微積分精華版Essential Calculus - ppt download

4.1 反導數和不定積分4.2 面積4.3 黎曼和與定積分4.4 微積分基本定理4.5 變數代換法求不定積分4.6 數值積分4.7 自然對數函數：積分4.8 反三角函數：積分. 上传 请登录 Mypresentations Profile 反馈 Logout 搜索 请登录 请登录 Authwithsocialnetwork: 注册 忘记密码？ Downloadpresentation Wethinkyouhavelikedthispresentation.Ifyouwishtodownloadit,pleaserecommendittoyourfriendsinanysocialsystem.Sharebuttonsarealittlebitlower.Thankyou! Buttons: 取消 Download Presentationisloading.Pleasewait. 微積分精華版EssentialCalculus Publishedby倍闻居 Modified5年之前 嵌入 Downloadpresentation Copytoclipboard Similarpresentations More Presentationontheme:"微積分精華版EssentialCalculus"—Presentationtranscript: 1 微積分精華版EssentialCalculus第4章積分 2 4.1反導數和不定積分4.2面積4.3黎曼和與定積分4.4微積分基本定理4.5變數代換法求不定積分4.6數值積分4.7自然對數函數：積分4.8反三角函數：積分 3 F1(x)=x3，F2(x)=x3–5和F3(x)=x3+974.1反導數和不定積分反導數的定義如果在區間I上，F'(x)=f(x)恆成立，我們就稱函數F是函數f在I上的一個反導數（antiderivative）。

注意F只是f諸多反導數中的一個，而非全體，所以我們不說F是f的反導數，而要說F是f的反導數之一。

為何如此呢？因為F1(x)=x3，F2(x)=x3–5和F3(x)=x3+97都是f(x)=3x2的反導數。

實際上，對任何的一個常數C，F(x)=x3+C都是f的反導數。

p.165 4 G(x)=F(x)+C在I上恆成立，式中C是一個常數定理4.1反導數的表示法如果F是區間I上函數f的一個反導數，那麼函數G也是I上f的一個反導數的充要條件是G(x)=F(x)+C在I上恆成立，式中C是一個常數利用定理4.1，我們可以將任意常數加到一個已知的反導數來得到所有可能的反導數。

一個x和y的微分方程（differentialequation）是一個牽涉到變量x，y和y的導函數的方程式。

p.165 5 例1解微分方程求微分方程y'=2的通解。

解先找一個導函數是2的函數，一個可能是y=2x2x是2的反導數例1解微分方程求微分方程y'=2的通解。

解先找一個導函數是2的函數，一個可能是y=2x 2x是2的反導數再利用定理4.1得知微分方程的通解是y=2x+C 通解圖4.1給出三個y=2x+C的函數圖形。

p.166 6 在不同的常數C時，函數y=2x+C的圖形。

圖4.1在不同的常數C時，函數y=2x+C的圖形。

p.166 7 在解形如dy/dx=f(x)的微分方程時，習慣上會把它改寫為dy=f(x)dx。

求出上式所有解的運算方法稱為反微分反導數的記號在解形如dy/dx=f(x)的微分方程時，習慣上會把它改寫為dy=f(x)dx。

求出上式所有解的運算方法稱為反微分（antidifferentiation）或不定積分（indefiniteintegration），並以積分記號∫表示。

式子∫f(x)dx讀作f對x的反導數。

式中，微分dx用來確認積分變數是x，不定積分（indefiniteintegral）一詞則是反導數的同義字。

p.166 8 從積分與微分互逆的本質，可以重寫不定積分的定義如下：並且，如果∫f(x)dx=F(x)+C，當然有p.167 9 p.167 10 p.168 11 例2應用基本積分規則試求3x的反導數。

解　因此，3x的反導數是　　　　，其中C是任意常數。

p.168 12 例3進行積分之前的改寫工作p.168 13 例4多項式函數的不定積分p.169 14 例5積分之前先行改寫p.169 15 例6積分之前先行改寫p.170 16 初始條件和特解在積分的應用中，通常會根據足夠的訊息來決定一個特解（particularsolution）。

