[閒聊]工學院的PDE跟數學系的PDE有甚麼差? - 尼斯的靈魂

大學的課程中，工學院的跟數學系的偏微分方程課(簡稱PDE)主要的內容差別並 ... 在解PDE時，很多時候我們都是透過構造某種泛函之後，利用泛函的特質， ... 跳至內容區 大學的課程中，工學院的跟數學系的偏微分方程課(簡稱PDE)主要的內容差別並不大。

但在講課的細節上，可能會有顯著的差異，而這差異也會因著授課老師而異。

大學程度的的PDE主要還是教怎麼解。

從分類PDE開始，利用特徵法解一些PDE，接著主要討論三種不同類型的偏微分方程: (1)橢圓方程(elliptic):拉普拉斯方程(Laplaceequation)如。

(2)拋物方程(parabolic):熱方程(heatequation)，如。

(3)雙曲方程(hyperbolic):波方程(waveequation)，如。

在台灣，大學部就開PDE課的數學系其實不多，通常都只開導論課而已。

而數學系中導論課的主要內容講的跟工學院的不太一樣。

但因為數學系的學生的分析基礎比較多，內容就會著重在就證明積分與和的收斂性上。

通常上述幾類的PDE的解主要以級數和或積分為主。

要驗證所得到的級數是方程的解，就必須要證明積分(級數和)與微分是可以互換。

通常非數學系的科系的PDE課程教學中，並不太管積分的斂散性，直接把所得的東西微分之後去驗證它們是微分方程的解了。

舉例來說，解上的熱方程，我們可以得到一個形式解(形式的意思是說不討論其收斂與否): 對數學系的學生必須要學會證明這個和是收斂的並且微分與和是可以互換的。

工學院的學生是直接算 而通常數學系的學生也必須考慮希望研究的解的空間為何。

例如說考慮Poisson方程  (*) 其中而為一個有界的開集合。

我們就必須考慮方程是在哪個空間被解。

於是我們很自然的引入了Sobolev空間的概念:在上我們引進範數 這個空間完備化之後得到的空間記為稱為一個Sobolev空間，同時它也是一個Hilbert空間。

同理我們考慮對於的完備化之後我們得到了。

當時，我們得到的是。

我們把Poisson方程看成是以下的線性代數問題:考慮線性算子 是否可逆?於是利用引入Sobolev空間，我們把解線性偏微分方程的問題看成是解線性代數的問題。

例如我們可以取拉普拉斯算子，令。

那麼是一個線性算子，而拉普拉斯方程可以看成是解 而熱傳導方程可以看成以下的ODE: 而它的解我們記為稱為熱核。

通常熱核可以表示為積分算子的形態 在解PDE時，很多時候我們都是透過構造某種泛函之後，利用泛函的特質，得到PDE的弱解。

舉例來說，我們考慮Poisson方程，來談談甚麼是空間的弱解。

我們記(對偶空間)。

我們說是(*)的弱解的充要條件是 定理:對任意的(*)的弱解恆存在。

證明:Poincare不等式說:存在常數使得對任意的而言所以我們考慮的新的內積: 利用Poincare 不等式可知這個內積等價於上原本的內積。

如果則利用Rieze 表示定理可知存在唯一的使得 於是我們發現唯一表示的向量是Poisson方程(*)的弱解。

如果能夠得知這方程的解具有高程度以上的光滑性值弱解就是古典意義下的解。

通常橢圓方程的解都具有這種特質。

舉例來說，如果是拉普拉斯方程的弱解:則利用Weylregularity定理可知。

所以在古典意義下成立。

在PDE理論中，有一些相當重要的嵌入定理通稱為Sobolev嵌入定理。

這些嵌入定理主要是一些不等式所描述。

主要是為了處理方程的解的光滑性而來。

為了處理函數空間上得不等式，我們就必須使用實分析。

所以要學好PDE是必須要具備一定程度的分析學知識才有辦法。

雖然我講得很短，但是其實這些內容相當豐富，無法在一篇短文內就講完所有的東西。

而我講這篇主要是為了回應網友的問題，稍微的介紹了一下數學系中PDE學的一些基本精神。

而工學院的精神是:找到解之後，其它的都不管了XD Sharethis:TwitterFacebook請按讚：喜歡正在載入... 相關 發表迴響取消回覆 在此輸入你的回應… Pleaseloginusingoneofthesemethodstopostyourcomment: 電子郵件（電子郵件地址不會公開） 名稱 個人網站 您的留言將使用WordPress.com帳號。

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