排列組合中的重複組合。 - 我是黃紹東- 痞客邦

文章推薦指數: 80 %
投票人數:10人

這篇是有關排列組合中重複組合(H)轉變成想排列(P)或組合(C)的 ... 高中生對數學仍懷抱一點興趣的朋友,不要理會H*取幾的公式,要麻頂多 ... 我是黃紹東,歡迎蒞臨我的網誌!想聊就聊吧~ 跳到主文 我平凡,我以為平凡,我想不平凡,別人看我不平凡,於是我不平凡。

部落格全站分類:心情日記 相簿 部落格 留言 名片 Feb22Wed201223:14 排列組合中的重複組合。

    這篇是有關排列組合中重複組合(H)轉變成想排列(P)或組合(C)的思考方式。

  雖然有趣且實用,不過也很容易遺忘(也許是我目前了解的只有在解題目時實用吧XD)。

  在網路上找到另篇同樣對此著墨不少的文章,其行文較為乾淨俐落。

  http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/content_new/c2-6.htm   此篇適合學過重複組合(H)卻不了解它背後根據的人閱讀。

  問題是這樣的。

  「滿足x+y+z=8,且x,y,z都是非負整數的(x,y,z)有幾組解?」   我強烈建議高中生對數學仍懷抱一點興趣的朋友,不要理會H*取幾的公式,要麻頂多考試前記一下,免得定義不知道,出在選擇題時沒辦法判斷答案。

  如果我沒搞錯H的定義的話,那麼當這道題目出現在習題時,解答會使用H3取8來解。

  我待會講的雖然不用H,但其實就是課本講H定義時所用的觀念。

  想像一下,有8個圈圈(因為加起來等於8)。

  OOOOOOOO   而這題有兩個+號,接著把8個圈圈和2個+號做排列,+號作為區隔,最左邊的圈圈量就是x的值,中間的是y值,右邊的是z值。

  舉例來說--   OOO+OO+OOO,就是一組x=3,y=2,z=3,x+y+z=8的解。

  +OO+OOOOOO,就是一組x=0,y=2,z=6,x+y+z=8的解。

  OOOO++OOOO,就是一組x=4,y=0,z=4,x+y+z=8的解。

  這是彼此完全一一對應的(數學語言上叫做onetoone),意思是我找得出一組(x,y,z),就能排出一種8個O和2個+所排列出的一種排法。

  而如果我用8個O和2個+排出一種排列方式,那也對應到一組(x,y,z)。

  於是原本求x+y+z=8的問題,就轉變成問:「8個O和2個+做排列,有幾種排列方式?」   那這可以直接想成(同義於):「在10個空格(因為要擺8個圈圈跟2個+號,要有10個空格)中,選2個空格放+號,其餘皆放O,有幾種放法?」   共有C10取2種,意思是有45種排列方式,意思就是滿足條件的(x,y,z)有45組解。

    上面的這個做法可稱做「數學建模」(可說是我說的「翻譯」的其中一個分支),如果善長建模,那就有能力可以解決許多較為偏向現實的問題。

(而非只在純理論裡打轉)   但,如果這題提出了一個有趣的觀念,卻只能應付這種形式,未免也太累贅了(不如直接背公式XD?)。

  所以不只是這樣。

  下一題(通常這些題目我會選擇會放在一起講)。

  「滿足x+y+z=8,且x,y,z都是『正整數』(條件改了)的(x,y,z)有幾組解?」   這題如果是習題解答,它通常會這麼寫:「令x’=x–1,y’=y–1,z’=z–1(就是先丟給x,y,z各一個1,讓剩下來的數字分配轉為「非負整數」的分配方式),則該式可改寫成x’+y’+z’=5,這是H3取5,得解。

」   要想成那樣亦是可以,8個圈圈,先把3個圈圈給拿掉(已經預留給x,y,z各1個了),剩下5個圈圈,和2個+號,再做排列即可。

  稍作補充此時的兩種表達方法,第一種是(5+2)!/5!2!,這種寫法的意思是:「7個東西排成一列,其中5個是一樣的,另外2個是一樣的(因為一樣的東西調換順序不會產生新的排列方式),所以除以5!和2!」(這裡的「!」是階乘的意思)   第二種表示方法是C7取2。