其實，也只需要知道y=F(x)在一特定x的值（此訊息稱為初始條件（initialcondition）。

p.170 17 滿足初始條件F(2)=4的特解是F(x)=x3–x–2。

圖4.2滿足初始條件F(2)=4的特解是F(x)=x3–x–2。

p.170 18 例7求一個特解求F'(x)=ex的通解，並求滿足初始條件F(0)=3的特解。

解先以積分求得通解例7求一個特解求F'(x)=ex的通解，並求滿足初始條件F(0)=3的特解。

解先以積分求得通解以初始條件F(0)=3，解C如下F(0)=e0+C3=1+C→=C如圖4.3所示，特解是p.170 19 滿足初始條件F(0)=3的特解是F(x)=ex+2。

圖4.3滿足初始條件F(0)=3的特解是F(x)=ex+2。

p.171 20 例8解鉛直運動以初速64呎∕秒從高度80呎處將一球向上擲出（圖4.4）。

a.求時間t時的高度函數。

b.球何時落地？例8解鉛直運動以初速64呎∕秒從高度80呎處將一球向上擲出（圖4.4）。

a.求時間t時的高度函數。

b.球何時落地？解a.以t=0表初始時間，兩個初始條件分別是以重力加速度–32呎∕秒2，寫下p.171 21 再以初始速度代入，得到s'(0)=64=–32(0)+C1，亦即C1=64，然後，再積分s'(t)得出代入初始高度80呎，得出s(0)=80=–16(02)+64(0)+C2因此C2=80。

所以，高度函數是p.171 22 圖4.4球在t時刻的高度。

p.171 23 b.由(a)的結果，令s(t)=0來解球落地的時間。

s(t)=–16t2+64t+80=0p.171 24 4.2面積Σ符號a1，a2，a3，…，an，n項的和記成4.2面積Σ符號a1，a2，a3，…，an，n項的和記成其中i是求和時一般項的序號（indexofsummation），ai是求和的第i項（ithterm），1和n分別是求和的頭、尾項序號（upperandlowerboundsofsummation）。

p.174 25 例1使用Σ符號舉例(a)和(b)顯示同一個和可以Σ符號作不同的表示。

p.174 26 定理4.2求和公式p.174 27 例2求和對n=10，100，1000和10,000，求。

解利用定理4.2，得出例2求和對n=10，100，1000和10,000，求。

解　利用定理4.2，得出再將n的值分別代入，答案如下表所示。

p.175 28 p.175 29 面積在歐幾里德幾何學中，最簡單的平面區域是長方形。

雖然一般都說長方形的面積公式是長乘以寬A=bh（圖4.5），而實際上這個公式應該稱為長方形面積（areaofarectangle）的定義。

從這個定義出發，我們可以得到許多其他平面區域的面積。

譬如，三角形的面積可以從長方形面積之半得出（圖4.6）。

一旦得出三角形的面積公式，任意多邊形的面積就可藉著分割成三角形來求得（圖4.7）。

p.175 30 圖4.5長方形：A=bh。

p.175 31 圖4.6三角形：A=½bh。

p.175 32 圖4.7p.175 33 圖4.8以窮盡法求圓域的面積。

p.176 34 例3平面區域面積的近似值圖4.9(a)和(b)分別以兩組長方形來近似介於f(x)=–x2+5例3平面區域面積的近似值圖4.9(a)和(b)分別以兩組長方形來近似介於f(x)=–x2+5圖形之下、x軸之上，從x=0到x=2的面積。

