全微分方程式- 維基百科

全微分方程式是常微分方程式的一種，它在物理學和工程學中廣泛使用。

目次. 1 ... 全微分方程式 語言 監視 編輯 全微分方程式是常微分方程式的一種，它在物理學和工程學中廣泛使用。

目次 1定義 1.1例子 2勢函數的存在 3全微分方程的解 4參見 5參考文獻 定義編輯 給定R2的一個單連通的開子集D和兩個在D內連續的函數I和J，那麼以下形式的一階常微分方程式 I ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 , {\displaystyleI(x,y)\,\mathrm{d}x+J(x,y)\,\mathrm{d}y=0,\,\!}  稱為全微分方程式，如果存在一個連續可微的函數F，稱為勢函數，使得 ∂ F ∂ x ( x , y ) = I {\displaystyle{\frac{\partialF}{\partialx}}(x,y)=I}  以及 ∂ F ∂ y ( x , y ) = J . {\displaystyle{\frac{\partialF}{\partialy}}(x,y)=J.}  「全微分方程式」的命名指的是函數的全導數。

對於函數 F ( x 0 , x 1 , . . . , x n − 1 , x n ) {\displaystyleF(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}  ，全導數為： d F d x 0 = ∂ F ∂ x 0 + ∑ i = 1 n ∂ F ∂ x i d x i d x 0 . {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_{0}}}={\frac{\partialF}{\partialx_{0}}}+\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partialF}{\partialx_{i}}}{\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}x_{0}}}.}  例子編輯 函數 F ( x , y ) := 1 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyleF(x,y):={\frac{1}{2}}(x^{2}+y^{2})}  是以下全微分方程式的勢函數。

x x ′ + y y ′ = 0. {\displaystylexx'+yy'=0.\,}  勢函數的存在編輯 在物理學的應用中，I和J通常不僅是連續的，也是連續可微的。

施瓦茨定理（也稱為克萊羅定理）提供了勢函數存在的一個必要條件。

對於定義在單連通集合上的微分方程式，這個條件也是充分的，我們便得出以下的定理： 給定以下形式的微分方程式： I ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 , {\displaystyleI(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,\,\!}  其中I和J在R2的單連通開子集D上是連續可微的，那麼勢函數F存在，若且唯若下式成立： ∂ I ∂ y ( x , y ) = ∂ J ∂ x ( x , y ) . {\displaystyle{\frac{\partialI}{\partialy}}(x,y)={\frac{\partialJ}{\partialx}}(x,y).}  全微分方程式的解編輯 給定一個定義在R2的單連通開子集D上的全微分方程式，其勢函數為F，那麼D內的可微函數f是微分方程式的解，若且唯若存在實數c，使得 F ( x , f ( x ) ) = c . {\displaystyleF(x,f(x))=c.\,}  對於初值問題 y ( x 0 ) = y 0 {\displaystyley(x_{0})=y_{0}\,}  我們可以用以下公式來尋找一個勢函數： F ( x , y ) = ∫ x 0 x I ( t , y 0 ) d t + ∫ y 0 y J ( x , t ) d t . {\displaystyleF(x,y)=\int_{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int_{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.}  解方程式 F ( x , y ) = c {\displaystyleF(x,y)=c\,}  其中c是實數，我們便可以構造出所有的解。

參見編輯 全微分 里卡蒂方程式 伯努利微分方程式 柯西-歐拉方程式 克萊羅方程式 線性微分方程式參考文獻編輯 Boyce,W.E.andDiPrima,R.C.ElementaryDifferentialEquationsandBoundaryValueProblems,4thed.NewYork:Wiley,1986. Ross,C.C.§3.3inDifferentialEquations.NewYork:Springer-Verlag,2004. Zwillinger,D.Ch.62inHandbookofDifferentialEquations.SanDiego,CA:AcademicPress,1997. 取自「https://www.tw.studiodahu.com/w/index.php?title=全微分方程&oldid=52005415」