微分- 维基百科，自由的百科全书

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。

微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的 ... 微分 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 系列條目微积分学 函数 极限论 微分学 积分 微積分基本定理 微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基础概念（含极限论和级数论） 實數性質 函数 ·单调性 ·初等函数 ·數列 ·极限 ·实数的构造（1=0.999…） ·无穷大（衔尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定义（英语：(ε,δ)-definitionoflimit） ·实无穷（英语：Actualinfinity） ·大O符号 ·上确界 ·收敛数列 ·芝诺悖论 ·柯西序列 ·单调收敛定理 ·夹挤定理 ·波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理 ·斯托尔兹－切萨罗定理 ·上极限和下极限 ·函數極限 ·渐近线 ·邻域 ·连续 ·連續函數 ·间断点 ·狄利克雷函数 ·稠密集 ·一致连续 ·紧集 ·海涅－博雷尔定理 ·支撑集 ·欧几里得空间 ·内积 ·外积 ·混合积 ·拉格朗日恒等式 ·等价范数 ·坐标系 ·多元函数 ·凸集 ·压缩映射原理 ·级数 ·收敛级数（英语：convergentseries） ·几何级数 ·调和级数 ·项测试 ·格兰迪级数 ·收敛半径 ·审敛法 ·柯西乘积 ·黎曼级数重排定理 ·函数项级数（英语：functionseries） ·一致收敛 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的线性（英语：linearityofdifferentiation） ·导数（流数法 ·二阶导数 ·光滑函数 ·高阶微分 ·莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation） ·幽灵似的消失量） ·介值定理 ·微分中值定理（罗尔定理 ·拉格朗日中值定理 ·柯西中值定理） ·泰勒公式 ·求导法则（乘法定则 ·广义莱布尼茨定则（英语：GeneralLeibnizrule） ·除法定则 ·倒数定则 ·链式法则） ·洛必达法则 ·反函数及其微分 ·FaàdiBruno公式（英语：FaàdiBruno'sformula） ·对数微分法 ·导数列表 ·导数的函数应用（单调性 ·切线 ·极值 ·驻点 ·拐点 ·求导检测（英语：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲线的曲率 ·埃尔米特插值） ·达布定理 ·魏尔斯特拉斯函数 一元积分 积分表 定义 不定积分 定积分 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 积分的线性 求积分的技巧（换元积分法 ·三角换元法 ·分部积分法 ·部分分式积分法 ·降次积分法）微元法 ·积分第一中值定理 ·积分第二中值定理 ·牛顿-莱布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函数 ·Γ函数 ·古德曼函数 ·椭圆积分） ·数值积分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森积分法 ·牛顿-寇次公式） ·积分判别法 ·傅里叶级数（狄利克雷定理 ·周期延拓） ·魏尔斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦尔定理 ·刘维尔定理 多元微积分 偏导数 ·隐函数 ·全微分（微分的形式不变性） ·二阶导数的对称性 ·全导数 ·方向導數 ·标量场 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘数 ·海森矩阵 ·鞍点 ·多重积分（逐次积分（英语：iteratedintegral） ·积分顺序（英语：Orderofintegration(calculus)）） ·积分估值定理 ·旋转体 ·帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小号 ·雅可比矩阵 ·广义多重积分（高斯积分） ·若尔当曲线 ·曲线积分 ·曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若尔当测度 ·隐函数定理 ·皮亚诺-希尔伯特曲线 ·积分变换 ·卷积定理 ·积分符号内取微分(莱布尼茨积分定则（英语：Leibnizintegralrule）) ·多变量原函数的存在性（全微分方程） ·外微分的映射原像存在性（恰当形式） ·向量值函数 ·向量空间内的导数推广（英语：generalizationsofthederivative）（加托导数 ·弗雷歇导数（英语：Fréchetderivative） ·矩阵的微积分（英语：matrixcalculus）） ·弱导数 微分方程 常微分方程 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亚诺存在性定理 ·分离变数法 ·级数展开法 ·积分因子 ·拉普拉斯算子 ·欧拉方法 ·柯西-欧拉方程 ·伯努利微分方程 ·克莱罗方程 ·全微分方程 ·线性微分方程 ·叠加原理 ·特征方程 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程 ·拉普拉斯变换法 ·偏微分方程（拉普拉斯方程 ·泊松方程） ·施图姆-刘维尔理论 ·N体问题 ·积分方程 相关数学家 牛顿 ·莱布尼兹 ·柯西 ·魏尔斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·欧拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴罗 ·波尔查诺 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若尔当 ·达布 ·傅里叶 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·约翰·伯努利 ·阿达马 ·麦克劳林 ·迪尼 ·沃利斯 ·费马 ·达朗贝尔 ·黑维塞 ·吉布斯 ·奥斯特罗格拉德斯基 ·刘维尔 ·棣莫弗 ·格雷果里 ·玛达瓦（英语：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦罗第二 ·阿涅西 ·阿基米德 历史名作 从无穷小量分析来理解曲线（英语：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析学教程（英语：Coursd'Analyse） ·无穷小分析引论 ·用无穷级数做数学分析（英语：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微积分（英语：CalculusonManifolds(book)） ·微积分学教程 ·纯数学教程（英语：ACourseofPureMathematics） ·机械原理方法论（英语：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支学科 实变函数论 ·复变函数论 ·傅里叶分析 ·变分法 ·特殊函数 ·动力系统 ·微分几何 ·微分代数 ·向量分析 ·分数微积分 ·玛里亚温微积分（英语：Malliavincalculus） ·随机分析 ·最优化 ·非标准分析 查论编   提示：此条目的主题不是微分学。

