射頻電子- [實驗第三章] 濾波器設計

所以，濾波器設計理論都會從低通濾波器開始談起。

... 使用SAB實現二階轉移函數• 利用主動RC電路來實現二階(biquadratic)轉移函數稱為「Biquad」電路 ... Successfullyreportedthisslideshow. YourSlideShareisdownloading. × Activateyour30dayfreetrial tounlockunlimitedreading. 射頻電子-[實驗第三章]濾波器設計 Report SimenLi • Jun.13,2015 • 12likes • 18,235views NextSlideShares Youarereadingapreview. Activateyour30dayfreetrial tocontinuereading. 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DepartmentofElectronicEngineering,NTUT LinearTime-invariant (LTI)System ()xt()yt Input (excitation) Output (response) Linear system ()xt()yt ()Xs()Ys()Gs Transformintos-domain (frequencydomain) ()()Xsxt=L ()()Ysyt=L ()()()YsGsXs= () () ()X Ys Gs s = 輸入: 輸出: 轉移函數: 3/53 4. 頻率響應 •以前，我們談分析。

•現在，我們談設計。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT ω ()Xω ω ()Yω Transferfunction? s-plane?FrequencyResponse? (System) LinearNetwork (Signal)(Signal) ω ()Xω ω ()Yω Transferfunction? s-plane?FrequencyResponse? (System) (Signal)(Signal) 給你一個系統，就可以推敲出 輸出的樣子。

如果我們希望設計「輸出」的 樣子，那麼問題就變成是要如 何找出那個系統。

4/53 5. 濾波器的響應型式 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 高通高通高通高通濾波器濾波器濾波器濾波器 cωsωω0 ()Fjω 帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器 1sω1cωω0 ()Fjω 2sω2cω 低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器 帶通帶通帶通帶通濾波器濾波器濾波器濾波器 cωsωω0 ()Fjω 通帶 Passband 禁帶 Stopband 過渡帶 Transitionband 理想低通 1cω2sωω0 ()Fjω 2cω1sω 5/53 6. 響應近似法 •雖然我們無法實現理想的濾波器響應，但總可以找到一種近似 響應，問題在於我們對這個近似與理想的誤差ε容忍度有多少。

•常見的近似方法： Butterworth 也稱作最大平坦度(Maximallyflat)近似 Chebyshev 也稱作等漣波(Equiripple,)近似 Papoulis 也稱作單調(Monotonic)近似 Cauer 橢圓函式(Ellipticfunction)近似 自己設計的自己設計的自己設計的自己設計的近似函數近似函數近似函數近似函數。

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DepartmentofElectronicEngineering,NTUT cωsωω0 ()20logFjω maxA minA 6/53 7. 低通濾波器數學近似原型 •低通濾波響應之近似原型 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT ()() ()22 1 1 FjM w ωω εω == + 理想低理想低理想低理想低通通通通濾波響應濾波響應濾波響應濾波響應 0ε= ()21,when01 0,when1 w ω ω ω ≤≤ = > 1cω= ω ()Fjω 1 BrickWall 高通、帶通或帶斥濾波器可以藉由一些轉換 方法，從低通原型來得到。

所以，濾波器設 計理論都會從低通濾波器開始談起。

01ε≤≤通帶誤差容忍度： ()2 01wω≤≤權重函數：01ω≤≤其中 邊界頻率ω=ωc=1，又稱為截止頻率。

7/53 8. Butterworth低通近似 •ButterworthApproximation 令且 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT (其中階數n為正整數)1ε=()()222nn wωωω== ()()2 1 1n FjMωω ω == + 對上式的觀察：(1)直流增益。

()01M= (2)當ω越來越大，M(ω)則跟著變小。

() 1 10.707 2 M==(即在截止頻率ω=ωc=1時) () 1 20log120log3dB 2 M==− 在ωc時必定會衰減3dB， 這件事情跟階數n無關。

階數n越高，會越接近理想濾波響應。

01ω≤≤在之間，誤差從0dB至最大到3dB。

1ω>> () 1 n Mω ω =()20log20log(dB)Mnωω=− 頻率響應下降斜率 6(dB/oct) 20(dB/dec) n n − =− (3) (4) (5) (6)當時： 8/53 9. Butterworth轉移函數 •Butterworth的近似頻率響應為 轉移函數F(s)應該長甚麼樣子呢？ DepartmentofElectronicEngineering,NTUT ()()2 1 1n FjMωω ω == + ()()()()()() () 22 22 11 111 nnsjsjn sj FsMFjFjFsFs sωω ω ωωω ω== = ==−=−== ++− 定義()()()2 PsFsFs=−()()22 MPωω=−我們可以得到() () 2 2 1 11 nn Ps s = +− P(s2)的根可令分母求出，其中()2 110 nn s+−= 2121 sincos 22 kkk kk sjj nn σωππ −− =+=+  1,2,3,,2kn=⋯ 下一頁，我們用一個4階的Butterworth響應來說明會更清楚。

