100 學年度學科能力測驗數學科詳解. 一、單選題. 解： 取出黑球的機率為35 3 5 、取出白球的機率為25 2 5 ，因此期望值為50×35+100×25=30+40=70 50 ...
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2018年4月17日星期二
100年大學學測數學詳解
100學年度學科能力測驗數學科詳解
一、單選題
解：
取出黑球的機率為\(\frac{3}{5}\)、取出白球的機率為\(\frac{2}{5}\)，因此期望值為\(50\times \frac{3}{5}+100\times\frac{2}{5}=30+40=70\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
解：$$4\left(x^{2}+1\right)+{\left(x+1\right)}^{2}\left(x-3\right)+{\left(x-1\right)}^{3}\\=\left(4x^{2}+4\right)+\left(x^{3}-x^{2}-5x-3\right)+\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)\\=2x^{3}-2x=2x(x^{2}-1)=2x\left(x+1\right)\left(x-1\right)$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
解：
$${\left(a_{n+1}\right) }^{2}=\frac{1}{\sqrt{10} }{\left(a_{n}\right) }^{2}\Rightarrow\log{{\left(a_{n+1}\right) }^{2}}=\log{\left(\frac{1}{\sqrt{10} }{\left(a_{n}\right) }^{2}\right) }\\\Rightarrow2\log{\left(a_{n+1}\right) }=-\frac{1}{2}+2\log{\left(a_{n}\right) }\Rightarrow\log{\left(a_{n+1}\right) }-\log{\left(a_{n}\right) }=-\frac{1}{4}\\\Rightarrowb_{n+1}-b_{n}=-\frac{1}{4}\Rightarrow\left為等差數列,公差為-\frac{1}{4} $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
解：
$$\left(\frac{{x}^{2}}{{5}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{4}^{2}} \right)\left(\frac{{x}^{2}}{{3}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{4}^{2}} \right)=0\Rightarrow\left(\frac{{x}^{2}}{{5}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{4}^{2}} \right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4} \right)\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4} \right)=0\\\Rightarrow\left(\frac{{x}^{2}}{{5}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{4}^{2}} \right)=0或4x+3y=0或4x-3y=0$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：$$\left(1\right)\times:\begin{cases}{\log{3^{7}}}=7\log{3}=7\times0.4771\approx3.34\\\log{7^{3}}=3\log{3}=3\times0.8451\approx2.54\end{cases}\Rightarrow3^{7}>7^{3}\\\left(2\right)\times:\begin{cases}{\log{5^{10}}}=10\left(1-\log{2}\right)=10\times0.699\approx7\\\log{10^{5}}=5\end{cases}\Rightarrow5^{10}>10^{5}\\\left(3\right)\times:\begin{cases}{\log{2^{100}}}=10\log{2}=100\times0.301=30.1\\\log{10^{30}}=30\end{cases}\Rightarrow2^{100}>10^{30}\\\left(4\right)\times:\log_{2}{3}=\frac{\log{3}}{\log{2}}=\frac{0.4771}{0.301}\approx1.59\\\left(5\right)\bigcirc:{2}^{3.5}={2}^{3}\times{2}^{0.5}=8\times\sqrt{2}=8\times1.414\approx11.3>11\Rightarrow{2}^{3.5}>11\Rightarrow3.5>\log_{2}{11}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
解：
將死亡率由小至大排列，第31個就是中位數；
超過0.2的死亡率由小至大排列為: 0.2019(25)、0.2034(26)、0.2051(27)、0.2085(28)、0.2123(29)、0.2137(30)、0.2164(31)、0.2166(32)....第31個為0.2164，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
二、多選題
