乘積法則- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

關於組合數學的計數原理，請見「乘法原理」。

乘積法則（英語：Product rule），也稱積定則、萊布尼茲法則，是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計算法則。

乘積法則 用来计算两个或以上函数的积的导数的方法 語言 監視 編輯   關於組合數學的計數原理，請見「乘法原理」。

乘積法則（英語：Productrule），也稱積定則、萊布尼茲法則，是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計算法則。

若已知兩個可導函數 f , g {\displaystylef,g} 及其導數 f ′ , g ′ {\displaystylef',g'} ，則它們的積 f g {\displaystylefg} 的導數為： ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle(fg)'=f'g+fg'\,} 這個法則可衍生出積分的分部積分法。

目次 1萊布尼茲的發現 2例子 3證明一：利用面積 4證明二：使用對數 5證明三：使用導數的定義 6推廣 7應用 8參見 萊布尼茲的發現編輯 人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲，以下是他的論述：設u(x)和v(x)為x的兩個可導函數。

那麼，uv的微分是： d ( u ⋅ v ) = ( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) − u ⋅ v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v . {\displaystyle{\begin{aligned}d(u\cdotv)&{}=(u+du)\cdot(v+dv)-u\cdotv\\&{}=u\cdotdv+v\cdotdu+du\cdotdv.\end{aligned}}}  由於du·dv的可忽略性（法語：Négligeabilité），因此有： d ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u + u ⋅ d v {\displaystyled(u\cdotv)=v\cdotdu+u\cdotdv\,}  兩邊除以dx，便得： d d x ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u d x + u ⋅ d v d x {\displaystyle{\frac{d}{dx}}(u\cdotv)=v\cdot{\frac{du}{dx}}+u\cdot{\frac{dv}{dx}}}  若用拉格朗日符號來表達，則等式記為 ( u ⋅ v ) ′ = v ⋅ u ′ + u ⋅ v ′ . {\displaystyle(u\cdotv)'=v\cdotu'+u\cdotv'.\,}  例子編輯 假設我們要求出f(x)=x2sin(x)的導數。

利用乘積法則，可得f'(x)=2xsin(x)+x2cos(x)（這是因為x2的導數是2x，sin(x)的導數是cos(x)）。

乘積法則的一個特例，是「常數因子法則」，也就是：如果c是實數，f(x)是可微函數，那麼cf(x)也是可微的，其導數為(c×f)'(x)=c×f'(x)。

乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。

證明一：利用面積編輯 假設 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , {\displaystyleh(x)=f(x)g(x),\,}  且f和g在x點可導。

那麼： h ′ ( x ) = lim w → x h ( w ) − h ( x ) w − x = lim w → x f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) w − x . ( 1 ) {\displaystyleh'(x)=\lim_{w\tox}{h(w)-h(x)\overw-x}=\lim_{w\tox}{f(w)g(w)-f(x)g(x)\overw-x}.\qquad\qquad(1)}  現在，以下的差 f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) ( 2 ) {\displaystylef(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad\qquad(2)}  是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

  這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為： f ( w ) ( g ( w ) − g ( x ) ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) ) . ( 3 ) {\displaystylef(w){\Bigg(}g(w)-g(x){\Bigg)}+g(w){\Bigg(}f(w)-f(x){\Bigg)}.\qquad\qquad(3)}  因此，(1)的表達式等於： lim w → x ( f ( w ) ( g ( w ) − g ( x ) w − x ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) w − x ) ) . ( 4 ) {\displaystyle\lim_{w\tox}\left(f(w)\left({g(w)-g(x)\overw-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x)\overw-x}\right)\right).\qquad\qquad(4)}  如果(5)式中的四個極限都存在，則(4)的表達式等於： ( lim w → x f ( w ) ) ( lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x ) + ( lim w → x g ( w ) ) ( lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x ) . ( 5 ) {\displaystyle\left(\lim_{w\tox}f(w)\right)\left(\lim_{w\tox}{g(w)-g(x)\overw-x}\right)+\left(\lim_{w\tox}g(w)\right)\left(\lim_{w\tox}{f(w)-f(x)\overw-x}\right).\qquad\qquad(5)}  現在： lim w → x f ( w ) = f ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}f(w)=f(x)\,}  因為當w→x時，f(x)不變； lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x = g ′ ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}{g(w)-g(x)\overw-x}=g'(x)}  因為g在x點可導； lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x = f ′ ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}{f(w)-f(x)\overw-x}=f'(x)}  因為f在x點可導；以及 lim w → x g ( w ) = g ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}g(w)=g(x)\,}  因為g在x點連續（可導的函數一定連續）。