一半數量的根在s平面左半邊，由F(s)貢獻； 另一半數量的根在s平面右半邊，由F(−s)貢獻。

9/53 10. 範例：4階Butterworth低通響應 •4階Butterworth低通響應 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 1,2,3,,8k=⋯ F(s)的4個根為： () 2 2 824 11 11 Mω ωω×  == ++ ()()()2 8 1 1 PsFsFs s =−= + 10.38270.9239sj=−+ 40.38270.9239sj=−− 20.92390.3827sj=−+ 30.92390.3827sj=−− () ()()()()1234 1 Fs ssssssss = −−−− () ()()43222 11 2.6133.4142.61310.765411.84781 Fs ssssssss == ++++++++ 分母稱為ButterworthPolynomial σ jω 45 ()()2 1 1n FjMωω ω == + (令階數n=4) P(s2)共有8個根， P(s2)的8個根 σ jω F(s)貢獻的4個根 10/53 11. 不同階數的Butterworth多項式 •從Butterworth的低通原型所求得，這些多項式代表不同階數下轉移函 數F(s)的分母多項式(也代表根於s平面的位置)。

•由於這些多項式由原型導出後，都是必然而且制式的結果，所以進行 濾波器設計時可直接參考此表找到轉移函數，而不必重新由 Butterworth的函數原型從頭推導起(因為推導完就是得到下表的結論)。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT11/53 12. 柴比雪夫(等漣波)低通近似 •ChebyshevApproximation DepartmentofElectronicEngineering,NTUT ()() () 22 22 1 1n FjM C ωω εω == + () () () 1 1 coscos,01 1coshcosh n n C n ωω ω ωω − − ≤≤ = ≥ (在通帶內是正負1) (頻率大於1之後快速上升) ()2 2 1 20log10log1(dB) 1 ε ε =+ + 通帶內的最大增益誤差： 如果我們規範了通帶內的最大增益 誤差量，ε的值就可以被決定了。

0.010.1110100 正規化頻率ω/ωc ()Fjω 0 0.4 0.8 1.2 Butterworth Chebyshev 01ε≤≤(其中， 階數n為正整數) ()()()112nnnCCCωωωω+−=− ()1 1 2nn Mω εω− ≃時1ω>> ()01Cω= ()1Cωω= () 2 1 ,odd 01 ,even 1 n M n ε   =  + 直流： ()2 221Cωω=− 常用奇數階 高頻： ω 1 1 2C 1C 3C1− 1− 12/53 13. •轉移函數之極點： Chebyshev的轉移函數 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT kkksjσω=± 21 sinhsin 2 kk k n σβπ − =⋅  21 coshcos 2 kk k n ωβπ − =⋅  111 sinhk n β ε − =,1,2,3,,2kn=⋯ 22 22 1 sinhcosh kk kk σω ββ += 其中而 jω σ Butterworth Chebyshev 0.010.1110 正規化頻率ω/ωc 0 0.4 0.8 Butterworth 3dBChebyshev ()Fjω 1dBChebyshev 13/53 14. 柴比雪夫多項式表(I) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT14/53 15. 柴比雪夫多項式表(II) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT15/53 16. 低通的其他近似響應 •反柴比雪夫(InverseChebyshev)： •單調遞減(Papoulis,Legendre,FilterL) •橢圓近似(Elliptic,Cauer) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 反柴比雪夫把漣波效果 轉到禁帶去。

0.010.1110100 正規化頻率ω/ωc ()Fjω 0 0.4 0.8 1.2 InverseChebyshev Chebyshev 1ε=()()22 nwLωω=而 () () ()() 22 0 2 Ks Fs sss ω αβγ + = +++ () () 2 22 1 1n Fj R ω εω = + () ()()() ()()() 222222 12 222222 12 ,even(2) 111 k n k Rnnk ωωωωωω ω ωωωωωω −−− == −−− ⋯ ⋯ () ()()() ()()() 222222 12 222222 12 ,odd(21) 111 k n k Rnnk ωωωωωωω ω ωωωωωω −−− ==+ −−− ⋯ ⋯ 轉換帶下降率最快，通帶跟禁帶都有等漣波的效果。

()() 22 22 22 1 1 1 n n C FjM C ε ω ωω ε ω   ==  +  16/53 17. 濾波器規格 •正規化截止頻率(Normalizedcut-offfrequency)： 大家都以截止頻率做為參考基準，如此就可以用頻率的 伸縮(scalable)來進行任意頻率響應的設計。