解：
(1)\(\bigcirc:\cos{60^\circ}=(\frac{1}{2},0)=D點\)
(2)\(\times :\cos{50^\circ}+i\sin{50^\circ}=E(a,a)\)在線上，不在內部
(3)\(\bigcirc:\frac{4-3i}{5}=(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}=F點\)
(4)\(\times:\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}=G點\)，不在內部
(5)\(\bigcirc:(\cos{30^\circ}+i\sin{30^\circ})^{25}=(\cos{750^\circ}+i\sin{750^\circ})=(\cos{30^\circ}+i\sin{30^\circ})=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})=H點\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}\)
解：
$$\sin{\theta}=-\frac{2}{3}且\cos{\theta}>0\Rightarrow\cos{\theta}=\frac{\sqrt{5}}{3}\\
(1)\bigcirc:\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{負}{正}<0\\
(2)\bigcirc:\tan^2{\theta}=\left(\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\right)^2=\left(\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}\right)^2=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\frac{4}{5}>\frac{4}{9}\\
(3)\times:\begin{cases}\sin^{2}{\theta}={\left(-\frac{2}{3}\right)}^{2}=\frac{4}{9}\\\cos^{2}{\theta}={\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^{2}=\frac{5}{9}\end{cases}\Rightarrow\cos^{2}{\theta}>\sin^{2}{\theta}\\
(4)\times:\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2\times\frac{-2}{5}\times\frac{\sqrt{5}}{5}<0\\
(5)\times:\cos{2\theta}=2\cos^2{\theta}-1=2\times\frac{5}{9}-1>0\Rightarrow(\sin{\theta},\cos{\theta})=(\sin{2\theta},\cos{2\theta})=(負,正)\\\Rightarrow\theta,2\theta在同象限$$
答：\(b=\bbox[red,2pt]{(1,2)}\)
解：
$$(1)\times:C_1半徑=\frac{1}{2}\times\overline{AB}=\frac{1}{2}\times5=2.5\ne2\\(2)\times:C_1的圓心O_1=\left(\frac{3+0}{2},\frac{0+4}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},2\right)\\(3)\bigcirc:4\times\frac{3}{2}+3\times2=6+6=12\\(4)\bigcirc:C_2的圓心O_2在\angleAOB的角平分線上,即斜率=1的直線上\\(5)\times:理由同(4)$$
故選：\(\bbox[red,2pt]{(3,4)}\)
解：$$(1)\bigcirc:\vec{w}=(a,b)\Rightarrow\begin{cases}\vec{w}\cdot\vec{v}=0\\\left|\vec{w}\right|=\left|\vec{v}\right|\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2a+\sqrt{5}b=0\\a^{2}+b^{2}=9\end{cases}\Rightarrow(a,b)=\begin{cases}(\sqrt{5},-2)\\(-\sqrt{5},2)\end{cases}\\(2){\bigcirc:\left|\vec{v}+\vec{w}\right|}^{2}={\left|\vec{v}\right|}^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w}+{\left|\vec{w}\right|}^{2}={\left|\vec{v}\right|}^{2}-2\vec{v}\cdot\vec{w}+{\left|\vec{w}\right|}^{2}={\left|\vec{v}-\vec{w}\right|}^{2}\\(3)\times:\cos{\theta}=\frac{\left(\vec{v}+\vec{w}\right)\cdot\vec{w}}{\left|\vec{v}+\vec{w}\right|\left|\vec{w}\right|}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}+{\left|\vec{w}\right|}^{2}}{\left|\vec{v}+\vec{w}\right|\left|\vec{w}\right|}=\frac{0+9}{\sqrt{{\left|\vec{v}\right|}^{2}+{\left|\vec{w}\right|}^{2}}\times\left|\vec{w}