組合數公式 - 中文百科知識

組合數公式是指從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合； ... 基本信息中文名：組合數公式公式：c（n，m）=p（n，m）m！ 組合數公式 組合數公式是指從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做n個不同元素中取出m個元素的組合數。

用符號c(m,n)表示。

基本信息中文名：組合數公式公式：c（n，m）=p（n，m）m！遞推公式：c（n，m）=c（n-1，m-1）套用領域：數學等公式有時候也表示成：組合數公式（在舊版本里，排列數的字母寫作P）組合數公式組合數公式組合數公式組合公式的推導是由排列公式去掉重複的部分而來的，排列公式是建立一個模型，從n個不相同元素中取出m個排成一列（有序），第一個位置可以有n個選擇，第二個位置可以有n-1個選擇（已經有1個放在前一個位置），則同理可知第三個位置可以有n-2個選擇，以此類推第m個位置可以有n-m+1個選擇，則排列數為，而組合公式對應另一個模型,取出m個成為一組（無序）,由於m個元素組成的一組可以有m!種不同的排列（全排列）,組合的總數就是性質組合數公式遞推公式c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)等式左邊表示從m個元素中選取n個元素，而等式右邊表示這一個過程的另一種實現方法：任意選擇m中的某個備選元素為特殊元素，從m中選n個元素可以由此特殊元素的被包含與否分成兩類情況，即n個被選擇元素包含了特殊元素和n個被選擇元素不包含該特殊元素。

前者相當於從m-1個元素中選出n-1個元素的組合，即c(m-1,n-1)；後者相當於從m-1個元素中選出n個元素的組合，即c(m-1,n)。

c(n,0)+c(n,1)+c(n,2)+……+c(n,n)=2的n次方相關運用：（a+b）的n次方的二項式定理的係數，即為此數列；任何集合的子集個數也為用為此數列，而得出為2的n次方個。

算法舉例1、設15000件產品中有1000件次品，從中拿出150件，求得到次品數的期望和方差？2、設某射手對同一目標射擊，直到射中R次為止，記X為使用的射擊次數，已知命中率為P，求E（X）、D（X）。

這兩題都要用到一些技巧。

我先列出幾個重要公式，證明過程中提供變換技巧，然後把這兩個題目作為例題。

先定義一個符號，用S（K=1，N）F（K）表示函式F（K）從K=1到K=N求和。

公式1：C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）公式1證明：方法1、可直接利用組合數的公式證明。

方法2、（更重要的思路）。

從M個元素中任意指定一個元素。

則選出N個的方法中，包含這一個元素的有C（M-1，N-1）種組合，不包含這一個元素的有C（M-1，N）種組合。

因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）公式2：S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）（M》=N）證明：C（M，N）是從M個物品中任選N個的方法。

從M個物品中任意指定M-N個，並按次序編號為第1到第M-N號，而其餘的還有N個。

則選出N個的方法可分類為：包含1號的有C（M-1，N-1）種；不包含1號，但包含2號的有C（M-2，N-1）種；。

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不包含1到M-K號，但包含M-K+1號的有C（K-1，N-1）種。

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不包含1到M-N-1號，但包含M-N號的有C（N，N-1）種不包含1到M-N號的有C（N，N）種，而C（N，N）=C（N-1，N-1）由於兩種思路都是從M個物品中任選N個的方法，因此S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）公式3：S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）（P，Q）=N）證明：一批產品包含P件正品和Q件次品，則從這批產品中任選N件的選法為C（P+Q，N）。

而公式裡面的K表示選法中正品數量，C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件產品中有K件正品，N-K件次品的選法。

K從0到N變化時，就包含了所有不同正品、次品數的組合。

因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）公式4（一種變換技巧）：S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）證明：S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=1，N）K*C（M，K）=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）公式5（公式4的同種）S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）證明：（類似上式）S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）公式4用於求數學期望，公式4、公式5結合起來可用於求方差。

例1、設15000件產品中有1000件次品，從中拿出150件，求得到次品數的期望和方差？解：（本題利用公式3、4、5）有K件次品的機率為：P（K）=C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）E（X）=S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，149）1000*C（999，K）*（14000，149-K）/C（15000，150）=1000*C（14999，149）/C（15000，150）=10D（X）=S（K=0，150）（K-10）*（K-10）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，150）（K*K-K-19*K+100）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，150）K*（K-1）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）-19*S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，148）1000*999*C（998，K）*C（14000，148-K）/C（15000，150）-19*S（K=0，149）*1000*C（999，K）*C（14000，149-K）/C（15000，150）+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=1000*999*C（14998，148）/C（15000，150）-19*1000*C（14999，149）/C（15000，150）+100=138600/14999=9.240616041此題推廣形式為：設M件產品中有P件次品，從中拿出N件（N《=P），求得到次品數的期望和方差？E（X）=P*N/MD（X）=P*（P-1）*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（1-2*P*N/M）*P*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（P*N/M）^2例2、設某射手對同一目標射擊，直到射中R次為止，記X為使用的射擊次數，已知命中率為P，求E（X）、D（X）。

