组合与排列 - 数学乐

还有更简单的记法，不需要把整个公式写出来：. 排列记法P(n,r) = nPr = n!/(. 例子：P( ... 组合与排列 有什么分别？ 我们在使用"组合"这个词时，通常都不会讲究物件的次序。

换句话说： "我的水果沙拉是苹果、葡萄和香蕉的组合"我们并不理会水果的次序，我们可以说："香蕉、葡萄和苹果"或"葡萄、苹果和香蕉"。

都是同样的水果沙拉。

    "保险箱的密码是472"。

这个数字组合的次序就重要了。

"724"打不开保险箱。

"247"也不行。

一定要是4-7-2。

因此，在数学中我们用精确的语言： 如果次序不重要，就叫组合。

如果次序重要就叫排列。

  比较精确的名字应该是"排列锁"！ 换句话说： 排列是有序的组合。

记住：要"排"列就需要次序，不然堆成一"组"就可以了…… 排列 有两种基本排列： 可重复：像暗码锁的暗码。

暗码可以是"333"。

不可重复：例如赛跑的首三名。

一个人不能同时是第一名和第二名。

  一、重复排列 这是最容易计算的。

当一个东西有n个不同类型时……我们每次就有n个选择！ 例如：选3个，排列是： n×n×n （n自乘3次） 一般来说：从有n个不同类型的东西里选r个的排列是： n×n×...（r次） （换句话说，选第一个时有n个可能，然后选第二个时也有n个可能，依此类推，每次乘以n。

） 用r的指数来写比较简单： n×n×……（r次）=nr 例子：暗码锁的暗码有三个数字，每个数字可以是（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）里的其中一个： 10×10×…（3次）=103=1,000个排列 公式就是： nr 其中n是被选择的东西的个数，而我们要选r次 （可以重复，次序重要）   二、不重复排列 在这个情况下，每选一个后我们就要把选择的可能减少一个。

例如，16个桌球有几个不同次序的排列？ 选了"14"号球后，我们不能再选它，所以剩下来的选择可能就少了一个。

因此：第一个由16个可能，第二个只有15个可能，接下来就是14，13等等。

排列的总数是： 16×15×14×13×…=20,922,789,888,000 但我们可能只需要选3个球，所以排列个数只是： 16×15×14=3,360 换句话说，有3,360不同的方法去从16个球里排列3个球。

不可以重复，选择可能每次减少一个。

怎样用数学语言来描述呢？答案：用"阶乘函数" 阶乘函数（符号：!）的意思是把一系列逐项减小的自然数相乘。

例子： 4!=4×3×2×1=24 7!=7×6×5×4×3×2×1=5,040 1!=1 注意：惯例是0!=1。

很有趣，没有数字相乘的结果是1！不过使用这个惯例，我们可以简化很多方程。

所以，选所有桌球的排列是： 16!=20,922,789,888,000 但如果我们只选3个，我们不需要乘以14以下的数。

我们怎样表达这个呢？除以13! 16×15×14×13×12…   =16×15×14=3,360 13×12…   留意16!/13!=16×15×14 公式是： n!(n−r)! 其中n是被选择的东西的个数，而我们在其中需要选r个 （不重复，次序重要） 例子："16个球里排列3个"是： 16!  =  16!  =  20,922,789,888,000  =3,360 (16-3)! 13! 6,227,020,800 （等于：16×15×14=3,360） 例子：10个人里可以有几个第一和第二的排列？ 10!  =  10!  =  3,628,800  =90 (10-2)! 8! 40,320 （等于：10×9=90） 记法 还有更简单的记法，不需要把整个公式写出来： 例子：P(10,2)=90 组合 有两种组合（次序不重要）： 可重复：例如口袋里的硬币(5,5,5,10,10) 不可重复：例如彩票号码(2,14,15,27,30,33)   一、重复组合 这个最难解释，我们待会儿再讲。

