PPT - 工程數學Engineering Mathematics PowerPoint ...
文章推薦指數： 80 %
工程數學Engineering Mathematics. 第二章二階常微分方程式. Ch 2 二階常微分方程式. 45. 歐亞書局. 2-1 線性微分方程式之解2-2 常係數線性微分方程式 ...
Browse
RecentPresentations
ContentTopics
UpdatedContents
FeaturedContents
PowerPointTemplates
Create
Presentation
Survey
Quiz
Lead-form
E-Book
PresentationCreatorCreatestunningpresentationonlineinjust3steps.
ProGetpowerfultoolsformanagingyourcontents.
Login
Upload
OnlinePresentationCreator|
CreateSurvey|
CreateQuiz|
CreateLead-form
Getaccessto1,00,000+PowerPointTemplates(ForSlideServeUsers)-BrowseNow
CreatePresentation
DownloadPresentation
Download
SkipthisVideo
LoadingSlideShowin5Seconds..
工程數學EngineeringMathematicsPowerPointPresentation
DownloadPresentation
工程數學EngineeringMathematics
SharePresentations
EmailPresentationtoFriend
ErrorinEmailAddress...
EmailSentSuccessfully
EmbedCode
Ch2二階常微分方程式46歐亞書局二階線性微分方程式之通解兹假設二階線性微分方程式可表示如下：(1)首先考慮當f(x)=0時的齊性微分方程式，即而若此時有相異兩函數y1(x)與y2(x)滿足以下兩個性質：【性質1】滿足（2.1.2）式，亦即（2.1.3）Ch2二階常微分方程式46歐亞書局【性質2】互為線性獨立（linearlyindependent），其Wronskian行列式滿足 （2.1.4）則y1(x)與y2(x)的線性組合yh(x)，即稱為該齊性微分方程式的通解（generalsolution） （2.1.5）(2)接著考慮f(x)≠0時之非齊性微分方程式 （2.1.6）首先求出其所對應的齊性方程式之解為接著找出任一函數yp(x)，其滿足（2.1.6）式，亦即 （2.1.7）Ch2二階常微分方程式46-47歐亞書局則稱yp(x)為此方程式之特解（particularsolution）。
此時二階非齊性微分方程式之通解即為下式所示： （2.1.8）•降階法求解二階線性微分方程式二階線性微分方程式中，若已知有一齊性解，則其餘的解，可透過降階法（methodofreductionoforder），將微分方程式降為一階而求解之。
兹假設二階線性微分方程式：，且已知齊性解y1(x)令 （2.1.9）則Ch2二階常微分方程式47歐亞書局將y、y’、y’’代回微分方程式，整理後可得（2.1.10）由於乃該微分方程式的齊性解，故可滿足 （2.1.11）因此（2.1.10）式可化簡為 （2.1.12）此乃u’(x)的一階線性微分方程式。
因此在解出u’(x)之後，再予以積分，即可得u(x)，則微分方程式的通解為 （2.1.13）上述即為利用降階法求解二階非齊性微分方程式的流程。
Ch2二階常微分方程式47-48歐亞書局另外若僅考慮f(x)=0的齊性微分方程式，即則（2.1.12）式成為 （2.1.14）此乃u’(x)的一階可分離變數微分方程式，經分離變數後得 （2.1.15）亦即 （2.1.16）積分可得 （2.1.17）Ch2二階常微分方程式48歐亞書局即（2.1.18）再積分可得u(x)（2.1.19）因此齊性微分方程式的通解為（2.1.20）Ch2二階常微分方程式48歐亞書局[範例1]考慮微分方程式y’’+4y=0及兩函數y1(x)=cos(2x)，y2(x)=sin(2x)。
由於因此，y1與y2均為y’’+4y=0之解。
又其Wronskian行列式之計算結果為可知y1與y2確為y’’+4y=0之線性獨立解，故線性微分方程式y’’+4y=0之通解可表示為Ch2二階常微分方程式49歐亞書局[範例2]考慮微分方程式y’’+y’–2y=0與兩函數y1(x)=ex，y2(x)=e–2x。