解：射中R次，使用的射擊次數為K次(K>=R)，則前K-1次射中R-1次，第K次射中了，機率為：P（K）=C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)(以下暫時用W表示無窮大）射中R次，使用的射擊次數可為R次、R+1次...W次因此S（K=R，W）P（K）=1（這是機率的特點）即：S（K=R，W）C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=1以上證明的式子是另一個公式，即無論P，R是什麼數都成立，以下將套用這一公式。

E（X）=S（K=R，W）K*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）K*（K-1）！/（R-1）！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）R*K！/R！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）R*C（K，R）*P^R*(1-P)^(K-R)=R/P*S（K=R，W）C（K，R）*P^（R+1）*(1-P)^(K-R)令K1=K+1，R1=R+1，則E（X）=R/P*S（K1=R1，W）C（K1-1，R1-1）*P^R1*(1-P)^(K1-R1)利用以上公式得E（X）=P/RD（X）=S（K=R，W）（K-R/P）^2*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）（K*K-2*K*R/P+R*R/P/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）[K*（K+1）-（K+2*K*R/P）+R*R/P/P]*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）[K*（K+1）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)-S（K=R，W）（K+2*K*R/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)+S（K=R，W）R*R/P/P*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=（推導過程同求E（X），略）=R（R+1）/P/P-（2*R+P）*R/P/P+R*R/P/P=（1-P）*R/P/P相關詞條 合數公式 就是一些能夠產生合數的公式，可以用來展示所有合數的產生過程。

定義   性質   套用 組合數 從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫... 定義   計算公式   性質 Excel2010函式與公式 《Excel2010函式與公式》是2010年12月1日電子工業出版社出版的圖書，作者是陳國良、榮勝軍、黃朝陽。

內容提要   前  言   目  錄 素數普遍公式 2000多年前歐幾里德在證明素數無窮多時就埋下了尋求素數普遍公式的伏筆素數普遍公式，以布勞維爾為首的直覺主義學派認為：“你沒有給出第n個素數是如何構造的... 一、引言   二、素數普遍公式   三、素數的個數   四、公式的用途 超級公式計算器 最早稱為公式計算器，另外還有一個在此計算器基礎上開發的《設計計算器》，與一般的計算器或《公式計算器》不同，此計算器可以編輯並計算帶變數（即未知數，... 主要特點   功能特點   套用情況   使用方法 Excel2007函式與公式速查手冊 圖書信息作　者：Excel研究組編著出版社...實現“零時間”掌握Excel公式和函式使用技巧，書中提供有353個函式...2007公式與函式的寶典，凡是學習、使用Excel解決實際問題的用戶都是... 圖書信息   宣傳語   內容簡介   前言   目錄 我要學EXCEL公式與函式 《我要學EXCEL公式與函式》主要分為11章，內容主要包括：函式的基礎知識、數學與三角函式、統計函式、邏輯函式、查找與引用函式、日期與時間函式、文本函式... 版權資訊   編輯推薦   目錄 無師自通Excel2003公式、函式與圖表套用 《無師自通Excel2003公式、函式與圖表套用》是“無師自通”叢書之一，針對初學者的需求，從零開始，系統、全面地講解了Excel2003公式、函式與圖... 內容簡介   編輯推薦   目錄 相關搜尋求和組合數公式拋物線點球公式排列組合理論人性公式謝才公式等差數列數學冪函式海倫公式伯努利定理體積公式三角函式公式普朗克公式因式分解熱門詞條howeveriRobotRoomba780二階堂人字拖偵探社八仙海岸外出大買家大鵬灣座敷童子支付寶收視率調查檔案型病毒殭屍病毒燕京種子盆栽英雄聯盟職業聯賽草蝦董潔處男誠實地想你間諜明月陳慧琳零售業BEGdeclareSOL一樣的月光九星霸體訣南宋姚貝娜室內設計軟體廖盈婷手機吊飾撒奇萊雅族最後一片葉子最美人妖Rose歐盟睡眠障礙膽固醇花美男拉麵店西山希金澤金鑽夜市52pk侯寬仁平面設計圖投資報酬率傑夫·格林樊玲視頻網魅力組合數公式@百科知識中文網