拋物線,焦弦的兩端點坐標之性質- IV - Math Pro 數學補給站
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拋物線,焦弦的兩端點坐標之性質
weiye
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拋物線,焦弦的兩端點坐標之性質
已知拋物線\(\Gamma:\;y^2=4cx,\,c>0\),且\(F\)為焦點,\(V\)為頂點,\(\overline{AB}\)為一焦弦,
設\(A\left(ct^2,2ct\right)=\left(x_1,y_1\right),\,B\left(ck^2,2ck\right)=\left(x_2,y_2\right)\),其中\(t,k\)為實數,
試證:
1.\[tk=-1.\]
2.\[x_1x_2=c^2 且 y_1y_2=-4c^2.\]
3.\[\overline{AB}=c\left(t-k\right)^2=c\left(t+\frac{1}{t}\right)^2.\]
4.\[\triangleVAB面積=c^2\left|t-k\right|=c^2\left|t+\frac{1}{t}\right|.\]
證明:
1.
由\(F\left(c,0\right),\,A\left(ct^2,2ct\right),\,B\left(ck^2,2ck\right)\)可得
\[\overrightarrow{FA}=(ct^2-c,2ct),\overrightarrow{AB}=(ck^2-ct^2,2ck-2ct)\]
因為\(A,F,B\)三點共線,所以
\[(ct^2-c):2ct=(ck^2-ct^2):(2ck-2ct)\]
同時約掉非零的\(c,(k-t)\),再化簡,即可得
\[tk=-1.\]
2.
\[x_1x_2=ct^2\cdotck^2=c^2(tk)^2=c^2\]
且
\[y_1y_2=(2ct)\cdot(2ck)=4c^2(tk)=-4c^2.\]
3.
\[\overline{AB}=\overline{AF}+\overline{FB}=A到準線的距離+B到準線的距離\]
\[=(x_1+c)+(x_2+c)=(ct^2+c)+(ck^2+c)\]
\[=c\left(t^2+k^2+2\right)=c\left(t^2+k^2-2tk\right)\]
\[=c(t-k)^2=c(t+\frac{1}{t})^2.\]
4.\[\triangleVAB面積=\frac{1}{2}|\left|{\begin{array}{*{20}c}
{\overrightarrow{VA}} \\
{\overrightarrow{VB}} \\
\end{array}}\right||=\frac{1}{2}|\left|{\begin{array}{*{20}c}
{ct^2}&{2ct} \\
{ck^2}&{2ck} \\
\end{array}}\right||\]
\[=c^2\left|tk(t-k)\right|=c^2\left|\left(-1\right)\left(t-k\right)\right|\]
\[=c^2\left|t-k\right|=c^2\left|t+\frac{1}{t}\right|.\]
多喝水。
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