解　a.五個小區間右邊的端點分別是2/5i，i=1，2，3，4，5。

每一個長方形底的寬度都是2/5，高度由f在每一個小區間右邊的端點代值決定。

p.176 35 因為每一個長方形都落在拋物線區域的內部，可知拋物線區域的面積一定大於6.48。

這五個長方形的面積和是因為每一個長方形都落在拋物線區域的內部，可知拋物線區域的面積一定大於6.48。

p.176 36 圖4.9p.176 37 因為拋物線區域落在五個長方形區域的聯集中，可知拋物線區域的面積一定小於8.08。

結論：6.48＜拋物線區域面積＜8.08。

b.五個小區間左邊的端點是2/5(i–1)，i=1，2，3，4，5。

每一個長方形底的寬度都是2/5，高度由f在每一個小區間左邊的端點代值決定。

因為拋物線區域落在五個長方形區域的聯集中，可知拋物線區域的面積一定小於8.08。

結論：6.48＜拋物線區域面積＜8.08。

p.177 38 因為f連續，極值定理保證f(x)在每一個子區間上都有極小值和極大值。

上和與下和有一個平面上的區域以x軸為下界，以一個非負連續的函數y=f(x)的圖形為上界，左、右兩邊則以鉛直線x=a和x=b為界。

先將區間(a,b)等分為n個子區間，每一個子區間的寬度都是Δx=(b–a)/n，現在要求此區域面積的近似值。

這些子區間的端點分別是因為f連續，極值定理保證f(x)在每一個子區間上都有極小值和極大值。

p.177 39 圖4.10曲線下方的區域。

p.177 40 將區間[a,b]等分為n個子區間，寬度是。

圖4.11將區間[a,b]等分為n個子區間，寬度是。

p.177 41 f(mi)=f(x)在第i個子區間上的極小值f(Mi)=f(x)在第i個子區間上的極大值我們稱一個落在第i個子區域中的長方形為內接長方形（inscribedrectangle），而稱一個完全覆蓋第i個子區域的長方形為外接長方形（circumscribedrectangle）。

將第i個內接長方形的高度取成f(mi)，而將第i個外接長方形的高度取成f(Mi)，我們有下列的不等式關係上述n個內接長方形的面積和稱為一個下和（lowersum），上述n個外接長方形的面積和稱為一個上和（uppersum）。

p.177 42 圖4.12p.178 43 例4求區域的上和與下和求下方以x軸，上方以f(x)=x2的圖形，左右以x=0和x=例4求區域的上和與下和求下方以x軸，上方以f(x)=x2的圖形，左右以x=0和x=2為界的區域的上和與下和。

解先將[0,2]等分割為n個子區間，每一個取的寬度是圖4.13顯示出一些子區間的端點和一些內接、外接的長方形。

因為f在[0,2]上遞增，所以在每一個子區間上的極小值一定發生在左端點，極大值一定發生在右端點。

p.178 44 以左端點取值為內接長方形的高，得到下和p.178 45 圖4.13p.178 46 以右端點取值為外接長方形的高，得到上和p.179 47 定理4.3下和與上和的極限假設f非負並且在區間[a,b]上連續。

則當n→∞時，下和與上和的極限各自都會存在並且彼此相等，也就是說式中Δx=(b–a)/n，f(mi)和f(Mi)分別是f在子區間上的極小值和極大值。

p.179 48 反曲點的定義假設f是一個非負並且在[a,b]上連續的函數，則以f的圖形、x軸、鉛直線x=a和x=b為界的區域面積是式中Δx=(b–a)/n（圖4.14）。

p.180 49 第i個子區間的寬度是Δx=xi–xi–1。

圖4.14第i個子區間的寬度是Δx=xi–xi–1。

p.180 50 例5以極限的方式定義面積並計算答案求以f(x)=x3的圖形為上界，x軸為下界，左、右以鉛直線例5以極限的方式定義面積並計算答案求以f(x)=x3的圖形為上界，x軸為下界，左、右以鉛直線x=0和x=1為界的區域面積（圖4.15）。

解注意到f是在區間[0,1]上非負並且連續的函數，現將區間[0,1]分割成n個子區間，每一個子區間的寬度是Δx=1/n。

照面積定義，可在第i個子區間上選擇任意的x值。

在此例裡，為方便起見不妨選擇ci=i/n。

p.180 51 由此可知，區域的面積是¼。

p.180 52 以f的圖形、x軸、x=0和x=1為界的區域面積是¼。

圖4.15以f的圖形、x軸、x=0和x=1為界的區域面積是¼。

p.180 53 例6以極限的方式定義面積並計算答案求以f(x)=4–x2的圖形，x軸，鉛直線x=1和x=2為界的例6以極限的方式定義面積並計算答案求以f(x)=4–x2的圖形，x軸，鉛直線x=1和x=2為界的區域面積（圖4.16）。

解　函數f在區間[1,2]上非負並且連續，現將區間分割成n個子區間，每一個的長度都是Δx=1/n，選擇每一個子區間的右端點根據面積求和公式，得出p.180 54 故區域的面積是5/3。

p.180 55 以f的圖形、x軸、x=1和x=2為界的區域面積是5/3。

圖4.16以f的圖形、x軸、x=1和x=2為界的區域面積是5/3。

p.180 56 例7以y軸為界的例子求以f(y)=y2圖形和y軸為界的區域面積，y的範圍限制在方法，先把[0,1]分割成n個子區間，每一個子區間的寬度都是Δy=1/n，然後，取第i個子區間上端的端點ci=i/n，得到p.181 57 故區域的面積是1/3。

p.181 58 以f的圖形、y軸為界，y的範圍限制在0≤y≤1的區域面積是1/3。

圖4.17以f的圖形、y軸為界，y的範圍限制在0≤y≤1的區域面積是1/3。

p.181 59 4.3黎曼和與定積分黎曼和的定義f是一個定義在閉區間[a,b]上的函數，Δ是[a,b]的一個分4.3黎曼和與定積分黎曼和的定義f是一個定義在閉區間[a,b]上的函數，Δ是[a,b]的一個分割，相應的端點是a=x00則有p.222 164 例1以反三角函數求積分p.222 165 例2積分換變數求　　　　。