•過渡帶的衰減率(Transitionbandfall-rate)： •濾波器濾波器濾波器濾波器規格要求的描述規格要求的描述規格要求的描述規格要求的描述： 通帶最大衰減通帶最大衰減通帶最大衰減通帶最大衰減在ωp時不得超過Amax(<3dB)，在ωs最少要有As(dB)的衰減量。

•依據規格找出濾波器的階數 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 1cΩ= 6dB/octN− 1cΩ= cω pΩsΩ pωsω p c ω ω s c ω ω 正規化頻率 pωsωω0 maxA sA 真實頻率 把ω這個符號留給「真實 頻率」，把參考基準頻率 用表示來避免混淆。

17/53 18. 從規格找出濾波器的階數 •濾波規格越嚴格(越接近理想濾波響應)，所需要的階數也 就越高，當然也就代表需要用元件數量來換取性能規格。

•以Butterworth為例： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT ()22 (dB)20log110log1nn pppA=+Ω=+Ω 由上式可知頻率p與衰減量Ap之間的關係為0.12 101pAn pΩ=− 同樣道理，達到衰減量As的頻率s為0.12 101sAn sΩ=− 將上面兩式相除 22 0.1 0.1 101 101 s p nn A ss A pp ω ω Ω− ==Ω− 0.1 0.1 101 log 1101 2 log s p A A s p n ω ω −  −=   解出來的階數n通常不會剛好是整數，我們要找一個比他還大的來實現。

例如解出的n=2.34，那麼我們就要使用3階的設計來達到規格要求。

下一步找截止頻率cω ()()2 1 1n FjMωω ω == + ()2 20log20log1n Mωω=−+()2 20log20log1n MΩ=−+Ω 在某個頻率p的衰減量為 通常用找到的跟用找到的會不一樣，不過都會符合 規格的要求。

所以取兩個的平均值也會符合規格。

pΩcωsΩ cω cω 18/53 19. Butterworth範例 •一低通濾波器之規格要求為 請問至少需使用幾階的Butterworth濾波器來實現？ DepartmentofElectronicEngineering,NTUT ，所以至少要用5階。

3kHz,1dB,6kHz,20dBppssfAfA=≤=≥ 0.1 0.1 101 log 1101 4.3 2 log s p A A s p n ω ω −  −==    5 0.12 1010.87361p n An pp = Ω=−→Ω= 5 0.12 1011.5833s n An ss = Ω=−→Ω= _ _ 23kHz 23.434krad/scp cp π ωπ ⋅ ==⋅ Ω _ _ 26kHz 23.78955krad/scs cs π ωπ ⋅ ==⋅ Ω __ 23.61148krad/s 2 cpcs c ωω ωπ + ==⋅ 步驟一步驟一步驟一步驟一：從規格要求找濾波器階數 步驟二步驟二步驟二步驟二：從p與s找截止頻率ωc fc(kHz)Ap(dB)As(dB) 3.434124.25 3.789550.40120 3.611480.6322.1 從p推得 從s推得 兩者平均 19/53 20. Chebyshev範例 •對於柴比雪夫任何階數n的Cn(1)=1 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT max1dBpAA== 0.1 101pA ε=− 0.505ε= 在頻率s：() 11 2nn ε −− Ω()20log6120logsAnnε+−+Ω≃ 2sΩ=Ω= ()2020log0.5056120log2nn=+−+ 2.69n=3n= 要達到同樣規格，柴比雪夫只要用3階， 而Butterworth要5階才行。

柴比雪夫用通 帶平坦度來換取禁帶衰減率。

()() () 22 22 1 1n FjM C ωω εω == + () () () 1 1 coscos,01 1coshcosh n n C n ωω ω ωω − − ≤≤ = ≥ ()2 2 1 20log10log1(dB) 1 ε ε =+ + 且 令cpωω=1cpΩ=Ω= 在頻率p： ，n要為正整數，所以選擇 20/53 21. 低通原型轉真實低通濾波器 •低通響應原型的正規化函數： •真正的頻率響應(去正規化)： •頻率對應： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT () 1 1 n n Fs s = + n c s sj ω ==Ω () 1 1 c c c Fs ss ω ω ω == ++ 這表示一個截止頻率 為ωc的低通響應 01≤Ω≤0cωω≤≤ 正規化頻率 實際頻率 cωcω−0ωω− cΩc−Ω0Ω−Ω 其中 正規化複頻率,n為normalized的意思。

