一阶低通滤波（LPF）的原理及应用（以APM/PX4飞控为例）

一阶低通滤波器（Low Pass Filter，LPF），顾名思义就是当输入信号的频率在LPF设定的频率（截止频率）以内时，该信号可以通过（无衰减），而当该信号的频率高于该频率 ... 首发于控制理论及应用实践无障碍写文章登录/注册引言对实际的控制系统而言，采集到的原始信号往往是有噪声的，而噪声往往会对系统的稳定性能产生隐患；或为了提取有用的控制信号，滤除不必要的频域成分，数字滤波技术必不可少，其中最常用的便是一阶低通滤波(LPF)算法。

一阶低通滤波器（LowPassFilter，LPF），顾名思义就是当输入信号的频率在LPF设定的频率（截止频率）以内时，该信号可以通过（无衰减），而当该信号的频率高于该频率时，则会产生衰减。

也就是说，LPF算法可滤除（filter-out）不需要的高频信号，从而保证系统有效的频率成分。

为使大家通过该篇能对LPF以及信号处理技术的应用有一个更为深刻的理解，我将从如下5个方面来说明。

————————————————————————一阶低通滤波器的定义；一阶低通滤波器的数字实现；仿真实例分析；应用实例分析—以APM和PX4飞控两个实例来说明；具体应用中应考虑的问题————————————————————————一、一阶低通滤波器的定义ALowPassFilterisacircuitthatcanbedesignedtomodify,reshapeorrejectallunwantedhighfrequenciesofanelectricalsignalandacceptorpassonlythosesignalswantedbythecircuitsdesigner.对于一阶低通滤波而言，从控制模型上分析就是一个一阶惯性环节，其描述形式如式所示。

H(s)=\frac{1}{\frac{s}{w_c}+1}，w_c=2\pi*f_c，其中f_c为LPF的截止频率。

(1)Figure1给出了一阶低通滤波器在截止频率f_c=20Hz，即H(s)=\frac{1}{\frac{s}{2\pi*20}+1}的Bode图。

由该图可知，当信号的输入频率f>(f_c=20Hz)时，其信号的幅值Mag<0dB，即表示信号将会出现衰减，以此达到滤波的目的。

Fig.1一阶低通滤波Bode图二、一阶低通滤波器的数字实现学过电路的都知道，RC电路便可组成一个一阶低通滤波电路(如Figure2所示)。

Figure.2一阶低通滤波原理图由电路原理的基本知识可知该一阶RC低通滤波电路的输入输出关系（传递函数）为：H(jw)=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{\frac{1}{jwc}}{R+\frac{1}{jwc}}=\frac{1}{jwRC+1}---(2)令s=jw，则一阶RC低通滤波在S域的传递函数如式(3)所示。

将其与式(1)对比可知，有RC=\frac{1}{2\pi*f_c}，即可知LPF的截止频率f_c=\frac{1}{2\pi*RC}。

当我们知道信号的有用频率段，即截止频率f_c已知时，可设计RC的值。

H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{RCs+1}，s=jw(3)为设计数字化滤波器，我们还需对上述连续系统进行离散化处理（z变换）。

由以前的知识可知，z变换有许多不同的形式，对于LPF而言，主要采用一阶后向差分法，其数学表达式如式(4)所示：s=\frac{1-z^{-1}}{T_s}，其中T_s表示采样周期。

(4)结合式(3)(4)，可知LPF的数字化表达式为：H(z)=\frac{V_{out}(z)}{V_{in}(z)}=\frac{1}{RC\frac{1-z^{-1}}{T_s}+1}=\frac{T_s}{RC(1-z^{-1})+T_s}(5)变换后可知：V_{in}(z)=(1+\frac{RC}{T_s})V_{out}(z)-\frac{RC}{T}V_{out}(z)z^{-1}(6)继续转化差分方程，则有：V_{in}(n)=(1+\frac{RC}{T_s})V_{out}(n)-\frac{RC}{T_s}V_{out}(n-1)(7)最终我们可知其LPF的差分表达式如下所示：V_{out}(n)=V_{out}(n-1)+\frac{T_s}{T_s+RC}(V_{in}(n)-V_{out}(n-1))(8)令滤波系数\alpha=\frac{T_s}{T_s+RC}，且\alpha\in[0,1]，则LPF的差分表达式可改写为：V_{out}(n)=V_{out}(n-1)+\alpha(V_{in}-V_{out}(n-1))(9)对式(9)进行重写，最后可知一阶低通滤波模型为：V_{out}(n)=(1-\alpha)V_{out}(n-1)+\alpha*V_{in}(10)对此，LPF完整的数学分析已经完成。