\right|}\\=\frac{9}{\sqrt{18}\times3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\theta=45°\\(4)\times:{\left|\vec{u}\right|}^{2}={\left|a\vec{v}+b\vec{w}\right|}^{2}=a^{2}|\vec{v}|^{2}+2ab(\vec{v}\cdot\vec{w})+b^{2}|\vec{w}|^{2}=9a^{2}+0+9b^{2}\\\Rightarrow|\vec{u}|=3\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\(5)\bigcirc:(1,0)=c\vec{v}+d\vec{w}\Rightarrow\begin{cases}(1,0)=c(2,\sqrt{5})+d(\sqrt{5},-2)=(2c+\sqrt{5}d,-2d+{\sqrt{5}}c)\\(1,0)=c(2,\sqrt{5})+d(-\sqrt{5},2)=(2c-\sqrt{5}d,2d+{\sqrt{5}}c)\end{cases}\\\Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}2c+\sqrt{5}d=1\\-2d+{\sqrt{5}}c=0\end{cases}\\\begin{cases}2c-\sqrt{5}d=1\\2d+{\sqrt{5}}c=0\end{cases}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(c,d)=\left(\frac{2}{9},\frac{\sqrt{5}}{9}\right)\\(c,d)=\left(\frac{2}{9},\frac{-\sqrt{5}}{9}\right)\end{cases}\Rightarrowc>0$$
故選：\(\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}\)
解：
只有(4)及(5)的圖形將圓C完全包住，故選：\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\)
解：
(1)\(\bigcirc:\)原點與球心(1,2,3)的距離平方為\(1^2+2^2+3^2=14\)
(2)\(\times:\)A與球心的距離平方為\(0+2^2+3^2=13<14\Rightarrow\)A在球內
(3)\(\bigcirc:\)B與球心的距離平方為\(2^2+2^2+3^2=17>14\Rightarrow\)B在球外，球內一點與球外一點的連線與球面有相交
(4)\(\bigcirc:\vec{BA}=(2,0,0)\Rightarrow\)直線AB上的點可表示成(t,0,0)；當t=1時，(t,0,0)至(1,2,3)的距離最小，即A為直線AB上距球心最近的點
(5)\(\times:\)$$\begin{cases}xy平面\capS\\yz平面\capS\\xz平面\capS\end{cases}=\begin{cases}(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(-3)^{2}=14\\(-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=14\\(x-1)^{2}+(-2)^{2}+(z-3)^{2}=14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5\\(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=13\\(x-1)^{2}+(z-3)^{2}=10\end{cases}\\\Rightarrow\begin{cases}半徑為\sqrt{5}的圓\\半徑為\sqrt{13}的圓\\半徑為\sqrt{10}的圓\end{cases}\RightarrowS與yz平面所截的圓面積最大$$故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\)
解：$$\left(1\right)\times{:}f\left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)=正\times負\times正<0\\(2)\times{:}f\left(x\right)=2\Rightarrowx(x-1)(x+1)=2\Rightarrowx^{3}-x-2=0\\若有整數解,其解為x=\pm1,\pm2,但將其代入皆不合\\(3)\bigcirc:令g\left(x\right)=f\left(x\right)-(x^{2}+1)=x^{3}-x^{2}-x-1\Rightarrow\begin{cases}g\left(2\right)=8-4-2-1=1>0\\g\left(1\right)=1-1-1-1=-2<0\end{cases}\\\Rightarrowg\left(x\right)=0有實數解介於1與2之間\\(4)\times:f\left(x\right)=x\Rightarrowx^{{3}}-2x=0\Rightarrowx=0,\pm\sqrt{2}\\(5)\times{:}令g\left(x\right)=f\left(x\right)-2=x^{3}-x-2,則\\g\left(a\right)=0\Rightarrowa^{3}-a-2=0\Rightarrow-a^{3}+a-2=-4\Rightarrowg\left(-a\right)=-4\Rightarrowf\left(-a\right)=-2\neq0$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
第貳部份：選填題
