指数与对数 - 数学乐

ln(ex) = x. e(ln x) = x. 这是它们的图： ... 计算器ln 键. 在计算器上，自然对数是"ln" 键。

... 你也可以把logb a 作为"转换因数"（公式如上）：. 指数与对数 什么是指数？   一个数的指数代表把多少个 这个数乘在一起。

例子：23=2×2×2=8 （3个2乘在一起得到8） 什么是对数？ 对数与指数相反。

它是这个问题的答案："什么指数会得到这个结果？"： 这问题的答案是： 用以上的例子： 指数用2和3来得到8（2乘3次为8） 对数用2和8来得到3（2成为8，当把3个2乘在一起时） 对数的意思是：用几个数与自己乘在一起会得到另一个数 所以对数的答案是指数： （去这里看看指数、根和对数的关系。

） 一起用 指数与对数时常用在一起，因为它们的效果是"相反"的（但底"a"要相同）： 指数与对数互为"反函数" 先做一个，然后做另一个，就还原了： 取ax，然后取对数，得回x: 取对数，然后取ax，得回x： 但光看名字不能猜到它们是相反的…… 你可以这样想：ax  "向上"，loga(x)  "向下"： 向上走，然后向下走，你回到原处：向下(向上p(x))=x， 向下走，然后向上走，你回到原处：向上(向下(x))=x 无论如何，重点是： 指数函数可以"还原"对数函数的效果。

. （反过来也一样） 看这个例子： 举例：log3(x)=5，x是什么？ 我们可以用以3为底的指数来"还原"对数： 开始         我们想"还原"对数以得到"x="       每边都用指数函数：         我们知道，所以：   x=35       答案：   x=243 再来一个： 例子：y=log4(1/4)，求y 开始         每边都用指数函数：         简化：   4y=1/4       小窍门：1/4=4-1       所以：   4y=4-1       故此：   y=-1 对数的特性 对数的其中一个强大功能是把乘变成加。

loga(m×n)=logam+logan "乘的对数是对数的和" 为什么是这样？看附注。

用这特性和指数定律，我们得到以下有用的特性： loga(m×n)=logam+logan 乘的对数是对数的和     loga(m/n)=logam-logan 除乘的对数是对数的差     loga(1/n)=-logan 这是以上"除"特性的结果，因为loga(1)=0     loga(mr)=r(logam) m的r次幂 的对数 是 r 和 m的对数 的积     记着：底"a"一定要相同！ 历史：以前没有计算器时，对数非常有用……例如，要乘两个很大的数，你可以用对数来把乘变为加（容易得多！） 以前甚至有专门为此而设的对数表书。

我们来玩玩： 例子：简化loga((x2+1)4√x) 开始：   loga((x2+1)4√x)       用loga(mn)=logam+logan：   loga((x2+1)4)+loga(√x)       用loga(mr)=r(logam):   4loga(x2+1)+loga(√x)       同时√x=x½:   4loga(x2+1)+loga(x½)       再用loga(mr)=r(logam)：   4loga(x2+1)+½loga(x) 不能再简化下去了……不能简化这个：loga(x2+1).   答案：4loga(x2+1)+½loga(x) 注意：没有处理loga(m+n)或loga(m−n)的规则 我们也可以"反过来"用对数的特性来组合对数： 例子：把loga(5)+loga(x)−loga(2)变成一个对数： 开始：   loga(5)+loga(x)−loga(2)       用loga(mn)=logam+logan:   loga(5x)−loga(2)       用loga(m/n)=logam−logan:   loga(5x/2)   答案：loga(5x/2) 自然对数和自然指数函数 底是e（"欧拉数"=2.718281828459……）的对数叫： 自然对数loge(x) 通常写为ln(x) 自然指数函数ex 它们仍然可以互相还原： ln(ex)=x e(lnx)=x 这是它们的图： 自然对数   自然指数函数   f(x)=ln(x)的图   f(x)=ex的图 穿过(1,0)和(e,1)   穿过(0,1)和(1,e) 它们是同一条曲线，不过x轴和y轴对调了。

这也显示出它们是反函数。

  在计算器上，自然对数是"ln"键。

你应该尽量使用自然对数和自然指数函数。

常用对数 底是10的对数叫： 常用对数log10(x)，有时写为log(x) 工程师时常用到它，但数学里很少用。

  在计算器上，常用对数是"log"键。

它的有用之处是告诉你数在十进制里"有多大"（你要乘几个10）。

例子：计算log10100 10×10=100，所以2个10乘在一起的积是100： log10100=2 同样，log101,000=3，log1010,000=4，依此类推。

例子：计算log10369 这个最好用计算器的"log"键： log10369=2.567…… 改变底 如果我们想改变对数的底呢？ 容易！用这个公式： "x增大，a减小" 你也可以把logba作为"转换因数"（公式如上）： logax=logbx/logba 用这个公式，我们可以转换为任何的底。

另一个有用的特性是： logax=1/logxa 看到"x"和"a"换位吗？ 例子：计算1/log82 1/log82=log28 2×2×2=8，所以3个2乘在一起的积是8： 1/log82=log28=3   我们常用自然对数，所以最好记着： logax=lnx/lna   例子：计算log422   我的计算器没有"log4"键…… ……但它有"ln"键。

我们来用它：   log422=ln22/ln4=3.09.../1.39...=2.23（保留三位小数）   这答案的意思是什么？它的意思是4的2.23次幂等于22。

我们来检测： 检测：42.23=22.01（差不多了！） 再来一个例子： 例子：计算log5125 log5125=ln125/ln5=4.83.../1.61...=3（绝对精确）   我知道5×5×5=125（3个5的积是125），所以答案应该是3。

对了！ 现实应用 在现实世界里应用对数的实例： 地震 地震的振幅是以对数尺度显示。

著名的"里氏地震规模"用这个公式： M=log10A+B 其中：A是地震仪测量的振幅（单位为毫米） B是距离校正系数 现今有更复杂的公式，但都是用对数尺度。

声音 响度的单位是分贝（简写为dB）： 响度（dB）=10log10(p×1012) 其中p是声压 酸性的或碱性的 酸性（或碱性）的测量单位是pH： pH=−log10[H+] 其中H+是溶解的氢离子的摩尔浓度。

注意：在化学，[]代表摩尔浓度（克／升）。

更多例子 例子：解2log8x=log816 开始：   2log8x=log816       把"2"带进对数：:   log8x2=log816       拿走对数（对数的底相同）：   x2=16       解：   x=−4or+4       可是……可是……可是……不能有负数的对数！ 所以−4的解是未定义的 答案：4 检验：用计算器来检验……也用"-4"来试试看。

例子：解e−w=e2w+6 开始：   e−w=e2w+6       每边取ln：   ln(e−w)=ln(e2w+6) ln(ew)=w：   −w=2w+6       简化：   −3w=6 解：   w=6/−3=−2       答案：w=−2 检验：e−(−2)=e2ande2(−2)+6=e2   附注：为什么log(m×n)=log(m)+log(n)？ 要知道为什么，我们需要用and: 首先把m和n变成"对数的指数"：     然后用指数定律 最后把指数还原。

这是数学里时常用到的"高招"："这里做不行，我们就去那边做，然转换回来"     指数对数代数2索引 版权所有©2017MathsIsFun.com