現在可以得出結論，(5)的表達式等於： f ( x ) g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) . {\displaystylef(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}  證明二：使用對數編輯 設f=uv，並假設u和v是正數。

那麼： ln ⁡ f = ln ⁡ u + ln ⁡ v . {\displaystyle\lnf=\lnu+\lnv.\,}  兩邊求導，得： 1 f d d x f = 1 u d d x u + 1 v d d x v {\displaystyle{1\overf}{d\overdx}f={1\overu}{d\overdx}u+{1\overv}{d\overdx}v}  把等式的左邊乘以f，右邊乘以uv，即得： d d x f = v d d x u + u d d x v . {\displaystyle{d\overdx}f=v{d\overdx}u+u{d\overdx}v.}  證明三：使用導數的定義編輯 設 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , {\displaystyleh(x)=f(x)g(x),\,}   且f和g在x點可導。

那麼： h ′ ( x ) = lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x {\displaystyleh'(x)=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{h(x+\Delta{x})-h(x)}{\Delta{x}}}=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}}}   = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) + f ( x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x {\displaystyle=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x+\Delta{x})+f(x)g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}}}   = lim Δ x → 0 [ f ( x + Δ x ) − f ( x ) ] ⋅ g ( x + Δ x ) + f ( x ) ⋅ [ g ( x + Δ x ) − g ( x ) ] Δ x {\displaystyle=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{[f(x+\Delta{x})-f(x)]\cdotg(x+\Delta{x})+f(x)\cdot[g(x+\Delta{x})-g(x)]}{\Delta{x}}}}   = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) + lim Δ x → 0 f ( x ) ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x {\displaystyle=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}}\cdot\lim_{\Delta{x}\to0}g(x+\Delta{x})+\lim_{\Delta{x}\to0}f(x)\cdot\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{g(x+\Delta{x})-g(x)}{\Delta{x}}}}   = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}  .推廣編輯 若有 n {\displaystylen}  個函數 f 1 , f 2 , . . . , f n {\displaystylef_{1},f_{2},...,f_{n}}  ，則： ( ∏ k = 1 n f k ) ′ = ∑ k = 1 n ( f k ′ ⋅ ∏ j = 1 j ≠ k n f j ) {\displaystyle\left({\prod_{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime}=\sum_{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot\prod_{j=1\atopj\neqk}^{n}{f_{j}}}\right)}}  （萊布尼茲法則）若 f , g {\displaystylef,g}  均為可導 n {\displaystylen}  次的函數，則 f g {\displaystylefg}  的 n {\displaystylen}  次導數為： ( f ⋅ g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( k ) g ( n − k ) {\displaystyle(f\cdotg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choosek}f^{(k)}g^{(n-k)}}  其中 ( n k ) {\displaystyle{n\choosek}}  是二項式係數。

應用編輯 乘積法則的一個應用是證明以下公式： d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle{d\overdx}x^{n}=nx^{n-1}}  其中n是一個正整數（該公式即使當n不是正整數時也是成立的，但證明需要用到其它方法）。

我們用數學歸納法來證明這個公式。

如果n=1， d d x x 1 = lim h → 0 ( x + h ) − x h = 1 = 1 x 1 − 1 {\displaystyle{\frac{d}{dx}}x^{1}=\lim_{h\to0}{\frac{(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}}   假設公式對於某個特定的k成立，那麼對於k + 1，我們有： d d x x k + 1 = d d x ( x k ⋅ x ) = x d d x x k + x k d d x x = x ( k x k − 1 ) + x k ⋅ 1 = ( k + 1 ) x k . {\displaystyle{\begin{aligned}{d\overdx}x^{k+1}&{}={d\overdx}\left(x^{k}\cdotx\right)\\\\&{}=x{d\overdx}x^{k}+x^{k}{d\overdx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}}  因此公式對於k + 1也成立。

參見編輯 除法定則 倒數定則 鏈式法則 分部積分法 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=乘积法则&oldid=68974115」