int_{\mathbb{R}}u(t)\varphi'(t)dt=-\int_{\mathbb{R}}v(t)\varphi(t)dt} 成立。

其中測試函數是指緊支撐的光滑函數[24]。

弱微分包括了強微分，也就是通常意義上的導數。

次導數[編輯] 主條目：次導數 過 x 0 {\displaystylex_{0}} 的直線（紅）在函數（藍）下方，它的斜率是函數的次導數 在凸分析，也就是對凸函數的研究中，可以定義凸函數的次導數。

次導數的概念是導數的幾何意義的推廣。

由於函數是凸的，過它的圖像上每一點總可以作一條直線，使得函數的圖像在直線上方。

這種直線的斜率稱為函數在這點的次導數。

如果函數在某點可導，那麼次導數只有一個，等於其導數。

如果函數像絕對值函數一樣在零點有突然的轉折，那麼次導數可能不止一個。

比如過零點而斜率在 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle(-1,1)} 之間的直線都在絕對值函數下方，因此 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle(-1,1)} 之間的每個數都是絕對值函數在零點的次導數。

[25] 非整數階導數[編輯] 主條目：分數微積分 早在十九世紀，在數學家明確了求導與積分的互逆關係以後，就出現了負階次導數的記號： D − n = ∫ n {\displaystyleD^{-n}=\int^{n}} （表示求n次積分）[9]:208。

而非整數階導數的概念則進一步將其推廣。

比如，半微分算子 H = D 1 2 {\displaystyleH=D^{\frac{1}{2}}} 表示其作用於函數上兩次以後的效果將等於一次求導： H 2 ( f ) ( x ) = H [ H ( f ) ] ( x ) = D ( f ) ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyleH^{2}(f)(x)=H[H(f)](x)=D(f)(x)=f'(x)} 定義非整數階導數的方法不止一種，最常用的非整數階導數定義為黎曼-萊歐維爾定義： 設 0 < s < 1 {\displaystyle0