二、不重复组合 这就是彩票背后的原理。

数字逐个抽出来，如果抽出我们选择了的号码（不论次序），我们就中奖了！ 最简单的解释是： 假设次序重要（即是排列）， 然后调整为次序不重要的答案。

回到上面桌球的例子，假设我们只需要知道选了哪3个桌球，而次序不重要。

上面计算量16选3有3,360个不同排列。

但如果次序不重要，其中很多排列就变成相同的了！ 例如，假设选了1、2和3号球。

有以下可能： 次序重要 次序不重要 123 132 213 231 312 321 123 所以排列比组合有大6倍的可能。

我们可以用上面排列的公式来计算"123"可以有几个不同排列。

答案是： 3!=3×2×1=6 （另一个例子：4样东西可以有4!=4×3×2×1=24个不同排列方法。

你可以自己去试试！） 因此，如果次序不重要，我们就需要把排列的公式以选择出来的东西的排列个数减小： 这个公式非常重要，它有自己的记法： 其中n是被选择的东西的个数，我们在其中需要选r个 （不重复，次序不重要） 通常可以这样说："n取r"（例如"16取3"） 也称为二项系数。

记法 除了用上面的"大括号"，也可以用以下的记法：   要牢记这个公式： n!r!(n−r)! 例子 桌球的例子就是（次序不重要）： 16!  =  16!  =  20,922,789,888,000  =560 3!(16-3)! 3!×13! 6×6,227,020,800 也可以这样做： 16×15×14  =  3360  =560 3×2×1 6   留意公式的对称: 换句话说，16取3和16取13是相等的。

想想：每一次选要的3个时，你也选了剩下的13个不要，所以选3个和选13个的组合个数是相同的。

16!  =  16!  =  16!  =560 3!(16-3)! 13!(16-13)! 3!×13! 杨辉三角 我们也可以用杨辉三角来计算这些数值。

去第"n"行（顶行是第0），然后向右"r"个位就是合适的数值。

这是第16行附近： 11491364… 1151054551365… 11612056018204368…   一、重复组合 现在我们来看重复组合…… 有五种冰激凌口味：香蕉、巧克力、柠檬、草莓和香草。

我想要三球（节食？什么节食？）。

有几个选择？ 我们用英语字母来代表口味：{b,c,l,s,v}。

这是一些选择： {c,c,c}（3球巧克力） {b,l,v}（香蕉、柠檬和香草各一球） {b,v,v}（一球香蕉，两球香草） （就是：从n=5个东西里选r=3个。

次序不重要，可以重复！） 我不可以描述怎样计算答案，但我可以告诉你一个特别技巧。

想象冰激凌在桶五个桶里。

我们可以说："向右移到下一个桶，挖三球，再移过三个桶"。

这样就有3球巧克力了！ 就好像命令一个机械人去挖冰激凌！ 我们可以用图来显示：（箭头代表移，圆代表挖）。

上面的三个例子就是这样： {c,c,c}（3球巧克力）： {b,l,v}（香蕉、柠檬和香草各一球）： {b,v,v}（香蕉一球、香草两球）： 我们现在可以不考虑口味，我们有一个更简单的问题："有几个方法排列箭头与圆？" 注意一定有3个圆（3个球）和4个箭头（向右移4次）。

所以有r+(n−1)个位置，而我们要在r个位置放个圆。

就像："有r+(n−1)个桌球，我们要选r个"。

现在问题和上面的桌球例子一样，不过数字有点不同： 其中n是被选择的东西的个数，我们在其中要选r个 （可以重复，次序不重要） 如果我们选箭头，就是"有r+(n−1)个位置，要在(n−1)个位置放个箭头"，答案是一样的： 那么，这个例子的答案是多少？ (3+5−1)!  =  7!  =  5040  =35 3!(5−1)! 3!×4! 6×24 有35个不同的组合去在5种口味里选3球冰激凌。

结论 我们讲了很多。

我建议你再看一遍这个页面！ 但是，了解这些公式背后的原理只是个开始，在现实生活里应用这些公式也不容易。

至少你现在懂得怎样计算这4个情况的排列与组合了："次序重要/不重要"以及"可/不可重复".     活动：子集 组合与排列计算器杨辉三角彩票 版权所有©2017MathsIsFun.com