真實複頻率 1Ω0Ω1 cω11cωω=Ωω ()Fjω 正規化與去正規化後「響應的樣子」不會有 任何變動，只是頻率軸的對應發生了改變。

21/53 22. 低通原型轉高通濾波器 •頻率轉換： •真正的頻率響應(去正規化)： •頻率對應： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 1 n n s s ′→ c ns s ω ′= () 11 11cnc s Fs ss s ωω === ′+++ 01≤Ω≤ cωcω−0ωω− 11−0LΩL−Ω cωcω−0ωω− 11−0HΩH−Ω 頻率響應左右翻轉 n c s s ω = cωω≤≤∞ 010′≤Ω≤→≤Ω≤∞ Ω 10 ′Ω 10∞∞ 22/53 23. 低通原型轉帶通濾波器 •頻率轉換： •真正的頻率響應(去正規化)： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 2 11n nn nn s ss ss + ′→+= 0 n s s ω = 121ccΩΩ= 2 0121ccΩ=ΩΩ= 211ccΩ−Ω=通帶頻寬:1 15 22 cΩ=−+2 15 22 cΩ=+ () 0 2 1 n n snns s Fs ss ω = = ++ cωcω−0ωω− 11−0LΩL−Ω 其中 2cΩ1cΩ0Ω 2cω−ω−0ω−1cω−02cω0ω1cωω 2c−Ω0−Ω1c−Ω2cΩ0Ω1cΩ 11− 0 210ccBωωω=−= 通帶頻寬：00 0 n s s Bs ωω ω  →+  2 012ccωωω= 21ccBωω=− 若要設計不等於的頻寬B，只要按比例伸縮0ω c通帶 c0稱作正規化中心頻率 (normalizedcenterfrequency) 23/53 24. c 低通原型轉帶斥濾波器 •頻率轉換： •ω0是禁帶的中心頻率，B是頻寬 •正規化的帶斥轉移函數 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 2 1 11 n n n n n s s ss s ′→= ++ 0 0 0 n B s s s ω ω ω →  +  2cΩ1cΩ0Ω1cΩ0Ω2cΩ0 cωcω−0ωω− 11−0LΩL−Ω 2cω−ω−0ω−1cω−02cω0ω1cωω 2c−Ω0−Ω1c−Ω2cΩ0Ω1cΩ 11− 21ccBωω=−2 012ccωωω= () 2 2 1 1 n n nn s Fs ss + = ++ c禁帶 去正規化，代入 24/53 25. 簡單被動RC濾波器 •簡單RC低通低通低通低通電路 •轉移函數 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT •簡單RC高通高通高通高通電路 •轉移函數 1V2V R C C′ R′1V2V RCCR′′= RC:CR轉換 簡單RC電路是單極點(一階)系統，而且該極點為實數。

()2 1 1 1 1 1 1 VsCFs sVR sCRC === ++ ()2 1 1 1 1 VRs FsRC sVR sCRC ′′ ′′′=== ′′++ ′′′ 25/53 26. 簡單主動RC濾波器 •主動RC低通低通低通低通濾波器 •轉移函數 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT () 2 22 111 2 2 1 11 1 1 1 R VRsCFs sVRRR sCRC ==−=− ++ •主動RC高通高通高通高通濾波器 •轉移函數 1V 1R C 2V 2R 1V 1C R 2V 2C 22RCCR= RC:CR轉換 1iiCR= 頻率的伸縮頻率的伸縮頻率的伸縮頻率的伸縮：若去正規化後之截止頻率為ωc，時間常數RC則要再除以ωc，可選擇R 或C其中一個去除ωc即可。

簡單主動RC是單極點(一階)系統，而且該極點為實數。

()221 1 1 22 1 1 1 1 R VsCsRC FssC sVR sCRC ′ ′==−=− ′ ++ 26/53 27. 阻抗的伸縮(ImpedanceScaling) •以簡單被動RC低通濾波器為例： •若截止頻率ωc=1rad/s，可得RC=1，所以R跟C的值可以是 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 1V2V R C 1F 1 C R =  =Ω 1mF 1k C R =  =Ω 1µF 1M C R =  =Ω 也可以是，當然，若要這樣配也是可以。

