如何因式分解三次多项式 - wikiHow

三次多项式一定能因式分解得出实数解，因为每个三次项都一定有个实根。

三次方多项式如x3 + x + 1含有无理实根，不能被因式分解成含有整数或有理数系数的多项式。

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在本文中： 通过组合来分解 利用自由项 相关文章 参考 这篇文章教你怎么因式分解三次多项式。

我们要学会如何用组合方法和因式分解自由项的方法来解这类问题。

步骤 部分1 部分1的2:通过组合来分解 {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/16\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/16\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 1 把多项式分成两部分。

分组后分开解决。

[1] X 研究来源 比如要分解多项式x3+3x2-6x-18=0。

可以把它分解为(x3+3x2)和(-6x-18) {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cf\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cf\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 2 找出每项中的公因子。

在(x3+3x2)中，x2是公因子。

在(-6x-18)中，-6是公因数。

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 3 把公因子提取出来。

把x2从第一项提出来，得出x2(x+3)。

把-6从第二项提出来，得出-6(x+3)。

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/db\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/db\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 4 这两大项要是含有同样因子，可以直接合并。

[2] X 研究来源 得到(x+3)(x2-6)。

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2c\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2c\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 5 观察根，得出解。

若在开根的时候有x2，记得可能有正负两解。

[3] X 研究来源 得出-3、√6和-√63。

广告 部分2 部分2的2:利用自由项 {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 1 把多项式整理为ax3+bx2+cx+d。

[4] X 研究来源 比如要分解多项式：x3-4x2-7x+10=0。

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/37\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/37\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 2 把所有"d"的因数找出来。

常数"d"是不含如"x"变量的数。

因数就是可以相乘得到另一个数的数。

这里，10或"d"的因数是:1、2、5和10。

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ed\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ed\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 3 找出一个因子，让多项式等于零。

当用d的因数替代"x"时，我们要看看哪个符合方程的解。

试试第一个因数1，把x替换掉，得到(1)3-4(1)2-7(1)+10=0 得到1-4-7+10=0。

因为0=0是真实的，所以x=1是一个解。

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"x=1"等价于"x-1=0"或"(x-1)"。

我们刚刚从每边都减掉了一个1。

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f7\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f7\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":""} 5 把剩余的因数都分解出来。

"(x-1)"是我们的一个根，看看能不能把剩余的解都提出来，一次解决一个多项式。

可不可以把(x-1)从x3提出来？不行，但是可以从第二项借一个-x2，分解为x2(x-1)=x3-x2。

可不可以把(x-1)从剩余部分提出来？不行，要从第三项-7x借一个3x。

于是得到-3x(x-1)=-3x2+3x。

因为-7x中提取出一个3x，第三项变为-10x，而我们的常数是10。

可以分解吗？可以！-10(x-1)=-10x+10。

我们改变了一些变量，让其可以分解出(x-1)。

重新整理的方程是这样的：x3-x2-3x2+3x-10x+10=0，但和原先x3-4x2-7x+10=0没什么差别。

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仔细观察我们在第五步中用(x-1)因式分解出的数字： x2(x-1)-3x(x-1)-10(x-1)=0。

可以重新整理，要再一次分解容易得多:(x-1)(x2-3x-10)=0。

只需要因式分解(x2-3x-10)，得到(x+2)(x-5)。

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可以把每一项都代回去试试看对不对。

(x-1)(x+2)(x-5)=0表示解是1、-2、5。

把-2代入等式：(-2)3-4(-2)2-7(-2)+10=-8-16+14+10=0。

把5代入等式：(5)3-4(5)2-7(5)+10=125-100-35+10=0。

广告 小提示 三次多项式是三个一次多项式的积，或者一个无法分解的二次多项式和一个一次多项式的积。

后面的情况，我们将整个等式除以一次多项式得到二次多项式。

三次多项式一定能因式分解得出实数解，因为每个三次项都一定有个实根。

三次方多项式如x3+x+1含有无理实根，不能被因式分解成含有整数或有理数系数的多项式。

虽然可以用立方方程因式分解，这种方程还是不能分解成一个“整数”多项式。

[5] X 研究来源 广告 相关wikiHows 如何计算三角形面积 如何捐献长发，帮助他人 如何关闭普通的计算器 如何求直角三角形斜边的长度 如何解三次方程 如何画六边形 如何解数独 如何关闭大写锁定 如何计算三角形的周长 如何计算圆的周长 如何使用指南针 如何读尺子上的刻度 如何制造干冰 如何把分数转换成小数 广告 参考 ↑http://web.math.ucsb.edu/~vtkala/2016/S/4B/FactoringCubicPolynomials.pdf ↑https://sciencing.com/solve-cubic-polynomials-2409.html ↑https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-solving.html ↑https://www.dummies.com/education/math/pre-calculus/factoring-four-or-more-terms-by-grouping/ ↑https://kipkis.com/Factor_a_Cubic_Polynomial 关于本wikiHow wikiHow是一个“多人协作写作系统”，因此我们的很多文章都是由多位作者共同创作的。

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