解：$$\left\{\begin{array}{ll}\frac{a}{1-r}=5\\\frac{a}{1-3r}=7\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll}a=\frac{35}{8} \\r=\frac{1}{8} \end{array}\right.\Rightarrow\frac{a}{1-2r}=\frac{\frac{35}{8} }{1-\frac{2}{8} }=\bbox[red,2pt]{\frac{35}{6}}$$
解：
$$\cot{\angleAEB}=\frac{2\sqrt{6} }{5}=\frac{\overline{EB} }{\overline{AB} }\Rightarrow\begin{cases}\overline{EB}=2\sqrt{6}a\\\overline{AB}=5a\end{cases}\Rightarrow{\overline{CE} }^{2}={\overline{EB} }^{2}+{\overline{BC} }^{2}=24{a}^{2}+25{a}^{2}\\\Rightarrow\overline{CE}=\sqrt{24{a}^{2}+25{a}^{2}}=7a\Rightarrow\cot{\angleCED}=\frac{\overline{CE} }{\overline{CD} }=\frac{7a}{5a}=\bbox[red,2pt]{\frac{7}{5}}$$
解：
1男2女+2男1女=\(\frac{C^{20}_{1}C^{15}_{2}+C^{20}_{2}C^{15}_{1}}{C^{35}_{3}}=\frac{2100+2850}{6545}=\frac{4950}{6545}=\frac{990}{1309}=\bbox[red,2pt]{\frac{90}{119}}\)
解：
$$\angleA=\angleC=90^{\circ }\Rightarrow\angleB+\angleD=180^{\circ }\Rightarrow\cos{\angleB}=-\cos{\angleD}\\\Rightarrow\frac{1+25-{\overline{AC} }^{2}}{2\times5\times1}=-\frac{49+25-{\overline{AC} }^{2}}{2\times5\times7}\Rightarrow\frac{26-{\overline{AC} }^{2}}{10}=-\frac{74-{\overline{AC} }^{2}}{70}\\\Rightarrow182-7{\overline{AC} }^{2}=-74+{\overline{AC} }^{2}\Rightarrow256=8{\overline{AC} }^{2}\Rightarrow\overline{AC}=\bbox[red,2pt]{\sqrt{32}}$$
解：
假設目前(A、B、C)的質量分別為(a、b、c)公克，則半年前的質量分別為(2a,3b,4c)公克、一年前的質量分別為(4a,9b,16c)公克；由三種不同時間的輻射強度可得以下聯立方程式:$$\begin{cases}a+2b+c=8\\2a+6b+4c=22\\4a+18b+16c=66\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a+2b+c=8\\a+3b+2c=11\\2a+9b+8c=33\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b+c=3\\5b+6c=17\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=1\\c=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=4\\b=1\\c=2\end{cases}$$
答：A、B、C的質量分別為\(\bbox[red,2pt]{4、1、2}\)公克
解：
E1:焦點在(3,0)及(-3,0)，則\(a^2=b^2+3^2\Rightarrowb^2=a^2-9\)，即\(E_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-9}=1\)
E2:拋物線方程式為\(y^2=12x\)
x=3代入E2，可得交點為(3,6)及(3,-6)；再將兩交點代入E1可得$$\frac{3^{2}}{a^{2}}+\frac{6^{2}}{a^{2}-9}=1\Rightarrow\frac{36}{a^{2}-9}=\frac{a^{2}-9}{a^{2}}\Rightarrowa^{2}-9=6a(\becausea>0,\therefore-6a不合)\\\Rightarrowa=\frac{6+6\sqrt{2} }{2}(\becausea>0,\therefore\frac{6-6\sqrt{2} }{2}不合)=\bbox[red,2pt]{3+3\sqrt{2}}$$另一種方法:E1及E2的交點(3,6)在橢圓上，則交點至兩焦點的和為2a，即\(\overline{(3,6),(3,0)}+\overline{(3,6),(-3,0)}=2a\Rightarrow6+\sqrt{72}=2a\Rightarrowa=3+3\sqrt{2}\)
解：
平面H的法向量\(\vec{u}=(1,-1,1),\vec{OP}=(2,1,1)\)，則L的方向向量\(=\vec{u}\times\vec{OP}=(1,-2,1)\times(2,1,1)=(-2,1,3)=\bbox[red,2pt]{(2,-1,-3)}\)
張貼者：
C.-H.Chu
於
下午4:39
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標籤：
高中數學,
學測
2則留言:
Unknown2020年1月15日晚上9:12不好意思，第六題好像有點小錯誤，中位數應該是第31個資料回覆刪除回覆C.-H.Chu2020年1月16日上午9:50謝謝指正，已修訂!這是考驗眼力的題目........刪除回覆回覆回覆新增留言載入更多…
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