範例：若參考阻抗R0=5k，阻抗升高5000倍 阻抗乘106倍 1F 1 C R =  =Ω ()2 1 1 11 111 1 VsCFs sVsRCR sCRC ==== +++ 111 111c cc Fj RCsRCjRCj ω ωωω ωω  === +++ 0 0 1F 200µF 15k C R RR  ==  =Ω×=Ω 200µF5k1RC=×Ω= 阻抗乘103倍 27/53 28. 一階轉移函數的實現(I) •主動RC一階低通低通低通低通濾波器： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 反相式接法反相式接法反相式接法反相式接法 () 2 2 11 2 2 1 11 1 1 1 o i R VRsCHs sVRRR sCRC ≡=−=− ++ () ()1 aab Fs sbsb == ++ ()22 11 1 1 11 1 1 1 o i VRRsCHs sVRRR sCRC  ≡=+=+ ++ iV 1R 2R C oV iV R 2R C oV 1R 非反相式接法非反相式接法非反相式接法非反相式接法 直流增益 直流增益 28/53 29. 一階轉移函數的實現(II) •主動RC一階高高高高通通通通濾波器： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT iV 1R 2R C oV iV R C oV aR bR () () ()1 absas Fs sbsb == ++ 反相式接法反相式接法反相式接法反相式接法非反相式接法非反相式接法非反相式接法非反相式接法 ()22 1 1 1 1 1 1 s HsRRC s R sCRC =−=− ++ ()11 1 1 1 bb aa RRRs HsRC sRRR sCRC  =+=+ ++ 29/53 30. 二階轉移函數的通式(GeneralizedForm) •二階轉移函數： 當(共軛根)只能用被動RLC或主動RC電路實現。

•二階轉移函數之通式(Biquadraticgeneralform)： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT () 2 210 2 asasa Fs ssβγ ++ = ++ 0.5γβ> () ()() 22 22 1202210 222 222 z z z nnn n p ss saasaaasasaQ FsKK ssssss Q ω ω ωβγζωωω ++ ++++ === ++++++pQ γ β = 0pωγ= 2 1,2 4 2 s ββγ−±− = 分母的根 還記得電路學嗎？ 1.共軛根衰減弦波 2.為什麼會有弦波? 3.一階被動被動被動被動RC或RL電路 ，不可能有共軛根。

30/53 31. 使用SAB實現二階轉移函數 •利用主動RC電路來實現二階(biquadratic)轉移函數稱為「Biquad」電路。

只用一個放大器來實現又稱為SAB(SingleAmplifierBiquad)。

SAB有 兩種類型： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 增強型正回授組增強型正回授組增強型正回授組增強型正回授組態態態態EPF (Enhancedpositivefeedback) 增強型負回授組增強型負回授組增強型負回授組增強型負回授組態態態態ENF (Enhancednegativefeedback) 電壓 輸入端點 aR RC a b c bRRC ab c bR′aR′ 電壓輸入 端點RC網路用來產生複 數極點與零點，可 為二階或三階。

Ra跟Rb所形成的回授， 改變他們的值可以用來 改變複數極點的位置。

31/53 32. EPF與ENF的互補轉換(CT) •EPF與ENF使用一樣的RC網路，他們可以互相轉換(兩者稱 為互補)。

互補的EPF與ENF實現的同樣的轉移函數。

•步驟一：將原來的回授端點改成接地。

•步驟二：原接地點改接到OP輸出，同時將OP的輸入對調。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT aR RC a b c bRRC ab c aRbREPFENF cb CT轉換 32/53 33. EPF與ENF的互補轉換範例 •步驟一：將原來的回授端點改成接地。

•步驟二：原接地點改接到OP輸出，同時將OP的輸入對調。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 2R bR aR 1R1C2C aR bR 2C 1R1C 2R aRbR 1R 1C 2C2R EPFENFENFa b c c b b c a CT轉換重新排列 33/53 34. 低通SAB–Sallen-Key二階低通電路 •Sallen-Key二階低通 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT (EPF,VCVS,DCGain) ()1212 2 1121221212 1111 o i G VRRCC Hs VG ss RCRCRCRRCC == − ++++  1b a R G R =+ ()2 K Fs ssβγ = ++112122 111G RCRCRC β − ++= 1212 1 RRCC γ= 1212 G K RRCC = 1 2 RC β= 1 2 R C β = 2 2 C R β γ = 2R1R 2C 1C aR bR iV oV 轉移函數中的多項式係數：設計時是由近似 型式(Butterworth,Chebyshev等)與階數決定； 實現時是由R1、R2、C1與C2等元件值所決定。