在实际应用中，已知采样周期，根据实际的系统设计合适的截止频率f_c，即对采集的信号V_{in}(n)进行滤波。

三、仿真实例分析虽然通过前面的分析，知道了LPF数学模型的由来，但实际应用中如何滤波，怎么应用可能不够直观。

为使大家有一个更为深刻的理解，特以一个实例来说明。

设一个信号的时域表达式如下所示，即有三个频率成分：f_1=2Hz，f_2=30Hz，f_3=40Hz叠加而成，其幅值分别为A_1=2，A_2=5，A_3=10，令采样周期为T_s=0.01s。

y(t)=2*sin(2\pi*2*t)+5*sin(2\pi*30*t)+10*sin(2\pi*40*t)为此，设计一截止频率f_c=10Hz的低通滤波器，由前面的分析可知，该低通滤波器的滤波为：\alpha=\frac{T_s}{T_s+RC}=\frac{T_s}{T_s+1/(2*\pi*f_c)}=0.3859令滤波后的输出为yc(t)，由式（10）即可求得滤波后的输出yc(t)。

图3为滤波前后时域输出图，从该图虽然能直观看出信号有所衰减，但不够直观，而通过对比滤波前后频域输出图（Fig4）可知，能非常直观地看出频率f_1=2Hz的信号幅值没有变化，而频率为f_2=30Hz，f_3=40Hz的信号出现了衰减，即当信号的频率大于所设定的截止频率f_c=10Hz时，信号便会出现衰减。

Fig.3滤波前后时域输出对比Fig.4滤波前后频域输出对比四、应用实例分析LPF的应用场合很多，相信通过前面的分析，对于其原理与应用应该有了进一步的了解。

下面给出无人机飞控中的代码实例，以便能对其他项目的应用有所参考与借鉴。

通过第二部分的分析，相信不难理解其中的实现原理及过程。

4.1APM飞控LPF实例分析APM开源飞控代码中一阶低通数字滤波器的实现如下所示，详细代码参见LowPassFilter.cpp文件。

相信根据上述的分析，不难理解该功能的具体实现。

@input：sample(当前的采样值)V_in(n)cutoff_freq(截止频率)dt(采样周期) @output：_output(V_out(n)) template TDigitalLPF::apply(constT&sample,floatcutoff_freq,floatdt){ if(cutoff_freq<=0.0f||dt<=0.0f){ _output=sample; return_output; } floatrc=1.0f/(M_2PI*cutoff_freq); alpha=constrain_float(dt/(dt+rc),0.0f,1.0f); _output+=(sample-_output)*alpha; return_output; } 4.2PX4飞控LPF实例分析PX4开源飞控中LPF的具体实现文件为：.\Firmware\src\lib\controllib\BlockLowPass.cpp，给出实现代码，以便参考。

floatBlockLowPass::update(floatinput) { if(!PX4_ISFINITE(getState())){ setState(input); } floatb=2*float(M_PI)*getFCut()*getDt(); floata=b/(1+b); setState(a*input+(1-a)*getState()); returngetState(); }五、具体应用中应考虑的问题（1）相位滞后问题：一阶低通滤波器虽然能有效滤掉高频成分，但它会产生一定的滞后效应。

如Figure1所示，虽然在截止频率f_c=20Hz处，其幅值为0dB，但相位大致为-9^{o}，也就是相较于原来的系统，该频段的输入信号皆产生了延时。

（2）截止频率的选择：对实际的控制系统而言，以APM为例，将滤波器的截止频率一般等于系统的带宽。

而系统的带宽怎么确定呢，最粗暴的办法就是根据实际的经验有fc=f_s/(4\sim10)，其中f_s为信号的采样频率，这一部分可参见其飞控代码中LPF的接口调用。

六、仿真实例中的代码Ts=0.01; Fs=1/Ts; t=[0:0.01:0.99]; f1=2; f2=30; f3=40; y1=2*sin(2*pi*f1*t); y2=5*sin(2*pi*f2*t); y3=10*sin(2*pi*f3*t); y=y1+y2+y3; fc=10; b=2*pi*fc*Ts; a=b/(1+b) a1=Ts/(Ts+1/(2*pi*fc)) L=length(t); yc=zeros(L); yc(1)=y(1); forj=2:L yc(j)=a*y(j)+(1-a)*y(j-1); end f=Fs*(0:(L/2))/L; Y=fft(y); P2=abs(Y/L); P1=P2(1:L/2+1); P1(2:end-1)=2*P1(2:end-1); YC=fft(yc); P4=abs(YC/L); P3=P4(1:L/2+1); P3(2:end-1)=2*P3(2:end-1); figure(1) plot(t,y,t,yc); figure(2) plot(f,P1,f,P3);编辑于2019-02-2617:35自动控制数字信号处理无人机（UAV）​赞同216​​23条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录控制理论及应用实践