[ODE]Laplace變換解方程 - 尼斯的靈魂

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今天想跟大家介紹一下如何用Laplace變換解方程。

會使用拉普拉斯變換來解方程的原因是這種變換有唯一的逆變換。

… 跳至內容區 今天想跟大家介紹一下如何用Laplace變換解方程。

會使用拉普拉斯變換來解方程的原因是這種變換有唯一的逆變換。

假設是某個可積分函數,並且下列暇積分存在:(稱為的拉普拉斯變換) 接著我們來看下面幾個例子: 範例1:令常數函數。

則。

範例2.則。

範例3.則 範例4.則 範例5.。

則。

範例6.則。

範例7.則。

給定了一個函數我們可以計算他的。

反之,如果知道是某個函數的拉普拉斯變換,那麼可以唯一被決定。

如果用線性代數的語言來說:令表示所有上均存在的集合。

那麼是ㄧ個實向量空間,同時令為所有的所構成的向量空間。

Laplace變換定理: 令表示拉普拉斯變換的定義域表示其值域。

則均為向量空間,並且拉普拉斯變換 是一個可逆的線性變換(invertiblelineartransformation)。

舉例來說,的逆變換是。

有了這些準備之後,我們就可以開始來計算我們的微分方程的解。

首先,利用分部積分的方法我們可以驗證下列等式:(我們假設) 所以我們推出 於是利用歸納法,我們可以推得 範例:試解出。

利用將方程取拉普拉斯變換之後,我們推得 由於可知 利用拉普拉斯變換定理與範例 2,我們推得。

這與我們使用微積分得到的解相吻合。

範例:試解其中且。

解:利用,再把方程取拉普拉斯變換之後我們得到 可推得利用拉普拉斯變換定理與範例3,4的結果可知道。

範例:試利用拉普拉斯變換解。

解:使用拉普拉斯變換之後,我們推得 可推知 利用範例6,7與拉普拉斯逆變換我們推得 附註:我們可以驗證滿足,且。

利用拉普拉斯變換的性質,可以推得。

可推得。

所以如果你知道的函數滿足一些微分方程,你可以透過拉普拉斯變換的性質求出他們得拉普拉斯變換。

我就讓讀者自己去試試幾個例子吧(考慮上述的這些範例)。

附註:關於的定義域,我們可以取。

利用瑕積分的性質可以證明構成一個向量空間(的向量子空間): (1) (2) 下次會來談談Fourier變換。

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