由於且其Wronskian行列式之計算結果為可知y1與y2確為此線性微分方程式y’’+y’–2y=0之線性獨立解，故其通解可表示為Ch2二階常微分方程式49-50歐亞書局[範例3]考慮微分方程式與兩函數，且x>0。
由於且其Wronskian行列式之計算結果為可知y1與y2確為線性微分方程式，之線性獨立解，故其通解可表示為Ch2二階常微分方程式50歐亞書局[範例4]考慮微分方程式，試說明以及均為其解，且y1與y2互為線性獨立，但它們的線性組合，例如2y1–3y2或者–y1卻都不是該微分方程式之解。
由於因此，y1與y2均是微分方程式之解，且其Wronskian行列式之計算結果為可知y1與y2互為線性獨立。
然而，此處必須說明的是，因為乃一非線性微分方程式，因此，y1與y2任意之線性組合c1y1+c2y2並不保證均為該非線性微分方程式之解。
Ch2二階常微分方程式50-51歐亞書局[範例5]已知微分方程式有一解ex，試求另一線性獨立解及方程式之通解？因已知ex乃微分方程式之ㄧ齊性解，可令且再將y，y’，y’’代回微分方程式，可得予以整理後，可求得積分可求得u(x)故線性微分方程式y’’–2y’+y=0之通解可表示為亦即此方程式之另一個線性獨立解為xex。
Ch2二階常微分方程式51-52歐亞書局[範例6]已知微分方程式有一解x，試求微分方程式之通解。
已知x是微分方程式之一齊性解，可令則將y，y’，y’’代回微分方程式得整理得上式為u’的一階可分離變數微分方程式，其解為亦即Ch2二階常微分方程式51-52歐亞書局積分可得故線性微分方程式之通解可表示為亦即本微分方程式之另一個線性獨立解為e2x。
Ch2二階常微分方程式52-53歐亞書局2-2常係數線性微分方程式之齊性解•常係數線性微分方程式的定義二階常係數線性微分方程式具有以下的型式： （2.2.1）其中係數A與B均為實數常數，換言之，當此類線性微分方程式之係數均為常數時，即稱之為常係數線性微分方程式。
•常係數線性微分方程式之齊性解兹考慮二階常係數線性微分方程式如下：則其所對應之齊性微分方程式為 （2.2.2）求得（2.2.2）式之通解即得（2.2.1）式之原微分方程式之齊性解（homogeneoussolution）。
Ch2二階常微分方程式54歐亞書局再觀察（2.2.2）式，其解y(x)必須滿足其各階導數與常數之乘積和等於零，方能符合此項特性的函數，而可適用之最簡單函數應屬於指數函數，因為指數函數在微分前後只有常數倍數的差別（即eλx與λeλx）。
故可令y=eλx（2.2.3）則y(x)之一、二階導數將分別為y’=λeλx，y”=λ2eλx其中為常數。
再將y，y’，y”代回（2.2.2）式中整理後，可得 （2.2.4）且由於eλx≠0，於是可得 （2.2.5）上述（2.2.5）式即稱為y’’+Ay’+By=0之特徵方程式（characteristicequation），其乃一以λ為根的二次代數方程式，求解該λ值便可得到微分方程式之解eλx。
於是並可推得，特徵方程式（2.2.5）的根為 （2.2.6）Ch2二階常微分方程式54-55歐亞書局(1)特徵方程式具相異實根（A2–4B>0）若此兩相異實根為λ1與λ2，且λ1≠λ2，則以及為線性獨立解（因為此時λ1≠λ2，且其Wronskian行列式之計算結果為，故微分方程式之齊性解可表示如下 （2.2.7）(2)特徵方程式之解為重根（A2–4B=0）若特徵方程式具有兩實數重根λ1=λ2=λ0，則可知必存在有一解y1(x)=，即可利用2-1節所介紹之降階法（參考2-1節的範例5）續推導另一線性獨立解（此時y1與y2之Wronskian行列式之計算結果為），於是微分方程式之齊性解可表示如下 （2.2.8）Ch2二階常微分方程式55歐亞書局(3)特徵方程式具共軛複數根（A2–4B<0）當A2–4B<0時，即表示特徵方程式具有複數根，且彼此成共軛對，亦即，此時兩線性獨立解為以及（其Wronskian行列式之計算結果為），則微分方程式之齊性解可表示如下 （2.2.9）然而，這樣的解是複數函數的型式，因此，一般常利用尤拉公式（Euler’sformula）：，進一步將（2.2.9）式予以整理成實數函數的型式：（2.2.10）其中且。
Ch2二階常微分方程式55-56歐亞書局由以上的推導過程可獲知以下結論：二階常係數線性微分方程式y’’+Ay’+By=0的特徵方程式為x2+Aλ+B=0。
