E (数学常数) - 维基百科,自由的百科全书
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作为數學常數,是自然對數函數的底數,亦称自然常数、自然底数,或是歐拉數(Euler's number),以瑞士數學家歐拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭 ...
e(數學常數)
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提示:此條目的主題不是科學記數法。
尤拉數命名數字2.7182818284名稱尤拉數納皮爾常數識別種類無理數超越數發現雅各布·伯努利代號
e
{\displaystylee}
位數數列編號 A001113定義
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystylee=\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{n}}\right)^{n}}
e
=
lim
t
→
0
(
1
+
t
)
1
t
{\displaystylee=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}}
連分數[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12...]表示方式值2.7182818284無窮級數
∑
n
=
0
∞
1
n
!
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}}
閱論編
各式各樣的數
基本
N
⊆
Z
⊆
Q
⊆
R
⊆
C
{\displaystyle\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}}
正數
R
+
{\displaystyle\mathbb{R}^{+}}
自然數
N
{\displaystyle\mathbb{N}}
正整數
Z
+
{\displaystyle\mathbb{Z}^{+}}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數
Q
{\displaystyle\mathbb{Q}}
代數數
A
{\displaystyle\mathbb{A}}
實數
R
{\displaystyle\mathbb{R}}
複數
C
{\displaystyle\mathbb{C}}
高斯整數
Z
[
i
]
{\displaystyle\mathbb{Z}[i]}
負數
R
−
{\displaystyle\mathbb{R}^{-}}
整數
Z
{\displaystyle\mathbb{Z}}
負整數
Z
−
{\displaystyle\mathbb{Z}^{-}}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
I
{\displaystyle\mathbb{I}}
二次無理數
艾森斯坦整數
Z
[
ω
]
{\displaystyle\mathbb{Z}[\omega]}
延伸
二元數
四元數
H
{\displaystyle\mathbb{H}}
八元數
O
{\displaystyle\mathbb{O}}
十六元數
S
{\displaystyle\mathbb{S}}
超實數
∗
R
{\displaystyle^{*}\mathbb{R}}
大實數
上超實數
雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數(英語:Dualquaternion)
超複數
超數
超現實數
其他
質數
P
{\displaystyle\mathbb{P}}
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
規矩數
可定義數
序數
超限數
p進數
數學常數
圓周率
π
=
3.141592653
…
{\displaystyle\pi=3.141592653\dots}
自然對數的底
e
=
2.718281828
…
{\displaystylee=2.718281828\dots}
虛數單位
i
=
−
1
{\displaystylei={\sqrt{-1}}}
無窮大
∞
{\displaystyle\infty}
e
{\displaystylee}
是使在
x
=
0
{\displaystylex=0}
點上
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystylef(x)=a^{x}}
(藍色曲線)的導數(切線的斜率)值為1之
a
{\displaystylea}
的唯一值。
對比一下,函數
2
x
{\displaystyle2^{x}}
(虛點曲線)和
4
x
{\displaystyle4^{x}}
(虛線曲線)和斜率為1、y-截距為1的直線(紅色)並不相切。
e
{\displaystylee}
,作為數學常數,是自然對數函數的底數,亦稱自然常數、自然底數,或是尤拉數(Euler'snumber),以瑞士數學家尤拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。
它是一個無限不循環小數,數值約是(小數點後20位, A001113):
e
=
2.71828182845904523536
⋯
{\displaystylee=2.71828182845904523536\cdots}
目次
1歷史
2定義
3性質
4無理數證明
4.1反證法
4.2二項式定理
5已知位數
6諧取
7參見
8參考文獻
歷史
第一次提到常數
e
{\displaystylee}
,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。
但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德製作。
第一次把
e
{\displaystylee}
看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{n}}\right)^{n}}
。
已知的第一次用到常數
e
{\displaystylee}
,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以
b
{\displaystyleb}
表示。
1727年尤拉開始用
e
{\displaystylee}
來表示這常數;而
e
{\displaystylee}
第一次在出版物用到,是1736年尤拉的《力學》(Mechanica)。
雖然往後年日有研究者用字母
c
{\displaystylec}
表示,但
e
{\displaystylee}
較常用,終於成為標準。
用
e
{\displaystylee}
表示的原因確實不明,但可能因為
e
{\displaystylee}
是「指數」(exponential)一字的首字母。
另一看法則稱
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystylea,b,c,d}
有其他經常用途,而
e
{\displaystylee}
是第一個可用字母。
定義
就像圓周率
π
{\displaystyle\pi}
和虛數單位i,
e
{\displaystylee}
是數學中最重要的常數之一。
它有幾種等價定義,下面列出一部分。
定義
e
{\displaystylee}
爲下列極限值:
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystylee=\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{n}}\right)^{n}}
e
=
lim
t
→
0
(
1
+
t
)
1
t
{\displaystylee=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}}
定義
e
{\displaystylee}
爲階乘倒數之無窮級數的和[1]:
e
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
=
1
0
!
