二次函數- 維基百科，自由的百科全書

函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。

以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

二次函數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 解析式： f ( x ) = x 2 − x − 2 {\displaystylef(x)=x^{2}-x-2\,\!} 在數學中，二次函數（英語：quadraticfunction）表示形為 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} （ a ≠ 0 {\displaystylea\neq0\,\!} ，且 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 是常數）的多項式函數，其中， x {\displaystylex} 為自變數[a]， a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。

二次函數的圖像是一條主軸平行於 y {\displaystyley} 軸的拋物線。

[1] 二次函數表達式 a x 2 + b x + c {\displaystyleax^{2}+bx+c} 的定義是一個二次多項式，因為 x {\displaystylex} 的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。

該方程式的解稱為方程式的根或函數的零點。

目次 1歷史 2根 3二次函數的形式 4圖像 4.1x截距 4.2頂點 4.3最大值和最小值 5二次函數的平方根 6二元二次函數 6.1最小值/最大值 7註釋 8參考資料 8.1參考書目 9參見 10外部連結 歷史[編輯] 大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。

公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程式的人，它同時容許有正負數的根。

[b] 11世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。

亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liberembadorum，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。

[c] 根[編輯] 更多資訊：二次方程式和韋達定理 二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\,\!} 的兩個根為： x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystylex={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} 解方程式後，我們會得到兩個根： x 1 {\displaystylex_{1}} 和 x 2 {\displaystylex_{2}} 。

則點 ( x 1 , 0 ) {\displaystyle(x_{1},0)} 和 ( x 2 , 0 ) {\displaystyle(x_{2},0)} 就是二次函數與 x {\displaystylex} 軸的交點。

根的類型如下： 設 Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle\Delta=b^{2}-4ac\,} 為一元二次方程式的判別式，又記作D。

當 Δ > 0 {\displaystyle\Delta>0\,\!} ，則方程式有兩個不相等的根，也即與 x {\displaystylex} 軸有兩個不重疊的交點，因為 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}} 是正數。

當 Δ = 0 {\displaystyle\Delta=0\,\!} ，則方程式有兩個相等的根，也即與 x {\displaystylex} 軸有一個切點，因為 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}} 是零。

當 Δ < 0 {\displaystyle\Delta<0\,\!} ，則方程式沒有實數根，也即與 x {\displaystylex} 軸沒有交點，因為 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}} 是共軛複數。

設 r 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyler_{1}={\frac{-b+{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} 和 r 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyler_{2}={\frac{-b-{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} ，我們可以把 a x 2 + b x + c {\displaystyleax^{2}+bx+c\,\!} 因式分解為 a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystylea(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} 。

二次函數的形式[編輯] 二次函數可以表示成以下三種形式： f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} 稱為一般形式或多項式形式。

f ( x ) = a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystylef(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} 稱為因子形式或交點式，其中 r 1 {\displaystyler_{1}} 和 r 2 {\displaystyler_{2}} 是二次方程式的兩個根， ( r 1 , 0 ) {\displaystyle(r_{1},0)} , ( r 2 , 0 ) {\displaystyle(r_{2},0)} 是拋物線與 x {\displaystylex} 軸的兩個交點。

f ( x ) = a ( x − h ) 2 + k {\displaystylef(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!} 稱為標準形式或頂點形式， ( h , k ) {\displaystyle(h,k)} 即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根 r 1 {\displaystyler_{1}} 和 r 2 {\displaystyler_{2}} ，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。

把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。

把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。

把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

h {\displaystyleh} 代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為 h {\displaystyleh} k {\displaystylek} 展開後比較後可得 k = − a ( | r 1 − r 2 | 2 ) 2 {\displaystylek=-a\left({\frac{|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}} 不通過 r 1 {\displaystyler_{1}} 和 r 2 {\displaystyler_{2}} 求 k {\displaystylek} 及 h {\displaystyleh} 公式： h = − b 2 a {\displaystyleh=-{\frac{b}{2a}}} k = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystylek=-{\frac{b^{2}-4ac}{4a}}} (也作 k = 4 a c − b 2 4 a {\displaystylek={\frac{4ac-b^{2}}{4a}}} ) 而在三種形式中皆出現的 a {\displaystylea} 為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像[編輯] f ( x ) = a x 2 , {\displaystylef(x)=ax^{2},\!} a = { 0.1 , 0.3 , 1 , 3 } {\displaystylea=\{0.1,0.3,1,3\}\!} f ( x ) = x 2 + b x , {\displaystylef(x)=x^{2}+bx,\!} b = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyleb=\{1,2,3,4\}\!} f ( x ) = x 2 + b x , {\displaystylef(x)=x^{2}+bx,\!} b = { − 1 , − 2 , − 3 , − 4 } {\displaystyleb=\{-1,-2,-3,-4\}\!} 係數 a {\displaystylea} 控制了二次函數從頂點的增長（或下降）速度，即二次函數開口方向和大小。