而根據特徵方程式之根之三種可能情況，微分方程式之通解也對應到三種不同型式：(1)當根為兩相異實數λ1、λ2時：微分方程式y’’+Ay’+By=0之通解為(2)當根為兩相等實數λ1=λ2=λ3時：微分方程式y’’+Ay’+By=0之通解為(3)當根為共軛複數λ=ά±jβ時：微分方程式y’’+Ay’+By=0之通解為Ch2二階常微分方程式56歐亞書局[範例1]試求y’’–8y’–48y=x之齊性解。
本式所對應之齊性微分方程式為上式之特徵方程式為求解其根可得故齊性微分方程式的通解為此即原微分方程式之齊性解Ch2二階常微分方程式56歐亞書局[範例2]求解。
此乃一常係數齊性微分方程式，其特徵方程式為求解其根，可得故齊性微分方程式的通解為Ch2二階常微分方程式57歐亞書局[範例3]求解y’’+4y’+29y=0，y(0)=2，y’(0)=1。
此齊性微分方程式之特徵方程式為其根為因此可得齊性微分方程式的通解為且可得其微分後為續將初始條件y(0)=2，y’(0)=1代入y與y’，可求得故微分方程式之解為Ch2二階常微分方程式57歐亞書局[範例4]求解y’’’+y’’+3y’–5y=0。
此乃三階之齊性微分方程式，其特徵方程式為其根為則齊性微分方程式的通解為[範例5]某一線性微分方程式的通為，試求出該微分方程式。
由題意可知，該微分方程式對應於一個三次特徵方程式，且根為故可得其特徵方程式亦即該齊性微分方程式為Ch2二階常微分方程式58歐亞書局2-3待定係數法•待定係數法（methodofundeterminedcoefficients）的原理考慮二階常係數線性微分方程式： （2.3.1）若h(x)≠0，上式為一非齊性微分方程式，且其通解為其中，yh是該方程式之齊性解，yp則為其特解◦Ch2二階常微分方程式60歐亞書局以待定係數法求特解設均為n階多項式（n=0時則為常數），表2-1列出於不同型式之非齊性項f(x)時，應如何對特解的型式作假設。
Ch2二階常微分方程式60-61歐亞書局此外，尚需注意的是，當特解yp的假設項與齊性解yh重複時，應將yp乘上一個修正因子xά作修正，其中α為使得yp與yh沒有重複項的最小正整數（對於二階微分方程式來說，α的可能值為0、1、2）。
利用待定係數法來求解非齊性微分方程式y’’+Ay’+By=f(x)的步驟，可整理如下：(1)求解y’’+Ay’+By=0，得到齊性解yh。
(2)根據f(x)之特性，進行特解yp的型式之假設，而若經假設後之特解yp與yh有重複之處，則反覆將yp乘上x，直到完全沒有重複為止，並在計算y’p與y”p之後，一併將其代回原微分方程式求出待定的係數，以求得特解yp。
(3)故微分方程式的通解即可表示為y=yh+yp。
Ch2二階常微分方程式61歐亞書局[範例1]求解。
其所對應之齊性微分方程式特徵方程式之根為，則齊性解又非齊性項f(x)=x，故假設特解為此時該假設項與齊性解並無重複，且Ch2二階常微分方程式62歐亞書局將yp、y’p以及y”p代回方程式，則比較兩端係數，可得則特解為故微分方程式之通解可表示為Ch2二階常微分方程式62歐亞書局[範例2]求解。
本題對應之齊性微分方程式為其特徵方程式，且根為，故齊性解非齊性項f(x)=2ex，故假設特解但因假設項與齊性解重複，故需將其乘上x作修正，成為Ch2二階常微分方程式63歐亞書局此時修正後之假設項與齊性解並無重複，且可將yp、y’p以及y”p代回方程式，經整理後可得故則特解為亦即微分方程式之通解為Ch2二階常微分方程式63歐亞書局[範例3]求解。
本題所對應之齊性微分方程式為其特徵方程式之根為，亦即齊性解為又根據非齊性項f(x)=13cos(5x)，因此可假設特解之型式為此時假設項與齊性解並無重複，且可得Ch2二階常微分方程式63-64歐亞書局因此將yp、y’p以及y”p代回方程式，整理可得比較兩端係數故特解為本微分方程式之通解為Ch2二階常微分方程式64歐亞書局[範例4]求解。
本題對應之齊性微分方程式為其特徵方程式為，該式具有重根，故齊性解可表示為又根據非齊性項，而可假設特解為但此時假設項仍與齊性解有重複之處，於是可將其乘上x，即為惟此時再觀察其中的Bxe-3x，仍與齊性解重複，於是再乘上x，亦即Ch2二階常微分方程式64-65歐亞書局至此，假設項與齊性解已無重複，故可進行微分至此，假設項與齊性解已無重複，故可進行微分將yp、y’p以及y”p代回方程式，並整理得再經係數之比較，可得因此特解為且微分方程式之通解為Ch2二階常微分方程式65歐亞書局[範例5]求解。
本式所對應之齊性微分方程式為其特徵方程式之根為，且齊性解為又因本題原式之非齊性項，故可假設特解為並確認假設項與齊性解並無重複，於是可求將yp、y’p以及y”p代回方程式，整理得Ch2二階常微分方程式65-66歐亞書局比較兩端係數得可解出則特解為故微分方程式之通解Ch2二階常微分方程式66歐亞書局[範例6]求解。
