PART 6：指數函數之微分(04:08)

結論：以歐拉數 e 為底的指數函數稱為"自然指數函數" ，其導函數為自己本身，即{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} ， {e^x} 讀exponential function，也可以寫 ... 課程單元 課程簡介 教學大綱 製作團隊 關鍵詞彙 意見反映 首頁> 課程單元 課程簡介 教學大綱 製作團隊 關鍵詞彙 > 01單元基礎數學 02單元極限 03單元連續性 04單元漸近線 05單元導函數 06單元指數與對數 07單元指數與對數的微分 08單元微分技巧延伸 09單元三角函數(一) 10單元三角函數(二) 11單元三角函數的微分 12單元相對極大與極小 13單元絕對極值 14單元近似值 15單元相關變率 16單元羅必達法則 17單元不定積分 18單元不定積分的其他技巧 > 7.1單元介紹 7.2引發學習動機 7.3主題十：指數與對數的微分 7.4精熟學習 7.5課後作業 7.6結語 7.7補充教材 7.8友善下載 7.9延伸閱讀 7.10參考文獻 > PART01：複利(07:20) PART02：歐拉數的展開(03:33) PART03：歐拉數收歛於2～3之間 PART04：單調數列收斂定理(02:06) PART05：歐拉數為無理數(06:24) PART06：指數函數之微分(04:08) PART07：自然對數(03:06) PART08：對數函數的微分(03:04) PART09：指數函數的微分 PART10：指數與對數微分公式彙整 PART11：例題-乘法微分公式與連鎖律 PART12：例題-連鎖律 PART13：例題-切線方程式 PART14：例題-指數的指數 PART15：例題-非多項式也非指數 PART16：雙曲函數定義 PART17：雙曲函數的基本數性質 PART18：雙曲函數的微分性質 PART19：雙曲函數的圖形 QUIZ01：指數函數的微分 QUIZ02：切線方程式 QUIZ03：指數函數之圖形 QUIZ04：指數函數的漸近線 QUIZ05：對數函數的微分   PART6：指數函數之微分(04:08) 假設\(f(x)={a^x}\;\;(a>0,\;a\ne1)\;\)，我們想知道導函數\(f'(x)=?\;\) 要知道\(f'(x)=?\;\)就當然要從導函數的定義開始 \(f'(x)= \lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{{f(x+\Deltax)-f(x)}}{{\Deltax}}\;\) \(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{{{a^{x+\Deltax}}-{a^x}}}{{\Deltax}}\;\) \(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{{{a^x}({a^{\Deltax}}-1)}}{{\Deltax}}\;\) \(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{{({a^{\Deltax}}-1)}}{{\Deltax}}\;\)， 觀察計算結果可以發現\({\left({{a^x}}\right)^\prime}={a^x}\cdotK\;\)，\(K=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{{({a^{\Deltax}}-1)}}{{\Deltax}}\)， 也就是指數函數的導函數=自己本身乘\(K\)， 這個結果讓我們想要研究怎樣的\(a\)可以造成，\(K=1\)呢? 現在先把極限放在一邊，我們希望\(\frac{{({a^{\Deltax}}-1)}}{{\Deltax}}=1\)\(\Rightarrow({a^{\Deltax}}-1)=\Deltax\)\(\Rightarrow{a^{\Deltax}}=1+\Deltax\)， 將\(a\)解出，得到\(a={\left({1+\Deltax}\right)^{\frac{1}{{\Deltax}}}}\)，令\(\frac{1}{{\Deltax}}=n\)， 當\(\Deltax\to0\)時相當於\(n\to\infty\) \(a=\lim\limits_{\Deltax\to0}{\left({1+\Deltax}\right)^{\frac{1}{{\Deltax}}}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\left({1+\frac{1}{n}}\right)^n}=e\) 結論：以歐拉數 \(e\)為底的指數函數稱為"自然指數函數"，其導函數為自己本身，即\({\left({{e^x}}\right)^\prime}={e^x}\)， \({e^x}\)讀exponentialfunction，也可以寫為\(\exp(x)\) 微積分一calculusI由CUSTCourses李柏堅製作，以創用CC姓名標示-非商業性-禁止改作3.0台灣授權條款釋出