函数的微分（英語：Differentialofafunction）是指对函数的局部变化的一种线性描述。

微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由y是x的函數(y=f(x))。

從簡單的x-y座標系來看，自變數x有微小的變化量時(d/dx)，應變數y也會跟著變動，但x跟y的變化量都是極小的。

當x有極小的變化量時，我們稱對x微分。

微分主要用於線性函數的改變量，這是微积分的基本概念之一。

当某些函数 f {\displaystyle\textstylef} 的自变量 x {\displaystyle\textstylex} 有一个微小的改变 h {\displaystyle\textstyleh} 时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量 h {\displaystyle\textstyleh} ，可以表示成 h {\displaystyle\textstyleh} 和一个与 h {\displaystyle\textstyleh} 无关，只与函数 f {\displaystyle\textstylef} 及 x {\displaystyle\textstylex} 有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在 h {\displaystyle\textstyleh} 上的值。

另一部分是比 h {\displaystyle\textstyleh} 更高阶的无穷小，也就是说除以 h {\displaystyle\textstyleh} 后仍然会趋于零。

当改变量 h {\displaystyle\textstyleh} 很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在 x {\displaystyle\textstylex} 处的微分，记作 f ′ ( x ) h {\displaystyle\displaystylef'(x)h} 或 d f x ( h ) {\displaystyle\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}(h)} 。

如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。

若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量 h {\displaystyle\textstyleh} 映射到变化量的线性部分的线性映射 d f x {\displaystyle\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 。

这个映射也被称为切映射。

给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

目录 1一元微分 1.1定义 1.2和导数的关系 1.3几何意义 1.4例子 1.5微分法则 1.6极值 2多元函数微分 2.1定义 2.2性质 2.3例子 3微分与微分形式 4参见 5参考来源 一元微分[编辑] 定义[编辑] 函数在一点的微分。

其中红线部分是微分量 d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} ，而 d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} 加上灰线部分后是实际的改变量 Δ y {\displaystyle\Deltay} 设函数 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} 在某区间 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 内有定义。

对于 I {\displaystyle{\mathcal{I}}} 内一点 x 0 {\displaystylex_{0}} ，当 x 0 {\displaystylex_{0}} 变动到附近的 x 0 + Δ x {\displaystylex_{0}+\Deltax} （也在此区间内）时，如果函数的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle\Deltay=f(x_{0}+\Deltax)-f(x_{0})} 可表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) {\displaystyle\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)} （其中 A {\displaystyleA} 是不依赖于 Δ x {\displaystyle\Deltax} 的常数），而 o ( Δ x ) {\displaystyleo(\Deltax)} 是比 Δ x {\displaystyle\Deltax} 高阶的无穷小，那么称函数 f ( x ) {\displaystylef(x)} 在点 x 0 {\displaystylex_{0}} 是可微的，且 A Δ x {\displaystyleA\Deltax} 称作函数在点 x 0 {\displaystylex_{0}} 相应于自变量增量 Δ x {\displaystyle\Deltax} 的微分，记作 d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} ，即 d y = A Δ x {\displaystyle{\textrm{d}}y=A\Deltax} ， d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} 是 Δ y {\displaystyle\Deltay} 的线性主部。