本題所對應之齊性微分方程式為其特徵方程式之根為，齊性解為令yp1為y’’–2y’=–2之特解，則非齊性項f1(x)=–2，據此假設與齊性解重複，修正為將以上代回整理得又令yp2為之特解則，據此假設Ch2二階常微分方程式67歐亞書局此假設與齊性解無重複，且將yp2、y’p2以及y”p2代回整理比較係數得故微分方程式之通解為Ch2二階常微分方程式67歐亞書局2-4參數變異法•參數變異法的推導考慮二階線性常微分方程式： （2.4.1）此處必須說明的是，當p(x)、q(x)並非常數，或者f(x)是一些比較特殊的函數時（如secx、lnx等），則上節所述之待定係數法就較無法派上用場，而必須利用本節介紹之參數變異法（methodofvariationofparameters）來求解。
就（2.4.1）式而言，假設該式具有齊性解，且y1與y2線性獨立，並滿足（2.4.2）Ch2二階常微分方程式69歐亞書局而參數變異法之目的即在於求得兩函數u(x)與v(x)，以計算得出微分方程式的特解如下： （2.4.3）因此首先於此處進行推導。
若先對（2.4.3）式微分，可得而為了簡化公式的推導，在此附加上一個條件，即令 （2.4.4）於是可簡化得到 （2.4.5）即 （2.4.6）Ch2二階常微分方程式69歐亞書局再將yp、y’p以及y”p代回（2.4.1）式之微分方程式，可得上式可整理成且根據（2.4.2）式之已知恆等式，可知上式兩個中括號之值均為零，故即可化簡為 （2.4.7）再輔以聯立（2.4.4）式與（2.4.7）式，於是形成兩未知函數u’(x)與v’(x)的聯立方程組 （2.4.8）此時求解（2.4.8）式，即可得到Ch2二階常微分方程式69-70歐亞書局以及其中，W(x)即是y1與y2的Wronskian行列式之計算結果，又由於y1與y2互為線性獨立，故W(x)≠0。
接著再分別積分u’(x)及v’(x)，即可求得所要的函數（2.4.9）將u(x)和v(x)代回式（2.4.3）即可求得微分方程式的特解。
至於上式中之積分常數則通常可予以忽略（設為0），此乃因即使分別有積分常數d1及d2，當其被代回求特解時會得到，而此項已被涵括併入齊性解中。
Ch2二階常微分方程式70歐亞書局以參數變異法求特解利用參數變異法來求解微分方程式的步驟整理如下：(1)求解，得到齊性解，並計算其Wronskian行列式之計算結果，即。
(2)接著令其特解，先求出u’(x)及v’(x)，再分別積分後，可得u(x)和v(x)：(3)微分方程式的通解即表示為。
Ch2二階常微分方程式70-71歐亞書局[範例1]求解。
微分方程式之齊性解為y1與y2之Wronskian行列式之計算結果為令特解非齊性項，則Ch2二階常微分方程式71歐亞書局積分後，可得故特解為微分方程式之通解為Ch2二階常微分方程式72歐亞書局[範例2]求解。
本微分方程式之齊性解為計算y1與y2之Wronskian行列式計算結果為令特解為又因非齊性項f(x)=4sec(2x)，因此可計算得出Ch2二階常微分方程式71-73歐亞書局再分別對u’及v’積分得到故特解為本微分方程式之通解為Ch2二階常微分方程式73歐亞書局[範例3]求解。
首先求得齊性解其Wronskian行列式之計算結果為令特解又本題之非齊性項，於是可求得Ch2二階常微分方程式73-74歐亞書局LoadMore...
延伸文章資訊
- 1PPT - 工程數學Engineering Mathematics PowerPoint ...
工程數學Engineering Mathematics. 第二章二階常微分方程式. Ch 2 二階常微分方程式. 45. 歐亞書局. 2-1 線性微分方程式之解2-2 常係數線性微分方程式 ...
- 2工程數學第6章一階微分方程. - ppt download
- 3工程數學講義
工程數學與複變函數講義. 工數PDF檔. 圓周率計算程式 · 第一章(The 1st-order ODE) 第二章(The 2nd-order ODE) · 第三章(Series Solutio...
- 4[問卦] 工程數學算有難度科目嗎
[問卦] 工程數學算有難度科目嗎. 看板 Gossiping. 時間 2020-07-19 08:01:41. 留言 204則留言，118人參與討論. 推噓 85 ( 99推 14噓 91→ )...
- 5「工程數學ppt」懶人包資訊整理 (1) | 蘋果健康咬一口
工程數學ppt資訊懶人包(1)，工程數學--微分方程.授課者：丁建均.DifferentialEquations(DE).教學網頁：http://djj.ee.ntu.edu.tw/DE.htm...