我們可先自己決定幾個未知數的值，通常會 使用，此時 OPA為隨耦器，頻寬最寬。

()12and1aRRRGR====∞ 12,1RRRG=== 34/53 35. 範例 •如果要實現Butterworth二階低通轉移函數： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT ()2 1 21 Fs ss = ++ 12C=2 1 2 C= 1 0 2 c C Rω = 2 0 1 2c C Rω = 1 0 2 C R = 2 0 1 2 C R = 0 12 c R RR ω == 02whilebaRRR==∞ 120RRR== 2R1R 2C 1C aR bR iV oV 令()121and1aRRRGR=====∞ 第一組解第二組解 and 若參考阻抗為R0，截止頻率為ωc： 選擇 以抵銷DCoffset •若為R0=10k，截止頻率為1kHz： 1210kRR==Ω 134 2 22.5nF 21010 C π == ⋅⋅ 234 1 11.25nF 221010 C π == ⋅⋅⋅24 1 70.1µF 210 C== ⋅ 4 123 10 1.59 210 RR π ===Ω ⋅ 14 2 141.4µF 10 C== 20kbR=Ω3.18bR=Ω 第一組解第二組解 第二組解在實作上 較不合理，故可選 第一組解進行實作。

35/53 36. 其他實現的方法 •濾波器的實現方法百百種，但最基本的轉移函數型式不外 乎就是那幾種，如Butterworth、Chebyshev與Eclliptic等等。

•為了要實現那一堆轉移函數，我們可以用被動LC的方式， 也可以用主動RC的電路來實現。

•主動的實現方式還有雙OPBiqaud、Bach’s電路、三OP Biquad、雙積分器迴路Biquad,KHN(Kerwin,Huelsman, Newcomb)Biquad、Tow-ThomasBiquad、Åkerberg- MossbergBiquad、WAE、MultipleFeedback、Twin-T等等。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT36/53 37. 濾波器設計軟體 •由本章的討論可以知道，濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一濾波器設計事實上是很規律的一 種數學過程種數學過程種數學過程種數學過程。

很多廠商皆有提供免費的濾波器設計軟體， 使用者只要將濾波器規格參數鍵入，軟體就能自動幫我們 設計出想要的濾波器出來。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT MicrochipFilterLabTIFilterPro 37/53 38. 範例-主動式低通濾波器設計(I) •設計一個低通濾波器，截止頻率為5kHz，在20kHz時衰 減量要達到40dB。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 1.FilterDesign 直流增益 使用使用使用使用MicrochipFilterLab 38/53 39. 範例-主動式低通濾波器設計(II) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 1.頻率響應圖3.電路設計4.也能產生SPICENetlist 2.三階設計，可隨時改變 此值增減階數。

39/53 40. 範例-主動式低通濾波器設計(III) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 使用使用使用使用TIFilterPro 40/53 41. 範例-主動式低通濾波器設計(IV) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT41/53 42. 被動階梯式LC濾波器(LCLadder) •本章所介紹之濾波器都可以使用LC被動元件來實現。

•被動式濾波器的增益永遠小於1。

•階梯式LC低通濾波器： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 先並先並先並先並C再串再串再串再串L 先串先串先串先串L再並再並再並再並C 0g1g3g5g1ng− 2g4g6gng1ng+ 0g 11Lg= 22Cg=44Cg=66Cg= 33Lg=55Lg= 1ng+ ng ng為並電容：1ng+為負載電阻。

ng為串電感：1ng+為負載電導。

kg為串聯電感值或並聯電容值。

1g為串電感：0g為源並聯電導。

1g為並電容：0g為源串聯電阻。

42/53 43. 以二階Butterworh為例 •考慮一個二階被動LC低通濾波器，推導最大平坦度設計之 正規化L,C值。

假設源阻抗為1，截止頻率為1rad/s。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 4 1LRPω=+ () 222 1 1 in RjC ZjL RC ω ω ω − =+ + 1 1 in in Z Z − Γ= + () 2 2 111 2111 1 11 in LR inininin inin Z P ZZZZ ZZ ∗∗ ∗ + === +−−−Γ − ++ ()()222222222441 1121 4 LRPRRCLLCRLCR R ωωω=+−++−+=+  ()() 222 20CLLCLC+−=−=LC= 224 1 44 LCL ==2LC== L CR 1Ω inZ 1R= 0g1g 2g 31g= 對於3階、4階…等更高階的 Butterworth低通濾波器，要找出 其正規化LC值也是運用同樣的 手法。

所幸，這個工作已經有 人先幫我們做好並製成表格了。

因此工程師在設計時只要直接 查表即可(你也可以自己慢慢計 算，但是算出來的結果就跟g值 表一模一樣，何必多此一舉呢?)。

43/53 44. Butterworth響應LC低通濾波器g值表 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT44/53 45. 以二階Chebyshev為例 •考慮一個二階被動LC低通濾波器，推導等漣波設計之正規 化L,C值。

