巴特沃斯濾波器- 維基百科，自由的百科全書

注意到斜率是20n dB/decade，其中n 為濾波器階數。

n 階巴特沃斯低通濾波器的增益 G ... 巴特沃斯濾波器 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 巴特沃斯濾波器是一種通頻帶（英語：passband）之頻率響應曲線平坦無漣波的訊號處理濾波器（英語：Filter(signalprocessing)）。

它也被稱作最大平坦濾波器。

這種濾波器最先由英國工程師、物理學家斯替芬·巴特沃斯（英語：StephenButterworth）在1930年發表的論文《濾波器放大器理論研究》中提出的。

[1] 目次 1巴特沃斯濾波器的特性 2傳遞函數 2.1根據衰減度求濾波器的階數 2.2幅度最平坦的濾波器 2.3高頻衰減 3實例 4歸一化的巴特沃斯多項式 5與其他類型濾波器的比較 6參見 7參考文獻 巴特沃斯濾波器的特性[編輯] 一階巴特沃斯低通濾波器的鮑圖 巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶（英語：passband）內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有漣波，而在阻頻帶則逐漸下降為零。

[2] 在對數鮑圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而線性減少至負無窮。

一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6dB，每十倍頻20dB（所有一階低通濾波器具有相同的歸一化頻率響應）。

[來源請求]二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12dB、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18dB、如此類推。

巴特沃斯濾波器的振幅是ω的一個單調函數，並且也是唯一的無論階數，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。

只不過濾波器階數越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。

其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數的振幅對角頻率有不同的形狀。

傳遞函數[編輯] 一階至五階巴特沃斯低通濾波器增益圖，截止頻率 ω 0 = 1 {\displaystyle\omega_{0}=1} 。

注意到斜率是20ndB/decade，其中n為濾波器階數。

n階巴特沃斯低通濾波器的增益 G ( ω ) {\displaystyleG(\omega)} 為： G 2 ( ω ) = | H ( j ω ) | 2 = G 0 2 1 + ( ω ω c ) 2 n {\displaystyleG^{2}(\omega)=\left|H(j\omega)\right|^{2}={\frac{{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac{\omega}{\omega_{c}}}\right)^{2n}}}} 其中, n=濾波器的階數 ωc=截止頻率=功率下降為-3分貝時的頻率 G 0 {\displaystyleG_{0}} 是直流增益（零頻率增益） 可以看出隨著n趨近於無窮，增益變為一個矩形函數，頻率低於ωc的會以 G 0 {\displaystyleG_{0}} 的增益通過，而頻率高於ωc的就會被抑制。

對於較小的n值，截止就會變得不十分尖銳。

我們希望能夠（通過拉普拉斯變換）確定傳遞函數H(s)，其中 s = σ + j ω {\displaystyles=\sigma+j\omega} 。

根據 | H ( s ) | 2 = H ( s ) H ( s ) ¯ {\displaystyle\left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline{H(s)}}} ，及拉普拉斯變換在虛軸 s = j ω {\displaystyles=j\omega} 上的性質 H ( − j ω ) = H ( j ω ) ¯ {\displaystyleH(-j\omega)={\overline{H(j\omega)}}} ，若選取H(s)滿足： H ( s ) H ( − s ) = G 0 2 1 + ( − s 2 ω c 2 ) n , {\displaystyleH(s)H(-s)={\frac{{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac{-s^{2}}{\omega_{c}^{2}}}\right)^{n}}},} 則對於虛數輸入 s = j ω {\displaystyles=j\omega} ，我們就有了巴特沃斯濾波器的頻率響應。

上述表達式的n個極點等距離地分布在半徑為ωc的圓上，並關於虛軸對稱。

為了具有穩定性，傳遞函數H(s)要選擇只包含s負實半平面的極點。

第k個極點為 − s k 2 ω c 2 = ( − 1 ) 1 n = e j ( 2 k − 1 ) π n k = 1 , 2 , 3 , … , n {\displaystyle-{\frac{s_{k}^{2}}{\omega_{c}^{2}}}=(-1)^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}}\qquadk=1,2,3,\ldots,n} 因此， s k = ω c e j ( 2 k + n − 1 ) π 2 n k = 1 , 2 , 3 , … , n . {\displaystyles_{k}=\omega_{c}e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquadk=1,2,3,\ldots,n.} n階巴特沃斯低通濾波器的振幅和頻率關係可用如下的公式表示： G n ( ω ) = | H n ( j ω ) | = 1 1 + ( ω / ω c ) 2 n {\displaystyleG_{n}(\omega)=\left|H_{n}(j\omega)\right|={1\over{\sqrt{1+(\omega/\omega_{\mathrm{c}})^{2n}}}}} 其中： G表示濾波器的放大率， H表示傳遞函數， j是虛數單位， n表示濾波器的級數， ω是訊號的角頻率，以弧度/秒為單位， ω c {\displaystyle\omega_{\mathrm{c}}} 是振幅下降3分貝時的截止頻率。