  (你或許發現C7取2寫出來就跟上面的第一種長得一模一樣,但是我說,它們是依據表面上不同的理由寫出來的)   5個圈圈和2個+號,會排出7個位置,而這2個+號擺在7個位置中的哪兩個位置呢?   (因為選定了2個+號的位置後,其他就都放圈圈了。

)   這就是從7個位置裡選2個位置放+號,有C7取2種放法。

    而,也可以不用用上面那樣的想法。

(也是滿漂亮的啦!)   這裡再提供另個觀點。

  依然是8個圈圈,OOOOOOOO,一樣2個+號,可是這次用+號來分區塊時,不能使得任一區塊裡面的圈圈數量是零個(因為都要是正整數),意思就是說,2個+號中間必然要有圈圈作為區隔(要不然y就等於0了),以及這2個+號不能放在最左或最右側(要不然x或z就等於0了)。

  那其實就相當於問:「從8個圈圈的7個縫隙中,挑兩個縫隙放入+號,有幾種放法?」   (因為這樣的放法恰好不會放到兩側,也不會使得兩個+號中間沒有圈圈,而且與原本的問題是完全對應的。

)   那答案就是C7取2種。

    從剛才第一題的想法轉到第二題的第一個想法,還算容易,轉到第二個想法,就沒那麼直覺了。

第二個想法雖然也是直觀的看,但是延伸的方式較難思考。

  舉例來說,如果今天題目要求:「x,y,z皆大於等於2」,那麼第二個想法要如何能夠想像+號與+號之間有2個圈圈做為區隔的情形呢?(當然也是可以,只是不容易想)   此時若仍沿用第一種想法,先把要給x,y,z各2個(共6個)的圈圈預留起來,剩下來的再做排列,會容易許多。

    這系列問題還沒結束。

(只要有人有意願,可以一直發展下去XD?)   下一題(希望你會注意到,解決的想法都是從另個觀點看題目,藉此將它變成我們已知如何解的問題)。

  「滿足x+y+z≦8,且x,y,z皆為非負整數的(x,y,z)有幾組解?」   通常人到了這裡,想像力就已窮盡了。

(這句話沒什麼根據)   就連解答本都有可能會這麼寫:「把=0,1,2,3,4,5,6,7,8的情況都列出來,再全部相加即得解。

」   事實上要是我沒有想起其他算法的話,是很有可能真的那樣算的。

  較為快速的想法是,這次我一樣有8個圈圈,2個加號。

  如果我將這10個東西排列的話,只會切割出3個區塊,而且是滿足x+y+z=8的情形。

  但如果我再加上1個加號呢?   8個圈圈和3個加號,可以切出4個區間,第一個區間有x個圈圈,第二個區間有y個,第三個區間有z個,現在x+y+z的值就變成小於等於8了(因為右邊還有個區間有圈圈)。

  那第四個區間(最右邊的)是什麼呢?那就是剩下來沒用到的圈圈。

  如果第四個圈圈裡裝了8個,那就是x+y+z+8=8的情形(化簡成x+y+z=0),如果裝了7個,那就是x+y+z+7=8的情形(化簡成x+y+z=1的情形)……   這就意味著,我建立第四個區間u,求「滿足x+y+z+u=8」的解情形,它有幾組解就表示「x+y+z≦8」有幾組解。

    其他數學相關的文章(因為這篇文章點閱率太高,所以新增同類文章連結):   100年學測數學單選題觀念詳解   很強的條件--有限。

(數學)   2011清大數學YA數人生「數論紛紛」講義。

  求解是什麼意思?(數學)   淺顯易懂的,你願意接受嗎? 全站熱搜 創作者介紹 東東 我是黃紹東,歡迎蒞臨我的網誌!想聊就聊吧~ 東東發表在痞客邦留言(23)人氣() E-mail轉寄 全站分類:進修深造個人分類:數學。

此分類上一篇:尋找教數學的機會!(數學家教(?)) 此分類下一篇:求解是什麼意思?(國中數學聯立方程式) 上一篇:尋找教數學的機會!(數學家教(?)) 下一篇:一些感受;限時間的益智遊戲。