| a | {\displaystyle|a|} 越大，開口越小，函數就增長得越快。

係數 b {\displaystyleb} 和 a {\displaystylea} 控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的 x {\displaystylex} 坐標）。

係數 b {\displaystyleb} 控制了拋物線穿過 y {\displaystyley} 軸時的傾斜度（導數）。

係數 c {\displaystylec} 控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與 y {\displaystyley} 軸的交點。

函數 圖像 函數變化 對稱軸 開口方向 最大（小）值 y = a x 2 {\displaystyley=ax^{2}} a > 0 {\displaystylea>0} 當 x > 0 {\displaystylex>0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的增大而增大；當 x < 0 {\displaystylex<0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的減小而增大 y {\displaystyley} 軸或 x = 0 {\displaystylex=0} 向上 0 {\displaystyle0} y = a x 2 {\displaystyley=ax^{2}} a < 0 {\displaystylea<0} 當 x > 0 {\displaystylex>0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的增大而減小；當 x < 0 {\displaystylex<0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的減小而減小 y {\displaystyley} 軸或 x = 0 {\displaystylex=0} 向下 0 {\displaystyle0} y = a x 2 + c {\displaystyley=ax^{2}+c} a > 0 {\displaystylea>0} 當 x > 0 {\displaystylex>0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的增大而增大；當 x < 0 {\displaystylex<0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的減小而增大 y {\displaystyley} 軸或 x = 0 {\displaystylex=0} 向上 c {\displaystylec} y = a x 2 + c {\displaystyley=ax^{2}+c} a < 0 {\displaystylea<0} 當 x > 0 {\displaystylex>0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的增大而減小；當 x < 0 {\displaystylex<0} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的減小而減小 y {\displaystyley} 軸或 x = 0 {\displaystylex=0} 向下 c {\displaystylec} y = a x 2 + b x + c {\displaystyley=ax^{2}+bx+c} a > 0 {\displaystylea>0} 當 x > − b 2 a {\displaystylex>-{\frac{b}{2a}}} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的增大而增大；當 x < − b 2 a {\displaystylex − b 2 a {\displaystylex>-{\frac{b}{2a}}} 時， y {\displaystyley} 隨 x {\displaystylex} 的增大而減小；當 x < − b 2 a {\displaystylex 0 {\displaystylea>0\,\!} 時，則是最小值。

經過頂點的豎直線 x = h = − b 2 a {\displaystylex=h=-{\frac{b}{2a}}} 又稱為拋物線的對稱軸。

最大值和最小值[編輯] 函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。

以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} ，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數： f ( x ) = a x 2 + b x + c ⇔ f ′ ( x ) = 2 a x + b {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow\,\!f'(x)=2ax+b\,\!} 然後，求出 f ′ ( x ) {\displaystylef'(x)\,\!} 的根： 2 a x + b = 0 ⇒ 2 a x = − b ⇒ x = − b 2 a {\displaystyle2ax+b=0\Rightarrow\,\!2ax=-b\Rightarrow\,\!x=-{\frac{b}{2a}}} 因此， − b 2 a {\displaystyle-{\frac{b}{2a}}} 是 f ( x ) {\displaystylef(x)\,\!} 的 x {\displaystylex\,\!} 值。

現在，為了求出 y {\displaystyley\,\!} ，我們把 x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 代入 f ( x ) {\displaystylef(x)\,\!} ： y = a ( − b 2 a ) 2 + b ( − b 2 a ) + c ⇒ y = a b 2 4 a 2 − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 4 a − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 − 2 b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − ( b 2 − 4 a c ) 4 a ⇒ y = − Δ 4 a {\displaystyley=a\left(-{\frac{b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac{b}{2a}}\right)+c\Rightarrowy={\frac{ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac{b^{2}}{2a}}+c\Rightarrowy={\frac{b^{2}}{4a}}-{\frac{b^{2}}{2a}}+c\Rightarrowy={\frac{b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrowy={\frac{-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrowy=-{\frac{(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrowy=-{\frac{\Delta}{4a}}} 所以，最大值或最小值的坐標為： ( − b 2 a , − Δ 4 a ) {\displaystyle\left(-{\frac{b}{2a}},-{\frac{\Delta}{4a}}\right)} 二次函數的平方根[編輯] 二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。