[1]:141 通常把自变量 x {\displaystylex} 的增量 Δ x {\displaystyle\Deltax} 称为自变量的微分，记作 d x {\displaystyle{\textrm{d}}x} ，即 d x = Δ x {\displaystyle{\textrm{d}}x=\Deltax} 。

和导数的关系[编辑] 微分和导数是两个不同的概念。

但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念[1]:141。

可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 d x {\displaystyle{\textrm{d}}x} ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。

因此，导数也叫做微商。

于是函数 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} 的微分又可记作 d y = f ′ ( x ) d x {\displaystyle{\textrm{d}}y=f'(x){\textrm{d}}x} [2]。

几何意义[编辑] 设 Δ x {\displaystyle\Deltax} 是曲线 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} 上的点 P {\displaystyleP} 在横坐标上的增量， Δ y {\displaystyle\Deltay} 是曲线在点 P {\displaystyleP} 对应 Δ x {\displaystyle\Deltax} 在纵坐标上的增量， d y {\displaystyle{\textrm{d}}y} 是曲线在点 P {\displaystyleP} 的切线对应 Δ x {\displaystyle\Deltax} 在纵坐标上的增量。

当 | Δ x | {\displaystyle\left|\Deltax\right|} 很小时， | Δ y − d y | {\displaystyle\left|\Deltay-{\textrm{d}}y\right|} 比 | Δ x | {\displaystyle\left|\Deltax\right|} 要小得多(高阶无穷小)，因此在点 P {\displaystyleP} 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子[编辑] 设有函数 f : x ↦ x 2 {\displaystylef:x\mapstox^{2}} ，考虑它从某一点 x {\displaystylex} 变到 x + d x {\displaystylex+{\textrm{d}}x} 。

这时，函数的改变量 f ( x + d x ) − f ( x ) {\displaystylef(x+{\textrm{d}}x)-f(x)} 等于： f ( x + d x ) − f ( x ) = ( x + d x ) 2 − x 2 {\displaystylef(x+{\textrm{d}}x)-f(x)=(x+{\textrm{d}}x)^{2}-x^{2}} = 2 x ⋅ d x + ( d x ) 2 = A d x + o ( d x ) {\displaystyle=2x\cdot{\textrm{d}}x+({\textrm{d}}x)^{2}=A{\textrm{d}}x+o({\textrm{d}}x)} 其中的线性主部： A d x = 2 x d x {\displaystyleAdx=2xdx} ，高阶无穷小是 o ( d x ) = ( d x ) 2 {\displaystyleo({\textrm{d}}x)=({\textrm{d}}x)^{2}} 。

因此函数 f {\displaystyle\textstylef} 在点 x {\displaystyle\textstylex} 处的微分是 d y = 2 x d x {\displaystyle{\textrm{d}}y=2x{\textrm{d}}x} 。

函数的微分与自变量的微分之商 d y d x = 2 x = f ′ ( x ) {\displaystyle{\frac{{\textrm{d}}y}{{\textrm{d}}x}}=2x=f^{\prime}(x)} ，等于函数的导数。

d y d x = d ( a x n ) d x {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\frac{\mathrm{d}(ax^{n})}{\mathrm{d}x}}} ，尤其 y = a x n {\displaystyley=ax^{n}} = n a x ( n − 1 ) {\displaystyle=nax^{(n-1)}} 以下有一例子： 當方程式為 y = 2 x 2 {\displaystyley=2x^{2}} 時，就會有以下的微分過程。

d y d x {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}} = d 2 x 2 d x {\displaystyle={\frac{\mathrm{d}2x^{2}}{\mathrm{d}x}}} = 2 ⋅ 2 x ( 2 − 1 ) {\displaystyle=2\cdot2x^{(2-1)}} = 4 x {\displaystyle=4x} 微分法则[编辑] 和求导一样，微分有类似的法则。

