微分與四則運算 - 來自牛頓的寶石----微積分

微分與四則運算. 假設 f 與 g 在 x 的微分都存在，. （i） 則對於任意實數a, b，a f + b g 在x 的微分存在，而且. ( a f + b g)'(x) = a f '(x) + b g'(x). 1 2 3  4 5 6  7 8 9   Contents 微分與四則運算          假設f 與 g 在 x 的微分都存在， （i）    則對於任意實數 a, b，a f+bg 在x 的微分存在，而且 (af+bg)'(x) =af'(x) +bg'(x)  （ii）   則 fg 在 x 的微分存在，而且 (fg)'(x) =f'(x) g(x)+f(x)g'(x)  （iii） 若g'(x)不為0，則在 x 的微分存在，而且 有了上面的法則，許多函數的微分就十分容易計算了。

　 例如：若要知道 h(x)=2x2 +3x 的微分，我們可以考慮f (x)=x2,g(x)=3 x。

這兩個函數的微分分别是 f'(x)= 2x,g'(x) =3（g(x) =3x 就是之前所提過的等速度運動，速率為g'(x) =3）。

由於 h(x) =2x2+3x=(2f+g)(x)=2 f(x)+g(x) 因此， h'(x) =(2f+g)'(x) =2f'(x) +g'(x) =4x+3   又如：若要知道 h(x) =x3 的微分，我們可以考慮 f(x)=x2, g(x)=x。

因為 h(x) =x3=x2x=f(x) g(x)=(fg)(x)， 因此， h'(x) =(fg)'(x) =f'(x) g(x)+f(x)g'(x) =(2x)(x)+(x2)(1)=2x2+ x2=3x2。

如上例，用數學歸納法我們可以證得 若 f(x)=xn，其中 n 為正整數，則f '(x) =nxn-1。

          若f (x)=xp，其中 p 為整數時又如何呢？ 當 p =0時，f (x)=x0=1 為常數，表示無論x 如何變化f (x) 永遠是1，不會增加也不會減少，所以 f'(x) =0。

當 p <0時，只要 ，我們可以將 f(x)=xp 視為兩個函數相除，分子為1，分母為 xq，即 ，其中 q =–p>0。

則利用除法的微分公式，我們可以得到 因此，我們得到 若 f (x)=xp，其中 p 為整數，則f '(x) =pxp-1。

　         函數的微分可以告訴我們函數的變化情形：概括地說，如果在某個區間函數的微分值均為正數，則在該區間函數為遞增（輸入值 x 愈大，輸出值 f(x) 也愈大）；如果在某個區間函數的微分值均為負數，則在該區間函數為遞減（輸入值 x 愈大，輸出值f (x) 愈小）。

若在某個點函數的微分值為零，則表示函數在該點可能有局部的極大或極小值。

  　 例如：f (x)=x2，f '(x) =2x。

當x >0，f '(x) 大於0，這表示f (x)=x2在右半平面會一直遞增。

當x <0，f '(x)小於0，這告訴我們f (x)在左半平面會一直遞減。

當x =0，f '(x)等於0。

讓我們看一看，當x <0時，f (x)一直遞減，也就是隨著x值愈來愈大（愈來愈接近0），f (x)會愈來愈小，所以f (0)比左半平面的任何一個f (x)都小；再看看右半平面，f (x)一直遞增，即x值愈大，f (x)也愈大，所以對於所有大於0的x，f (x)都比f (0)大。

由此可見，f (0)是一個極小值，也是一個最小值。

而微分學的典型應用即是 最大最小問題。

          如果我們從長為30 吋且寬為 16 吋之薄紙板的四個角截去大小相等的正方形，並將各邊向上折疊以做成開口盒子。

若要使盒子的體積為最大，應該如何截去四個角呢？        若 x= 所截去正方形的邊長（以吋計），則我們從每一個角截去邊長為 x 的正方形所做出盒子的體積為(30–2x )(16–2x)x=480x–92x2+4x3（立方公吋）。

因此我們得到一個盒子的體積函數  V(x)=(30–2x )(16–2x)x=480x–92x2+4x3 因上式中的變數 x 代表長度而且紙板的寬為 16 吋，我們不可能截去邊長大於 8 吋的正方形，所以 x 必須滿足。

因此，這個問題便成了求在 [0,8]中的 x 值使得 V(x) 為極大，由於 可知在 [0,8]中使得 V '(x) =0 的 x 只有。

觀察下表： 我們得知當截去邊長為 吋的正方形時，盒子有最大的體積 立方吋。

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