三次函數圖形的繪製 - 科學Online

接下來我們將就三次多項式函數的一階與二階導函數，一步步地討論與完成繪製 ... 設實根為\alpha，亦即f'(x) 可配方為f'(x)=3a(x-\alpha)^2，因此當a>0 ... Sunday24thJuly2022 24-Jul-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 三次函數圖形的繪製 臺北市立西松高中蘇惠玉教師 當我們要描繪一個多項式函數圖形時，有幾個需要事先注意與處理的步驟： 確定自變數\(x\)的範圍； 求\(y=f(x)\) 與座標軸的交點： 確定函數圖形是否有水平漸近線、鉛直漸近線或斜漸近線； 計算\(f'(x)\)，求出曲線上發生極值的點，同時也確定曲線的升降情況； 計算\(f”(x)\)，求出曲線上的反曲點，同時也確定曲線凹口向上或向下的情況。

接下來我們將就三次多項式函數的一階與二階導函數，一步步地討論與完成繪製三次函數的圖形。

三次函數圖形的特徵 設三次函數\(f(x)=ax^3+bx^2+cd+d,~~a\ne0\)， 其\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)、\(f”(x)=6ax+2b\) \((1)\) \(f'(x)=0\) 有二相異實根 設實根為\(\alpha\) 與\(\beta\) （\(\alpha0\)時，可得與的函數值之正負變化情形，以及\(y=f(x)\) 圖形的簡圖如下表：  \(a>0\)： 由上表可知，當\(a>0\) 時，函數圖形為「右上升」；而當\(a<0\) 時，所有遞增減的情形與凹口的情形皆與\(a>0\) 時相反，且圖形為「右下降」。

其圖形如下： 由圖形可知，此時三次函數有極值，極值點為\((\alpha,f(\alpha))\) 、\((\beta,f(\beta))\)，利用這兩個點與\(x\)軸的相對位置，就可討論\(f'(x)=0\) 的實根與虛根個數。

當\(f'(\alpha)\cdotf'(\beta)<0\) 時，方程式有三相異實根；當\(f'(\alpha)\cdotf'(\beta)=0\) 時，方程式有三實根（二重根與另一實根）；當\(f'(\alpha)\cdotf'(\beta)>0\) 時，方程式有二虛根與一實根。

\((2)\) \(f'(x)=0\) 只有一個實根 設實根為\(\alpha\)，亦即\(f'(x)\) 可配方為\(f'(x)=3a(x-\alpha)^2\)，因此當\(a>0\)時，\(f'(x)\ge0\)，\(f(x)\) 為遞增函數；當\(a<0\)時，\(f'(x)\le0\)，\(f(x)\) 為遞減函數。

又\(f”(x)=3a(x-\alpha)\)，其反曲點為\((\alpha,f(\alpha))\)，但\(f'(\alpha)=0\)，亦即過反曲點\((\alpha,f(\alpha))\) 可作一條水平切線。

其圖形如下：   在此種情形下，再考慮\(x\)軸的位置，即可討論\(f'(x)=0\) 的實根與虛根個數。

若反曲點\((\alpha,f(\alpha))\) 在\(x\)軸上，即\(f(\alpha)=0\)，那麼方程式有三相等實根（為三重根）；當 \(f(\alpha)\ne0\) 時，方程式有二虛根與一實根。

\((3)\) \(f'(x)=0\) 沒有實根 即\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) 之判別式\(D<0\)，因此當\(a>0\)時，\(f'(x)\) 恆正，亦即\(f'(x)\) 為嚴格遞增函數；反之，當\(a<0\)時，\(f'(x)\) 恆負，亦即\(f(x)\) 為嚴格遞減函數。

又反曲點為\(\displaystyle(–\frac{b}{{3a}},f(–\frac{b}{{3a}}))\)，且因為\(f'(\displaystyle-\frac{b}{{3a}})\ne0\)，因此在函數圖形在反曲點沒有水平切線。

其圖形如下：   在這種情形下，無論\(x\)軸的位置為何，\(f(x)=0\) 的根都是二虛根一實根。

Tags:一階導函數,三次函數,二階導函數,作圖,反曲點 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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