Sec.4.1 - 彩虹的微積分學

有一些光被反射，但線段AB 表示了一些沒有被反射，而穿入雨滴的光線軌跡。

這裡要注意的是，這道光線是朝法線AO 折射的，而實際上，斯涅爾定律提及 ... Search Te-ShengLin Te-ShengLin Home Resume Appointments Publications CV Posts Allposts Calculus微積分 ComputationalMathematics計算數學 LinearAlgebra線性代數 程式語言學習筆記 Teaching Coursestaught Studentssupervised Graduatestudentworkshops Summerresearchinternship Sec.4.1-彩虹的微積分學 吳思諭,Te-ShengLin(林得勝) Lastupdatedon Jan6,2021 3minread Calculus AppliedProjectinSec.4.1,CalculusbyStewart 英文版請見 TheCalculusofranbows 當陽光照射到半空中的雨滴，光線被散射就會形成彩虹。

彩虹自古以來就被人類著迷著，且早在亞里士多德時代以來激發許多人們進行科學的探討，並嘗試找到解釋。

在這份專題裡，我們使用笛卡爾和牛頓的思想來解釋彩虹的形狀、位置和顏色。

問題1: 下面這張圖顯示了一道光束從A點進入球形雨滴。

有一些光被反射，但線段AB表示了一些沒有被反射，而穿入雨滴的光線軌跡。

這裡要注意的是，這道光線是朝法線AO折射的，而實際上，斯涅爾定律提及$\sin\alpha=k\sin\beta$，其中$\alpha$是入射角，$\beta$是折射角，而$k\approx\frac{4}{3}$是水的折射率。

在B點，有一些光線穿過水滴，然後折射進入空氣，但依然有部分被反射，如線段BC所示。

（入射角等於反射角）當光束到達C點時，它的一部份會被反射，但讓我們更感興趣的是從C點離開雨滴部分（要注意它是從法線折射出去的）。

偏差角$D(\alpha)$是光束在此三階段過程中經歷的順時針旋轉量。

因此， $$ D(\alpha)=(\alpha-\beta)+(\pi-2\beta)+(\alpha-\beta)=\pi+2\alpha-4\beta. $$ 證明偏差角在$\alpha\approx59.4^{\circ}$時會有最小值$\alpha\approx59.4^{\circ}$。

最小偏差角的意義是當$\alpha\approx59.4^{\circ}$時，我們知道$D’(\alpha)\approx0$，則$\frac{\DeltaD}{\Delta\alpha}\approx0$。

這代表當很多光束在$\alpha\approx59.4^{\circ}$時偏差大約相同，而正是因為接近最小偏差方向的光線集中產生主彩虹的亮度。

下面這張圖顯示了從觀察者到彩虹最高點的仰角為$180^{\circ}-138^{\circ}=42^{\circ}$（這個角度就叫做彩虹角）。

問題二： 問題1解釋了主彩虹的位置，那我們要如何解釋顏色呢？陽光的波長範圍從紅色到橙色，黃色，綠色，藍色，靛藍和紫色。

正如牛頓在1666年的棱鏡實驗中發現的那樣，每種顏色的折射率都不同（這種效果稱為色散）。

紅光的折射率為$k\approx1.3318$，紫光的折射率為$k\approx1.3435$。

透過對的這些值$k$重複問題1的計算，證明紅色光道的彩虹角是$42.3^{\circ}$而紫色光道的彩虹角是$40.6^{\circ}$。

因此，彩虹實際上是由對應於這七個顏色的七個單獨的光道組成的。

問題三： 或許你曾經看過主彩虹上較暗的次彩虹。

這是由於光線進入雨滴並在A處折射、反射兩次（在B和C處）以及在D處離開雨滴而折射的那部分光束所致（如下圖）。

這次偏差角$D(\alpha)$是射線在此四階段過程中經歷的逆時針旋轉的總量。

證明$D(\alpha)=2\alpha-6\beta+2\pi$和$D(\alpha)$在$\cos\alpha=\sqrt\frac{k^2-1}{8}$時有最小值。

用$k=\frac{4}{3}$，表示最小偏差角大約等於$129^{\circ}$且次彩虹的彩虹角大約等於$51^{\circ}$，如下圖所示。

問題四： 證明次彩虹中的顏色以與主要彩虹中的顏色相反的順序顯現。

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