如何通俗的解释排列公式和组合公式的含义？ - 知乎

本文试图用具体例子和小的数字来解释各个排列组合公式的意义，用图表的形式列举出来，由浅显到深，让大家彻底地直观地理解各个公式的含义。

写在前面：如何数清楚一个 ... 数学统计学组合数学（Combinatorics）高中数学排列组合如何通俗的解释排列公式和组合公式的含义？关注者851被浏览1,420,732关注问题​写回答​邀请回答​好问题67​1条评论​分享​36个回答默认排序浣熊数学​加拿大大不列颠哥伦比亚大学工程博士​关注3,126人赞同了该回答本文试图用具体例子和小的数字来解释各个排列组合公式的意义，用图表的形式列举出来，由浅显到深，让大家彻底地直观地理解各个公式的含义。

写在前面：如何数清楚一个事有多少种可能性，在生活中用的并不多，但在数学里是一个很有趣、也很常考的板块，叫做计数或者排列组合。

排列组合问题简单起来可以非常简单，比如：一个“田”字里有多少个正方形？难起来也可以非常难，中国的高考、高中数学联赛和美国的AMC、AIME都会重点考察这个板块。

很多同学一遇到排列组合公式P呀C呀什么的就不清楚，这很正常，因为初学者在不一一列举的情况下，很难直观地想清楚哪些算重了，哪些算漏了。

我自己作为学生刚接触这个的时候也是这样，每次一遇到排列组合题就很慌，后来发现，学习的关键是：你先得非常明确一些基本模型，这些基本模型往往只用很小的数字就能说明，想清楚后再做一些数字大的问题就轻松了。

本文内容包括：一：P的由来二：C的由来三：5个组合数的公式直观解释四：10个常见题型和方法现在开始！一：P的由来所谓排列组合，排列在组合之前，咱们要聊的第一个概念是“排列”，排列的英文是Permutation或者Arrangement，因此在数学符号中，用P或者A表示都可以，二者意思完全一样。

我们常见的P右边会跟两个数字（或字母），右下角的数字n表示总数，右上角的数字m表示抽出的个数。

整个符号的意思是“从n个人中，有顺序地抽出m个人的抽法数”，可以读作“Pn抽m”。

那么，到底什么叫做有顺序的？我们来举个数字很小的例子：比如：班里有三名同学，成绩前两名有几种可能性？咱们可以用乘法原理：选第一名有3种可能性，选第二名有2中可能性，因为第一名那个人不可能同时又是第二名了，将这两步相乘起来。

（如果你不太理解乘法原理，可以看看下图直观列举的表示。

）这个公式需要注意的是：虽然书上每次讲到这个公式时一般以阶乘（factorial）的形式给出，但实际计算中，往往不用阶乘。

我的记法是：从大的数字开始往小乘，乘“小的数字那么多”个。

二：C的由来咱们聊的第二个概念是“组合”，它比排列更常用，组合的英文是Combination，因此在数学符号中用C表示，美国和英国教材中，也常用“长括号”表示组合数。

我们常见的C右边会跟两个数字（或字母），右下角的数字n表示总数，右上角的数字m表示抽出的个数。

整个符号的意思是“从n个人中，不计顺序地抽出m个人的抽法数”，可以读作“Cn抽m”。

那么，到底什么叫做不计顺序的？我们也来举个例子：比如：班里有三名同学，选出两名代表参加年级会议有几种选法？哈哈，这就可以用到之前排列数的结论了！就让刚才的第一名和第二名去参加会议。

但是，对于参加会议来说，谁是第一谁是第二不重要呀！因此我把原图的红色和蓝色都涂成了黑色，以示无区别。

（如下图）至此，第二步中，第一种和第三种都是A、B的组合，完全一样，就会有一些算重的，至于有多少个算重，取决于抽出个数m的全排列种数，即m的阶乘。

（如果你不太理解哪些算重了，可以仔细看看下图中箭头所指的对应关系）于是，组合数公式就是在排列数公式上除以一个m！。

但实际计算中，往往不用阶乘。

我的记法是：从大的数字开始往小乘，乘“小的数字那么多”个，再除以“小的数字开始往小乘，乘小的数字那么多个”。

三：组合数的公式直观解释组合公式Ⅰ：这个公式课内和竞赛都会常常用到。

我在刚学的时候把它联想成“做值日”问题，四个同学中，选三名同学做值日就相当于选一名同学放学直接回家。

比如，班里有A、B、C、D四个同学，每天要选出三个同学做值日，有几种选法？这个问题对于学过排列组合的同学自然非常简单了，就是C4抽3，但是，假如问一个没学过排列组合的人，他会怎么想呢？如果想ABC，ACD……这种就会比较难想，不如去想它的反面：选Ａ、B、C或D放学直接回家，总共就四种。

这就能直观的理解这个公式了。

这个公式对于运算C10抽8这样的组合数时非常有用，直接转化成C10抽2来计算。

组合公式Ⅱ：这个公式课内会提到，但不要求熟练掌握，竞赛会常用。

可以把它联想成“约妹子看电影”问题，看看在四个妹子中，想约两个妹子有几种约法。

如果四个人都是普通朋友，看作是相同的A、B、C、D，那自然有C4抽2=6种约法。

下面我们来点刺激的：假如这四个人中有一个是你女朋友，她最特殊，你会先问她来不来：①如果她来，但你还想一共约两个妹子（手动滑稽），那么就需要在其他三个妹子中再约一个，有C3抽1种方法；②如果她不来，那你就需要在其他三个妹子中再约两个，有C3抽2种方法。