歷史上的今天 2019:隨緣。

2012:尋找教數學的機會!(數學家教(?)) 2012:越級玩農家樂職業版。

▲top 留言列表 發表留言 最新文章 文章分類 電腦遊戲(3) 益智遊戲(13)小型遊戲(2)線上遊戲(5) 兩性(3) 你可以從《把妹達人》裡學到的事(12)誠實的選擇(8)兩性雜談(14) 資料夾:刻意寫的東西(3) 別人才沒有錯。

(6)過往筆跡。

(9)心理學與現代生活作業(心得)(8) 教桌遊的觀點與技巧(2)小說《浮木》(6)桌遊-農家樂(25)其他桌上遊戲(37)數學。

(28)閒情雅致。

(111)生活智慧。

(9)體會感受。

(114)旅行嚮往。

(48)歌曲創作。

(28)阿東的N個為什麼?(24)收集(FB動態收錄)(2)未分類文章(5) 最新留言 熱門文章 文章精選 文章精選 2022八月(2) 2022七月(1) 2022五月(3) 2022四月(2) 2022三月(1) 2022二月(2) 2022一月(1) 2021十二月(1) 2021十一月(1) 2021十月(2) 2021九月(1) 2021八月(1) 2021七月(5) 2021六月(1) 2021五月(2) 2021三月(2) 2021二月(2) 2021一月(2) 2020十二月(1) 2020十月(1) 2020九月(4) 2020八月(4) 2020七月(4) 2020五月(1) 2020四月(2) 2020三月(2) 2020二月(1) 2020一月(2) 2019十二月(2) 2019十一月(4) 2019十月(5) 2019九月(6) 2019八月(15) 2019七月(1) 2019六月(2) 2019五月(1) 2019四月(4) 2019二月(1) 2019一月(5) 2018十二月(2) 2018十一月(3) 2018十月(3) 2018九月(3) 2018八月(4) 2018七月(2) 2018六月(2) 2018五月(2) 2018四月(1) 2018三月(1) 2018二月(2) 2018一月(1) 2017十一月(2) 2017十月(1) 2017九月(2) 2017八月(2) 2017七月(1) 2017六月(2) 2017五月(3) 2017四月(2) 2017三月(1) 2017二月(2) 2017一月(1) 2016十二月(1) 2016十一月(2) 2016十月(5) 2016九月(4) 2016八月(1) 2016七月(2) 2016五月(1) 2016三月(1) 2016二月(1) 2016一月(2) 2015十二月(1) 2015十一月(1) 2015十月(2) 2015九月(2) 2015八月(3) 2015七月(3) 2015六月(7) 2015五月(9) 2015四月(6) 2015三月(8) 2015二月(2) 2015一月(1) 2014十二月(3) 2014十一月(1) 2014十月(1) 2014九月(1) 2014七月(4) 2014六月(2) 2014五月(1) 2014三月(1) 2014二月(1) 2013十二月(5) 2013十一月(4) 2013十月(5) 2013九月(4) 2013八月(5) 2013七月(6) 2013六月(2) 2013五月(2) 2013四月(2) 2013三月(2) 2013一月(4) 2012十二月(1) 2012十一月(1) 2012十月(1) 2012八月(2) 2012七月(2) 2012六月(2) 2012五月(4) 2012四月(1) 2012三月(5) 2012二月(6) 2012一月(9) 2011十二月(6) 2011十一月(2) 2011十月(4) 2011九月(7) 2011八月(7) 2011七月(4) 2011六月(7) 2011五月(7) 2011四月(5) 2011三月(5) 2011二月(5) 2011一月(4) 2010十二月(7) 2010十一月(6) 2010十月(5) 2010九月(8) 2010八月(14) 2010七月(12) 2010六月(9) 2010五月(9) 2010四月(11) 2010三月(6) 2010二月(5) 2010一月(5) 2009十二月(7) 2009十一月(2) 2009十月(2) 2009九月(2) 2009八月(2) 2009七月(2) 2009五月(2) 2009四月(1) 2009一月(1) 2008十二月(2) 2008十一月(1) 2008十月(1) 2008九月(2) 2008八月(1) 2008六月(1) 2008五月(4) 2008四月(7) 2008三月(6) 2007十一月(1) 2007六月(3) 2007五月(5) 1999一月(1) 所有文章列表 文章搜尋 參觀人氣 本日人氣: 累積人氣: 回到頁首 回到主文 免費註冊 客服中心 痞客邦首頁 ©2003-2022PIXNET 關閉視窗



請為這篇文章評分?