[ODE]Laplace變換解方程 - 尼斯的靈魂
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今天想跟大家介紹一下如何用Laplace變換解方程。
會使用拉普拉斯變換來解方程的原因是這種變換有唯一的逆變換。
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今天想跟大家介紹一下如何用Laplace變換解方程。
會使用拉普拉斯變換來解方程的原因是這種變換有唯一的逆變換。
假設是某個可積分函數,並且下列暇積分存在:(稱為的拉普拉斯變換)
接著我們來看下面幾個例子:
範例1:令常數函數。
則。
範例2.則。
範例3.則
範例4.則
範例5.。
則。
範例6.則。
範例7.則。
給定了一個函數我們可以計算他的。
反之,如果知道是某個函數的拉普拉斯變換,那麼可以唯一被決定。
如果用線性代數的語言來說:令表示所有上均存在的集合。
那麼是ㄧ個實向量空間,同時令為所有的所構成的向量空間。
Laplace變換定理:
令表示拉普拉斯變換的定義域表示其值域。
則均為向量空間,並且拉普拉斯變換
是一個可逆的線性變換(invertiblelineartransformation)。
舉例來說,的逆變換是。
有了這些準備之後,我們就可以開始來計算我們的微分方程的解。
首先,利用分部積分的方法我們可以驗證下列等式:(我們假設)
所以我們推出
於是利用歸納法,我們可以推得
範例:試解出。
利用將方程取拉普拉斯變換之後,我們推得
由於可知
利用拉普拉斯變換定理與範例 2,我們推得。
這與我們使用微積分得到的解相吻合。
範例:試解其中且。
解:利用,再把方程取拉普拉斯變換之後我們得到
可推得利用拉普拉斯變換定理與範例3,4的結果可知道。
範例:試利用拉普拉斯變換解。
解:使用拉普拉斯變換之後,我們推得
可推知
利用範例6,7與拉普拉斯逆變換我們推得
附註:我們可以驗證滿足,且。
利用拉普拉斯變換的性質,可以推得。
可推得。
所以如果你知道的函數滿足一些微分方程,你可以透過拉普拉斯變換的性質求出他們得拉普拉斯變換。
我就讓讀者自己去試試幾個例子吧(考慮上述的這些範例)。
附註:關於的定義域,我們可以取。
利用瑕積分的性質可以證明構成一個向量空間(的向量子空間):
(1)
(2)
下次會來談談Fourier變換。
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