找對稱軸與對稱點的趣味探索@ isdp2008am - 隨意窩
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相信很多人都知道,在坐標平面上二次函數 的圖形有一條對稱軸如下: ... 左右兩邊、位在 的函數圖形上的兩點:. 滿足. 將上式移項後,利用 函數的和差角公式推導如下.
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201808180409找對稱軸與對稱點的趣味探索?幾何學阿新:「然後你的焦糖瑪奇朵是一百六,那你給我一百五就好了,十塊我出。
」
立愉:「我先走了喔。
」
阿新:「ㄟ不...」
—取自影片《新竹遇到愛》的對白
一、前言
相信很多人都知道,在坐標平面上二次函數的圖形有一條對稱軸如下:
不過,是否還有其他的對稱軸呢?相信這個問題就比較少人去思考與研究了。
此外,也許有些讀者知道三次函數的圖形上,有一個對稱點
使整個的函數圖形對於點對稱。
不過,上面點的座標究竟是如何求出來的呢?恰好只有𝑃點是這樣子的對稱點嗎?
對於上面兩個關於函數圖形的對稱軸與對稱點的問題,筆者在本文底下的內容當中將介紹相關的參考文章,或直接予以解答。
二、找對稱點
對於函數的函數圖形,我們有時候會想找出其圖形上的一點,使其可成為的函數圖形的對稱點。
意思是,對於位在左右兩邊、同樣位在的函數圖形上的兩點:
其中,我們總有
而的值為何,就要從(1)式中去找。
這個方法,在[1]文中也有使用上,該文章內容是利用(1)來求出三次函數
的對稱點,所求出的對稱點恰好只有一個,即
這樣,我們就解決了前言中的後兩個問題(藉由[1]文的幫助)。
除此之外,對於函數,若我們想找出其圖形上的一點,可成為函數圖形的對稱點。
由(1),可知對於位在左右兩邊、位在的函數圖形上的兩點:
滿足
將上式移項後,利用函數的和差角公式推導如下
因為對於任何,均有,可知(3)可化簡為
對於(4),只要取,其中為整數,即可知,此時由(4)可知
而滿足(5)的解為,其中為整數。
因此,函數圖形上的對稱點有無窮多個,其形式均可寫為
其中為整數。
找出了函數圖形上的對稱點之後,我們不妨來找找看函數圖形上的對稱點。
假設落在的函數圖形上的點是的函數圖形的對稱點,則對於底下兩點:
將滿足
將上式移項後,利用函數的和差角公式推導如下:
對於(6),只要取,其中為整數,即可知,此時由(6)可知
而滿足(7)的解為,其中為整數。
因此,函數圖形上的對稱點有無窮多個,其形式均可寫為
其中為整數。
這剛好與函數圖形上的對稱點完全一樣,為何如此呢?有興趣的讀者不妨想想看。
三、找對稱軸
若想找出與對稱點最相關的一個名詞,相信許多人會想到對稱軸。
不少人應該知道,奇函數是具有「圖形上的」對稱點的函數,偶函數是具有對稱軸的函數。
為何前者要加上「圖形上的」這四個字呢?一個簡單的例子,只要看看圓,它的圖形也有一個對稱點,那就是圓心,但圓心並不在「圓上」。
對於函數的函數圖形,有時候我們會想找出座標平面上的一條鉛直線,使其可成為的函數圖形的對稱軸。
意思是,對於位在直線左右兩邊、位在的函數圖形上的兩點:
其中,我們總有
而的值為何,就要從(8)式中去找。
比如說,對於前言中提到的二次函數,我們想找出平面上的一條直線,可成為函數圖形的對稱軸。
由(8)可知滿足
上式可化簡為
對於(10),只要取,此時由(10)可知
因此,函數只有一條對稱軸,那就是
找出了函數圖形上的對稱軸之後,我們不妨來找找看函數圖形的對稱軸。
假設直線是函數圖形的對稱軸,由(7)可知
對於(11),只要取,其中為整數,即可知,此時由(11)可知
而滿足(12)的解為
其中為整數。
因此,函數圖形的對稱軸有無窮多條,可寫為
其中為整數。
四、結語
本文寫作的緣起,是因為筆者自己透過方法(1),對三次函數(2)的圖形求出了函數圖形上的對稱點,不過上網搜尋之後,發現[1]文的作者早已經使用同樣的方法算出了同樣的結果。
因此,便想藉這個機會,分享自己對其他函數求對稱點的結果,即第二節的內容。
知道如何求出函數圖形上的對稱點之後,筆者想順便分享對函數圖形求對稱軸的結果,因此寫成了第三節的內容。
本文的內容都很簡單,只是想介紹兩個簡單的方法,來找函數圖形的對稱點與對稱軸。
不過,對於無法寫成函數形式的圖形,也許上面的方法就不適用了。
無論如何,希望讀者喜歡本文所介紹的內容,至於文章開頭所分享的兩句對白,請參考[2]。
參考資料
1.陳威任,對高一學生談三次多項式函數的性質,刊登於數學傳播37卷4期。
http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d374/37405.pdf
2.新竹遇到愛,新竹市政府宣傳片
https://www.youtube.com/watch?v=w8i4mKYWWe4
(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班) isdp2008am/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應
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