两类相加，表示的意义就是从4个妹子中约两个妹子的情况总数，即公式成立。

这个公式对于处理两个组合数相加问题非常有用，落实在计算上，我把它总结成口诀：上面的数字取大的，底下的数字加一。

组合公式Ⅲ这个公式课内和竞赛都会常常用到。

我把它叫做"抓兔子"问题，想象一个笼子里有两只兔子，抓出来的话有几种抓法？第一种方法是我去笼子里抓，我在抓的时候就想好是抓1只还是抓2只，或是抓0只（即不抓）。

由于先想好了这一点，就会有C2抽1和C2抽2这些组合数，分别表示按“抓一只”、“抓两只”分类，每类的情况数；第二种情况是我把笼子打开，让每只兔子自己选择跳出来或是不跳出来（2种可能性），每只兔子都是独立的个体，所以可以用乘法原理，总共的情况数是n个2相乘，即2的n次方。

两种方法都表示“兔子出来的情况数”，因此一样，即公式得以解释。

这个公式对于处理一系列“底下相同的”组合数相加的问题非常好用，大大节省计算量。

而且它与集合、二项式定理等中学数学知识紧密相连，需深入理解。

组合公式Ⅳ这个公式一般在竞赛中会出现。

我把它叫做"火车头"问题：抽出的一些元素，总有一个打头的，称为火车头，它也是火车的一节，只不过是特殊的一节。

具体来讲，比如说你要在A、B、C、D、E这5个小球中抽取3个小球，咱们可以按“哪个小球是第一个”分类第一类：A为火车头，那么还需在后面四个小球中抽取两个小球；第二类：B为火车头，那么还需在后面三个小球中抽取两个小球；第三类：C为火车头，那么还需在后面两个小球中抽取两个小球。

至于D或E开头的，就不足“三节车厢”了，故不计算。

我们把之前说的三类加起来，就直观地理解了这个公式。

这个公式对于处理一系列“上面相同的”组合数相加的问题非常好用，大大节省计算量。

记忆方法是：和为上面下面都加一。

组合公式Ⅴ这个公式是一个相加和相乘结合的公式，看似复杂，但并不难理解。

我对它的理解是：可以想象成班里选几名学生，分男女选和不分男女选情况数一样。

比如说，咱们假设班里有7名学生，4男3女。

如果选出三个人参加竞赛有几种选法？首先容易想到的是C7抽3=35。

没错，不过咱们还有一个思路，就是按“男女各多少人”分类讨论。

第一类：0男3女，分别抽取，再乘起来。

第二类：1男2女，分别抽取，再乘起来。

第三类：2男1女，分别抽取，再乘起来。

第四类：3男0女，分别抽取，再乘起来。

这四类是互不重叠的，可用加法原理将其相加。

原公式就得以直观理解。

上面5个公式都可以代数证明，也可按照我举得例子通俗理解，如果这二者你都很清楚，那排列组合就能融会贯通啦。

发现要具体说题，种类就比较多了，我每种题型单独成文，欢迎点击！已有的如下：以上图表和思考方法均来自浣熊老师（本人），持续更新，欢迎收藏。

AMC美国数学竞赛春季班讲解数论和计数板块知识点，欢迎有意者加我微信Raccoon_Math详聊。

编辑于2019-06-1222:28​赞同3126​​153条评论​分享​收藏​喜欢收起​willyong​尽量提供高质量回答，希望大家批评指正。

​关注702人赞同了该回答排列，就是指从给定n个数的元素中取出指定r个数的元素，进行排序总长度为r，第一个人有n-0种选，第二个有n-1种，，，，最后一个有n-（r-1）种（为什么是减去（r-1），因为到第r个人的时候，发现自己前面有r-1个人已经消耗了r-1个选择了，自己的选择余地变成n-（r-1），这和第一个人发现前面有0个选择已经消耗是一样道理）组合，则是指从给定n个数的元素中仅仅取出指定r个数的元素，不考虑排序将排序取消，只在大面上看取出的元素，则情况变少除以排序数r!下面直观说明：l排列的时候：从4个球中取2个进行排列，则第一个位置有4-0种，第二个位置有4-（2-1）=3种，一共有4x3=12种情况。

也就是公式进一步思考的话会发现如上图，排列时候，红色在第一个位置橙色在第二个位置，和橙色在第一个位置红色在第二个位置，这两张情况是不一样的。

l组合的时候：只有上面的6种情况，为什么情况会变少，是把上面诸如“红-橙”、“橙-红”这类的差别给消除变成一种情况，由于是两两成一组故数以2！也就是公式l总结总的来说，排列关注的是取出一定的情况后，在内部同时进行了一次排列；而组合只关注取出的情况，内部具体的排列方式是不加考虑的。

最后还想说的是，虽然排列值是大于组合值的，按照有小到大来说应该是组合这种情况被发现和总结的早，但是在学习的时候会发现“组合”并不是很容易理解，而且组合是在基于排列的情况下，再进行的运算。

所以，我的结论是人们是先认识的“排列”，然后才在此基础上抽象的“组合”。

编辑于2015-12-1319:59​赞同702​​36条评论​分享​收藏​喜欢收起​