令截止頻率 ω c = 1 {\displaystyle\omega_{\mathrm{c}}=1} ),將上列公式規定一化成為： G n ( ω ) = | H n ( j ω ) | = 1 1 + ω 2 n {\displaystyleG_{n}(\omega)=\left|H_{n}(j\omega)\right|={1\over{\sqrt{1+\omega^{2n}}}}} 根據衰減度求濾波器的階數[編輯] 令1/A= G n ( ω ) {\displaystyleG_{n}(\omega)} n = l o g 10 ( A 2 − 1 ) 2 l o g 10 ( ω ) {\displaystylen={\frac{log_{10}(A^{2}-1)}{2log_{10}(\omega)}}} 例：在 ( ω ) = 2 {\displaystyle(\omega)=2} 時 G n ( ω ) {\displaystyleG_{n}(\omega)} =0.005 A=200,n=7.6,取大一號整數，即需要8階巴特沃斯濾波器。

二階巴特沃斯低通濾波器的鮑圖 振幅最平坦的濾波器[編輯] g的頭(2n-1)次導數在ω=0時為零，說明放大率對ω是常數。

因此巴特沃斯濾波器又被稱為最平坦的濾波器。

高頻衰減[編輯] | H ( j ω ) | 2 d B = 40 n l o g 10 ω {\displaystyle{{\left|H(j\omega)\right|^{2}}_{dB}}={40n}{log_{10}{\omega}}} 因此，n階巴特沃斯低通濾波器的高頻衰減為每十倍頻20n分貝。

實例[編輯] k階巴特沃斯濾波器的考爾第一型電子線路圖如下:其中： 電容 C k = 2 s i n [ ( 2 k − 1 ) 2 n π ] {\displaystyleC_{k}=2sin\left[{\frac{(2k-1)}{2n}}\pi\right]} ;k=奇數 電感 L k = 2 s i n [ ( 2 k − 1 ) 2 n π ] {\displaystyleL_{k}=2sin\left[{\frac{(2k-1)}{2n}}\pi\right]} ;k=偶數 歸一化的巴特沃斯多項式[編輯] n 多項式因子 B n ( s ) {\displaystyleB_{n}(s)} 1 ( s + 1 ) {\displaystyle(s+1)} 2 s 2 + 1.414 s + 1 {\displaystyles^{2}+1.414s+1} 3 ( s + 1 ) ( s 2 + s + 1 ) {\displaystyle(s+1)(s^{2}+s+1)} 4 ( s 2 + 0.7654 s + 1 ) ( s 2 + 1.8478 s + 1 ) {\displaystyle(s^{2}+0.7654s+1)(s^{2}+1.8478s+1)} 5 ( s + 1 ) ( s 2 + 0.6180 s + 1 ) ( s 2 + 1.6180 s + 1 ) {\displaystyle(s+1)(s^{2}+0.6180s+1)(s^{2}+1.6180s+1)} 6 ( s 2 + 0.5176 s + 1 ) ( s 2 + 1.414 s + 1 ) ( s 2 + 1.9318 s + 1 ) {\displaystyle(s^{2}+0.5176s+1)(s^{2}+1.414s+1)(s^{2}+1.9318s+1)} 7 ( s + 1 ) ( s 2 + 0.4450 s + 1 ) ( s 2 + 1.247 s + 1 ) ( s 2 + 1.8022 s + 1 ) {\displaystyle(s+1)(s^{2}+0.4450s+1)(s^{2}+1.247s+1)(s^{2}+1.8022s+1)} 8 ( s 2 + 0.3986 s + 1 ) ( s 2 + 1.111 s + 1 ) ( s 2 + 1.6630 s + 1 ) ( s 2 + 1.9622 s + 1 ) {\displaystyle(s^{2}+0.3986s+1)(s^{2}+1.111s+1)(s^{2}+1.6630s+1)(s^{2}+1.9622s+1)} 與其他類型濾波器的比較[編輯] 下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階I型切比雪夫濾波器（右上）、II型切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數濾波器（右下）的頻率響應圖。

由圖可見，巴特沃斯濾波器的衰減速度比其他類型濾波器緩慢，但十分平坦，沒有振幅變化。

參見[編輯] 貝塞耳濾波器 切比雪夫濾波器 梳狀濾波器 橢圓函數濾波器 參考文獻[編輯] ^InWirelessEngineer(alsocalledExperimentalWirelessandtheWirelessEngineer),vol.7,1930,pp.536–541-"OntheTheoryofFilterAmplifiers"-S.Butterworth（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） ^ GiovanniBianchiandRobertoSorrentino.Electronicfiltersimulation&design.McGraw-HillProfessional.2007:17–20.ISBN 978-0-07-149467-0.  Matthaei,GeorgeL.;Young,LeoandJones,E.M.T.,MicrowaveFilters,Impedance-MatchingNetworks,andCouplingStructures,McGraw-Hill,1964LCCN 64-7937. 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=巴特沃斯滤波器&oldid=69815981」 分類：​電子學線性濾波器隱藏分類：​自2022年1月有未列明來源語句的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةCatalàDeutschEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraFrançaisItaliano日本語NederlandsPolskiPortuguêsРусскийСрпски/srpskiSvenskaTürkçeУкраїнська 編輯連結