假設源阻抗為1，截止頻率為1rad/s。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT L CR 1Ω inZ 0g1g 2g 31g= ()22 1LRnPCεω=+() 0,forodd 0 1,foreven n n C n  =  ()2 1,odd 0 1,even LR n P nε  = + ()2 221Cωω=− ()()()()222242222222224 2 1 11441112 4 LRPCRRCLLCRLCR R εωεωωωω=+=+−+=+−++−+  如果ripplelevelε已知，RLC就可以解出來： 0ω= () 2 21 4 R R ε − = 22 1221(for=even)Rnεεε=+±+或 22221 4 4 LCR R ε= ()222221 42 4 RCLLCR R ε−=+− 可找出LC n為奇數或偶數 要分開考慮。

當n為偶數時，計算出來的R不會 等於1。

若正規化負載阻抗為1， 那麼彼此就不匹配。

這可以用1/4 波長阻抗轉換器或使用奇次階來 解決。

45/53 46. Chebyshev響應LC低通濾波器g值表(I) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT46/53 47. Chebyshev響應LC低通濾波器g值表(II) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT47/53 48. 範例-Butterworth(I) •設計一個Butterwoth低通濾波器，截止頻率為2GHz，參考 阻抗為50。

在3GHz時至少有15dB的損耗。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 10.618g= 21.618g= 32g= 41.618g= 50.618g= 0.10.115 0.10.13 101101 loglog 10111101 4.225 3GHz22 loglog2GHz s p A A s p n ω ω × × −−  −−===    01g= 1g 2g 3g 4g6g 5g 50sR=Ω 1C 2L 3C 4L LR 50Ω 5C 1 0.618 0.984pF 5022GHz C π = ⋅⋅ ≃ 2 1.61850 6.438nH 22GHz L π ⋅ = ⋅ ≃ 3 2 3.183pF 5022GHz C π = ⋅⋅ ≃ 4 1.61850 6.438nH 22GHz L π ⋅ = ⋅ ≃ 5 0.618 0.984pF 5022GHz C π = ⋅⋅ ≃ Term Term2 Z=50Ohm Num=2 C C3 C=0.984pF L L2 R= L=6.438nH C C2 C=3.183pF L L1 R= L=6.438nH C C1 C=0.984pF S_Param SP1 Step=0.1GHz Stop=6.0GHz Start=0.1GHz S-PARAMETERS Term Term1 Z=50Ohm Num=1 m1 freq= dB(S(2,1))=-3.009 2.000GHz m2 freq= dB(S(2,1))=-17.686 3.000GHz 1234506 -40 -30 -20 -10 0 -50 10 freq,GHz dB(S(2,1)) m1 m2 m1 freq= dB(S(2,1))=-3.009 2.000GHz m2 freq= dB(S(2,1))=-17.686 3.000GHz 至少用5階 查表可得 48/53 49. 範例-Butterworth(II) •使用先串L再並C： DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 01g= 1g 2g 3g 4g6g 5g150sG=Ω 50Ω 1 0.61850 2.459nH 22GHz L π ⋅ = ⋅ ≃ 2 1.618 2.575pF 5022GHz C π = ⋅⋅ ≃ 3 250 7.958nH 22GHz L π ⋅ = ⋅ ≃ 4 1.618 2.575pF 5022GHz C π = ⋅⋅ ≃ 5 0.61850 2.459nH 22GHz L π ⋅ = ⋅ ≃ 如果改用Chebyshev設計呢？ m1 freq= dB(S(2,1))=-3.010 2.000GHz m2 freq= dB(S(2,1))=-17.682 3.000GHz 1234506 -40 -30 -20 -10 0 -50 10 freq,GHz dB(S(2,1)) m1 m2 m1 freq= dB(S(2,1))=-3.010 2.000GHz m2 freq= dB(S(2,1))=-17.682 3.000GHz S_Param SP1 Step=0.1GHz Stop=6.0GHz Start=0.1GHz S-PARAMETERSL L3 R= L=2.459nH C C4 C=2.575pF L L4 R= L=7.958nH L L5 R= L=2.459nH Term Term2 Z=50Ohm Num=2 C C5 C=2.575pF Term Term1 Z=50Ohm Num=1 10.618g= 21.618g= 32g= 41.618g= 50.618g= 查表可得 請同學自己練習。