如果 a > 0 {\displaystylea>0\,\!} ，則方程式 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyley=\pm{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}} 描述了一條雙曲線。

該雙曲線的軸由對應的拋物線 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyley_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} 的最小值決定。

如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。

如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。

如果 a < 0 {\displaystylea<0\,\!} ，則方程式 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyley=\pm{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}} 的圖像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。

如果對應的拋物線 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyley_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} 的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。

如果是負數，則描述了一個空集。

二元二次函數[編輯] 二元二次函數是以下形式的二次多項式： f ( x , y ) = A x 2 + B y 2 + C x + D y + E x y + F {\displaystylef(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!} 這個函數描述了一個二次曲面。

把 f ( x , y ) {\displaystylef(x,y)\,\!} 設為零，則描述了曲面與平面 z = 0 {\displaystylez=0\,\!} 的交線，它是一條圓錐曲線。

最小值/最大值[編輯] 如果 4 A B − E 2 < 0 {\displaystyle4AB-E^{2}<0\,} ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是雙曲拋物面。

如果 4 A B − E 2 > 0 {\displaystyle4AB-E^{2}>0\,} ，則當 A > 0 {\displaystyleA>0} 時函數具有最小值，當 A < 0 {\displaystyleA<0} 具有最大值。

其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 ( x m , y m ) {\displaystyle(x_{m},y_{m})\,} 取得，其中： x m = − 2 B C − D E 4 A B − E 2 {\displaystylex_{m}=-{\frac{2BC-DE}{4AB-E^{2}}}} y m = − 2 A D − C E 4 A B − E 2 {\displaystyley_{m}=-{\frac{2AD-CE}{4AB-E^{2}}}} 如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle4AB-E^{2}=0\,} 且 D E − 2 C B = 2 A D − C E ≠ 0 {\displaystyleDE-2CB=2AD-CE\neq0\,} ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是拋物柱面。

如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle4AB-E^{2}=0\,} 且 D E − 2 C B = 2 A D − C E = 0 {\displaystyleDE-2CB=2AD-CE=0\,} ，則函數在一條直線上取得最大值/最小值。

當 A > 0 {\displaystyleA>0} 時取得最大值， A < 0 {\displaystyleA<0} 時取得最小值。

其圖像也是拋物柱面。

註釋[編輯] ^註：自變數 x {\displaystylex} 的取值範圍為任何實數 ^參見婆羅摩笈多#代數 ^參見花拉子米#代數 ^參見韋達定理 參考資料[編輯] ^数学.北京:北京師範大學出版社.2014.ISBN 9787303136933. 使用|accessdate=需要含有|url=(幫助) ^賈士代.初中代数41讲.北京:首都師範大學出版社. :49–55.ISBN 7-81039-028-7.  ^WebGraphing.com用配方法解一元二次方程.[2015-08-06].（原始內容存檔於2015-07-29）.  參考書目[編輯] 《代數1》，Glencoe,ISBN0-07-825083-8 《代數2》，Saxon,ISBN0-939798-62-X 參見[編輯] 拋物線 外部連結[編輯] 埃里克·韋斯坦因.Quadratic.MathWorld.  閱論編多項式函數 零次函數(常數函數) 一次函數 二次函數 三次函數 四次函數 五次函數 方程式 一次方程式 二次方程式 三次方程式 四次方程式 五次方程式 六次方程式 七次方程式 八次方程式 九次方程式 算法 多項式除法 多項式最大公因子（英語：Polynomialgreatestcommondivisor） 秦九韶算法 結式 判別式 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=二次函数&oldid=68451687」 分類：多項式函數數學隱藏分類：含有訪問日期但無網址的引用的頁面有藍鏈卻未移除內部連結助手模板的頁面使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةکوردیCymraegDeutschEnglishفارسیFrançaisहिन्दीBahasaIndonesiaItaliano日本語ភាសាខ្មែរ한국어ລາວBahasaMelayuPortuguêsSlovenščinaShqipСрпски/srpskiTagalogTiếngViệt粵語 編輯連結