例如，如果设函数 u {\displaystyleu} 、 v {\displaystylev} 可微，那么： d ( a u + b v ) = d a u + d b v = a d u + b d v {\displaystyled(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv} d ( u v ) = u d v + v d u {\displaystyled(uv)=udv+vdu} d ( u v ) = v d u − u d v v 2 {\displaystyled\left({\frac{u}{v}}\right)={\frac{vdu-udv}{v^{2}}}} 若函数 y ( u ) {\displaystyley(u)} 可导，那么 d [ y ( u ) ] = y ′ ( u ) d u {\displaystyled[y(u)]=y'(u)du} [1]:139 极值[编辑] 主条目：极值 多元函数微分[编辑] 主条目：全微分 当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定义[编辑] 设 f {\displaystylef} 是从欧几里得空间Rn（或者任意一个内积空间）中的一个开集 Ω {\displaystyle\Omega} 射到Rm的一个函数。

对于 Ω {\displaystyle\Omega} 中的一点 x {\displaystylex} 及其在 Ω {\displaystyle\Omega} 中的邻域 Λ {\displaystyle\Lambda} 中的点 x + h {\displaystylex+h} 。

如果存在线性映射 A {\displaystyleA} 使得对任意这样的 x + h {\displaystylex+h} , lim h → 0 ( | f ( x + h ) − f ( x ) − A ( h ) | | h | ) = 0 {\displaystyle\lim_{h\to0}\left({\frac{|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0} 那么称函数 f {\displaystylef} 在点 x {\displaystylex} 处可微。

线性映射 A {\displaystyleA} 叫做 f {\displaystylef} 在点 x {\displaystylex} 处的微分，记作 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 。

如果 f {\displaystylef} 在点 x {\displaystylex} 处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。

为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点 x {\displaystylex} 都有微分 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 时，可以考虑将 x {\displaystylex} 映射到 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 的函数： d f : x ↦ d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f:x\mapsto{\textrm{d}}f_{x}} 这个函数一般称为微分函数[3]。

性质[编辑] 如果 f {\displaystylef} 是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。

在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画： 设 f {\displaystylef} 是从Rn射到Rm的函数， f = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f m ) {\displaystylef=(f_{1},f_{2},\cdots,f_{m})} ，那么： d f x = J f ( x ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{n}}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{n}}}\end{bmatrix}}} 。

具体来说，对于一个改变量： h = ( h 1 , h 2 , … , h n ) = ∑ i = 1 n h i e i {\displaystyleh=(h_{1},h_{2},\ldots,h_{n})=\sum_{i=1}^{n}h_{i}e_{i}} ，微分值： d f x ( h ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] ( h 1 ⋮ h n ) = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n ∂ f i ∂ x j h j ) e i {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{1}}{\partialx_{n}}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{1}}}&\cdots&{\frac{\partialf_{m}}{\partialx_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots\\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{\partialf_{i}}{\partialx_{j}}}h_{j}\right)e_{i}} 可微的必要条件：如果函数 f {\displaystylef} 在一点 x 0 {\displaystylex_{0}} 处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素 ∂ f i ∂ x j ( x 0 ) {\displaystyle{\frac{\partialf_{i}}{\partialx_{j}}}(x_{0})} 都存在，但反之不真[4]:76。

可微的充分条件：如果函数 f {\displaystylef} 在一点 x 0 {\displaystylex_{0}} 的雅克比矩阵的每一个元素 ∂ f i ∂ x j ( x 0 ) {\displaystyle{\frac{\partialf_{i}}{\partialx_{j}}}(x_{0})} 都在 x 0 {\displaystylex_{0}} 连续，那么函数在这点处可微，但反之不真[4]:77。

例子[编辑] 函数 f : ( x , y ) ↦ ( x 2 + y 2 , ( 1 − x 2 − y 2 ) x − y , x − ( 1 − x 2 − y 2 ) y ) {\displaystylef:(x,y)\mapsto\left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)} 是一个从 R 2 {\displaystyle\mathbb{R}^{2}} 射到 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}} 的函数。