49/53 50. 各種濾波器LC轉換表(由低通轉過去) DepartmentofElectronicEngineering,NTUT nL 低通轉低低通轉低低通轉低低通轉低通通通通：：：：頻率轉換 元件g值阻抗元件值 nC nnn c s sLL ω =n c L L ω = 1c nnnsCsC ω =n c C C ω = ncssω→ nL 低通低通低通低通轉高通轉高通轉高通轉高通：：：：頻率轉換 元件g值阻抗元件值 nC c nnnsLL s ω = 1 cn C Lω = 1 nncn s sCCω = 1 cn L Cω = ncssω→ nL 低通低通低通低通轉帶通轉帶通轉帶通轉帶通：：：：頻率轉換 元件g值阻抗元件值 nC 00 0 nnn s sLL Bs ωω ω  =+  nL L B = 00 0 11 nn n sCs C Bs ωω ω =  +  nC C B = 00 0 n s s Bs ωω ω  →+  2 0n B C Lω = 2 0n B L Cω = LC串聯 LC並聯 nL 低通低通低通低通轉帶斥轉帶斥轉帶斥轉帶斥：：：：頻率轉換 元件g值阻抗元件值 nC 1 00 0 nnn s sLL Bs ωω ω −  =+  2 0 nBL L ω = 00 01 nnn s Bs sCC ωω ω  + =2 0 nBC C ω = 1 00 0 n s s Bs ωω ω −  →+  1 n C BL = 1 n L BC = LC並聯 LC串聯 設計時直接參考轉換表即可。

50/53 51. 各種濾波器LC轉換對應圖 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器 nL nC 高通濾波器高通濾波器高通濾波器高通濾波器 1 cn C Lω = 1 cn L Cω = 帶通濾波器帶通濾波器帶通濾波器帶通濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器帶斥濾波器 nL L B = nC C B = 2 0n B C Lω = 2 0n B L Cω = 2 0 nBL L ω = 2 0 nBC C ω = 1 n C BL = 1 n L BC = 51/53 52. 範例-帶通濾波器 •設計一個三階帶通濾波器(使用Butterworth低通為原型再做轉換)，其 中心頻率為1krad/s、頻寬為100rad/s且參考阻抗為600歐姆。

DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 01g= 11g= 22g= 31g=41g= () 600 ,111112 100110mF 10.1mH,10mF6000.1mH60mH,16.67µF 1006001k1 nCLCLC Ω =⇒====⇒=×=== ⋅ () 600 ,222222 100250µF 250µF,20mH83.33nF,60020mH12H 1006001k2 nLCLCL Ω =⇒====⇒===×= ⋅ () 600 ,311332 100110mF 10.1mH,10mF6000.1mH60mH,16.67µF 1006001k1 nCLCLC Ω =⇒====⇒=×=== ⋅ 600Ω 60mH16.67µF 16.67µF 60mH 12H83.33nF 600Ω01krad/s,100rad/sBω== nL 低通低通低通低通轉帶通轉帶通轉帶通轉帶通：：：：頻率轉換 g值阻抗元件值 nC 00 0 nnn s sLL Bs ωω ω  =+  nL L B = 00 0 11 nn n sCs C Bs ωω ω =  +  nC C B = 00 0 n s s Bs ωω ω  →+  2 0n B C Lω = 2 0n B L Cω = LC串聯 LC並聯 52/53 53. 結論 DepartmentofElectronicEngineering,NTUT 濾波器規格濾波器規格濾波器規格濾波器規格響應近似響應近似響應近似響應近似階數階數階數階數 轉移函數轉移函數轉移函數轉移函數主動主動主動主動:Biquad g值表值表值表值表被動被動被動被動:LC 53/53 × ShareClipboard × Facebook Twitter LinkedIn Link Publicclipboardsfeaturingthisslide × Nopublicclipboardsfoundforthisslide Selectanotherclipboard × Lookslikeyou’veclippedthisslidetoalready. Createaclipboard Youjustclippedyourfirstslide! Clippingisahandywaytocollectimportantslidesyouwanttogobacktolater.Nowcustomizethenameofaclipboardtostoreyourclips. Createaclipboard Name* Description Visibility OtherscanseemyClipboard Cancel Save SharethisSlideShare SpecialOffertoSlideShareReaders × TheSlideSharefamilyjustgotbigger.Enjoyaccesstomillionsofebooks,audiobooks,magazines,andmorefromScribd. Readfreefor60days Cancelanytime. 12likes × ssuser6a25cc Jun.21,2020 minestyle7 Sep.25,2019 Chung-YangWu Aug.24,2019 AlbertLai Apr.02,2019 KaiLiu Jun.14,2017 AntennaDesigner at 明泰科技股份有限公司 ShowMore Views × Totalviews 18,235 OnSlideShare 0 FromEmbeds 0 NumberofEmbeds 103 Youhavenowunlockedunlimitedaccessto20M+documents! × UnlimitedReading Learnfasterandsmarterfromtopexperts UnlimitedDownloading Downloadtotakeyourlearningsofflineandonthego YoualsogetfreeaccesstoScribd! Instantaccesstomillionsofebooks,audiobooks,magazines,podcastsandmore. Readandlistenofflinewithanydevice. FreeaccesstopremiumserviceslikeTuneln,Mubiandmore. DiscoverMoreOnScribd