解　初看，積分與反三角函數公式無關，但是以u=ex代入得到代入後，積分如下p.222 166 例3拆成兩式分別積分求。

解　將積分拆成兩式，分別處理p.223 167 x2–4x+7=(x2–4x+4)–4+7=(x–2)2+3=u2+a2例4配方求。

解　將分母配方之後改寫成平方和如下：x2–4x+7=(x2–4x+4)–=(x–2)2+3=u2+a2令u=x–2，p.223 168 例5首項係數為負時的配方求以圖形，x軸、直線和直線為界的區域面積。

解如圖4.46所示，所求面積為例5首項係數為負時的配方求以圖形，x軸、直線　　　和直線為界的區域面積。

解　如圖4.46所示，所求面積為將分母根號之內的式子配方，積分如下：p.224 169 p.224 170 以f的圖形、x軸、x=3/2和x=9/4為界的區域面積是π/6。

圖4.46以f的圖形、x軸、x=3/2和x=9/4為界的區域面積是π/6。

p.224 171 基本積分規則（a>0）p.225 172 p.225 173 例6幾個積分問題的比較以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。

解a.可以公式處理（反正割規則）例6幾個積分問題的比較以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。

解a.可以公式處理（反正割規則）b.可以指數規則處理（以x2為u）c.到本節為止，還無法解決。

p.226 174 例7幾個積分問題的比較以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。

解a.可以公式處理（對數規則）。

例7幾個積分問題的比較以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。

解　a.可以公式處理（對數規則）。

b.可以指數規則處理（以lnx為u）。

c.到本節為止還無法解決。

p.226 Downloadppt"微積分精華版EssentialCalculus" Similarpresentations 必修部分必修部分延伸部分單元2Module2(M2)代數與微積分延伸部分單元2Module2(M2)代數與微積分延伸部分單元1Module1(M1)微積分與統計延伸部分單元1Module1(M1)微積分與統計新高中數學科同學可加選以下一個單元修讀. 上页下页结束返回首页一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式与微分运算法则微分的定义可微与可导的关系基本初等函数的微分公式函数和差积商的微分法则复合函数的微分法则上页下页结束返回首页§2．6函数的微分. 歐亞書局微積分精華版[第九版]微分量與邊際分析4.8.歐亞書局4.8微分量與邊際分析學習目標求函數的微分量。

以微分量來估算函數的變化量。

以微分量來估算在現實生活模型的變化量。

P.4-62第四章導數的應用. 第三节函数的微分及其应用一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的基本公式及其运算法则四、微分在近似计算中的应用五、小结、作业. 第六节微分及其应用一、微分的概念二、常数和基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、微分的应用. 663Chapter14IntegralTransformMethodIntegraltransform可以表示成如下的積分式的transformkernelLaplacetransformisoneoftheintegraltransform本章討論的integral. 第三章导数与微分社会科学教学部李海霞本章内容3.1导数的概念及导数的几何意义3.2导数的求导法则3.3微分概念及求法3.4高阶导数. 学年高三一轮复习第五章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用作课人：李明单位：河南省淮滨高级中学时间：2015年10月12日. 人的性别遗传合肥市第四十九中学丁艳.男女成对染色体排序图1、男性和女性各23对染色体有何异同?哪一对被称为性染色体?2、这两幅图中，哪幅图显示的是男性的染色体？哪幅图显示的是女性染色体？3、图中哪条染色体是Y染色体？它与X染色体在形态上的主要区别是. 1第三章函数逼近—正交多项式.2内容提要正交多项式正交函数族与正交多项式Legendre正交多项式Chebyshev正交多项式Chebyshev插值第二类Chebyshev正交多项式Laguerre正交多项式Hermite正交多项式. 成功八步成功一定有方法失败一定有原因银河系统. 回归教材、梳理知识、突出能力——2015年历史二轮复习思考李树全西安市第八十九中学. 1、一般地说，在生物的体细胞中，和都是成对存在的。

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