它在某一点 ( x , y ) {\displaystyle(x,y)} 的雅可比矩阵为： J f ( x , y ) = [ 2 x 2 y 1 − 3 x 2 − y 2 − 2 x y − 1 1 + 2 x y − 1 + x 2 + 3 y 2 ] {\displaystyleJ_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}} 微分为： d f ( x , y ) : h ↦ J f ( x , y ) ( h ) {\displaystyle{\textrm{d}}f_{(x,y)}:h\mapstoJ_{f}(x,y)(h)} ，也就是： d f ( x , y ) : h = ( h 1 h 2 ) ↦ [ 2 x 2 y 1 − 3 x 2 − y 2 − 2 x y − 1 1 + 2 x y − 1 + x 2 + 3 y 2 ] ( h 1 h 2 ) = ( 2 x h 1 + 2 y h 2 ( 1 − 3 x 2 − y 2 ) h 1 − ( 2 x y + 1 ) h 2 ( 1 + 2 x y ) h 1 − ( 1 − x 2 − 3 y 2 ) h 2 ) {\displaystyle{\textrm{d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto{\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}} 微分与微分形式[编辑] 主条目：微分形式 如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。

微分函数对每个点 x {\displaystylex} 给出一个近似描述函数性质的线性映射 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} ，而微分形式对区域 D {\displaystyle\mathbf{D}} 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式： ω ( x ) : T D x ⟶ R {\displaystyle\omega(x):\mathbf{TD}_{x}\longrightarrow\mathbb{R}} 。

在坐标记法下，可以写成： ω ( x ) = ∑ 1 ≤ i 1 ≤ ⋯ ≤ i k ≤ n a i 1 ⋯ i k ( x ) d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle\omega(x)=\sum_{1\leqi_{1}\leq\cdots\leqi_{k}\leqn}a_{i_{1}\cdotsi_{k}}(x){\textrm{d}}x^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge{\textrm{d}}x^{i_{k}}} 其中的 d x i {\displaystyle{\textrm{d}}x^{i}} 是 i {\displaystylei} -射影算子，也就是说将一个向量 v {\displaystylev} 射到它的第 i {\displaystylei} 个分量 v i {\displaystylev^{i}} 的映射。

而 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle{\textrm{d}}x^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge{\textrm{d}}x^{i_{k}}} 是满足： d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ( v 1 , ⋯ v k ) = | v 1 i 1 ⋯ v 1 i k ⋮ ⋱ ⋮ v k i 1 ⋯ v k i k | {\displaystyle{\textrm{d}}x^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge{\textrm{d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdotsv_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots&v_{1}^{i_{k}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\v_{k}^{i_{1}}&\cdots&v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}} 的k-形式。

特别地，当 f {\displaystylef} 是一个从Rn射到R的函数时，可以将 d f x {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}} 写作： d f x = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( x ) d x i {\displaystyle{\textrm{d}}f_{x}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partialf}{\partialx_{i}}}(x){\textrm{d}}x^{i}} 正是上面公式的一个特例[5]。

参见[编辑] 微分学 微积分 导数 积分 偏导数 外微分 泰勒公式 参考来源[编辑] ^1.01.11.2欧阳光中姚允龙周渊编.《数学分析（上册）》.复旦大学出版社.2003.ISBN 7309035704.  ^梁子杰.「可微」還是「可導」？(PDF).數學教育. [永久失效連結] ^微分函数.逢甲大学网路教学实验室.[2009-12-24].（原始内容存档于2010-05-07）.  ^4.04.1徐森林,薛春华.《数学分析(第二册)》.清华大学出版社.2005.ISBN 978-7-302-13141-0.  ^B.A.卓里奇著，蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨译.《数学分析》第二卷.高等教育出版社.2006.ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183页. 齐民友.《重温微积分》.高等教育出版社.2004.ISBN 7-040-12931-0.  WalterRudin.《数学分析原理》(PrinciplesofMathematicalAnalysis).Mcgraw-hillBookCompany.1976.ISBN 978-0-070-54235-8.  取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=微分&oldid=72989471” 分类：​微分学隐藏分类：​自2017年12月带有失效链接的条目条目有永久失效的外部链接含有英語的條目 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 العربيةAzərbaycancaБеларускаяБългарскиCatalàČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschEnglishEsperantoEspañolEestiSuomiFrançais客家語/Hak-kâ-ngîעבריתBahasaIndonesiaItaliano日本語ქართულიҚазақша한국어LietuviųNederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSvenskaதமிழ்Українська 编辑链接