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
1
4
!
+
⋯
{\displaystylee=\sum_{n=0}^{\infty}{1\overn!}={1\over0!}+{1\over1!}+{1\over2!}+{1\over3!}+{1\over4!}+\cdots}
其中
n
!
{\displaystylen!}
代表
n
{\displaystylen}
的階乘。
定義
e
{\displaystylee}
爲唯一的正數
x
{\displaystylex}
使得
∫
1
x
d
t
t
=
1
{\displaystyle\int_{1}^{x}{\frac{\mathrm{d}t}{t}}=1}
定義
e
{\displaystylee}
爲唯一的實數
x
{\displaystylex}
使得
lim
h
→
0
x
h
−
1
h
=
1
{\displaystyle\lim_{h\to0}{\frac{x^{h}-1}{h}}=1}
這些定義可證明是等價的,請參見文章指數函數的特徵描述(英語:Characterizationsoftheexponentialfunction)。
性質
x
x
{\displaystyle{\sqrt[{x}]{x}}}
的極大值在
x
=
e
{\displaystylex=e}
.
很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。
指數函數
e
x
{\displaystylee^{x}}
的重要性在於,唯獨該函數(或其常數倍,即
x
↦
k
e
x
{\displaystylex\mapstoke^{x}}
,其中
k
{\displaystylek}
為任意常數)與自身導數相等。
即:
d
d
x
e
x
=
e
x
{\displaystyle{\frac{d}{dx}}e^{x}=e^{x}}
。
e
x
{\displaystylee^{x}}
的泰勒級數為
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
∀
x
{\displaystylee^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}\quad\forallx}
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
.
.
.
{\displaystyle=1+x+{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{3}}{3!}}+...}
x
{\displaystylex}
為複數時依然成立,因此根據
sin
x
{\displaystyle\sinx}
及
cos
x
{\displaystyle\cosx}
的泰勒級數,得出在數學中一條稱為尤拉公式的重要等式:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystylee^{\mathrm{i}x}=\cosx+{\rm{i}}\sinx}
當
x
=
π
{\displaystylex=\pi}
的特例是尤拉恆等式:
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystylee^{\mathrm{i}\pi}+1=0}
此式被理察·費曼稱為「尤拉的寶石」。
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
(
e
i
x
)
n
=
e
i
n
x
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle(\cosx+i\sinx)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}
即棣美弗公式。
e
{\displaystylee}
是無理數和超越數(見林德曼-魏爾斯特拉斯定理)。
這是第一個獲證為超越數的數,而非故意構造的(比較劉維爾數);由夏爾·埃爾米特(CharlesHermite)於1873年證明。
有猜想它為正規數。
當
x
=
e
{\displaystylex=e}
時函數
f
(
x
)
=
x
x
{\displaystylef(x)={\sqrt[{x}]{x}}}
有最大值。
e
{\displaystylee}
的無窮連分數展開式有個有趣的模式,可以表示如下( A003417)
e
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
10
,
1
,
1
,
12
,
…
]
{\displaystylee=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots]}
就像以下的展開式:
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
1
4
+
1
1
+
1
1
+
1
6
+
1
1
+
⋱
{\displaystylee=2+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{\mathbf{2}+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{\mathbf{4}+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{\mathbf{6}+{\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
無理數證明
反證法
證明
e
{\displaystylee}
是無理數可以用反證法。
假設
e
{\displaystylee}
是有理數,則可以表示成
a
b
{\displaystyle{\frac{a}{b}}}
,其中
a
,
b
{\displaystylea,b}
為正整數。
以
e
{\displaystylee}
的無窮級數展開式可以得出矛盾。
考慮數字
x
=
b
!
(
e
−
∑
i
=
0
b
1
i
!
)
{\displaystylex=b!\left(e-\sum_{i=0}^{b}{1\overi!}\right)}
,
以下將推導出
x
{\displaystylex}
是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證
e
{\displaystylee}
是無理數。
x
{\displaystylex}
是整數,因為
0
<
x
=
b
!
(
e
−
∑
i
=
0
b
1
i
!
)
=
b
!
(
a
b
−
∑
i
=
0
b
1
i
!
)
{\displaystyle0
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