微積分基本定理- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

微積分基本定理（英語：Fundamental theorem of calculus）描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。

定理的第一部分，稱為微積分第一基本定理，此定理 ... 微積分基本定理 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 系列條目微積分學 函數 極限論 微分學 積分 微積分基本定理 微積分發現權之爭（英語：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基礎概念（含極限論和級數論） 實數性質 函數 ·單調性 ·初等函數 ·數列 ·極限 ·實數的構造（1=0.999…） ·無窮大（銜尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit） ·實無窮（英語：Actualinfinity） ·大O符號 ·上確界 ·收斂數列 ·芝諾悖論 ·柯西序列 ·單調收斂定理 ·夾擠定理 ·波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 ·斯托爾茲－切薩羅定理 ·上極限和下極限 ·函數極限 ·漸近線 ·鄰域 ·連續 ·連續函數 ·間斷點 ·狄利克雷函數 ·稠密集 ·一致連續 ·緊緻集 ·海涅－博雷爾定理 ·支撐集 ·歐幾里得空間 ·內積 ·外積 ·混合積 ·拉格朗日恆等式 ·等價範數 ·坐標系 ·多元函數 ·凸集 ·壓縮映射原理 ·級數 ·收斂級數（英語：convergentseries） ·幾何級數 ·調和級數 ·項測試 ·格蘭迪級數 ·收斂半徑 ·審斂法 ·柯西乘積 ·黎曼級數重排定理 ·函數項級數（英語：functionseries） ·一致收斂 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的線性（英語：linearityofdifferentiation） ·導數（流數法 ·二階導數 ·光滑函數 ·高階微分 ·萊布尼茲記號（英語：Leibniz's_notation） ·幽靈似的消失量） ·介值定理 ·微分中值定理（羅爾定理 ·拉格朗日中值定理 ·柯西中值定理） ·泰勒公式 ·求導法則（乘法定則 ·廣義萊布尼茨定則（英語：GeneralLeibnizrule） ·除法定則 ·倒數定則 ·鏈式法則） ·洛必達法則 ·反函數及其微分 ·FaàdiBruno公式（英語：FaàdiBruno'sformula） ·對數微分法 ·導數列表 ·導數的函數應用（單調性 ·切線 ·極值 ·駐點 ·拐點 ·求導檢測（英語：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲線的曲率 ·埃爾米特插值） ·達布定理 ·魏爾斯特拉斯函數 一元積分 積分表 定義 不定積分 定積分 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 積分的線性 求積分的技巧（換元積分法 ·三角換元法 ·分部積分法 ·部分分式積分法 ·降次積分法）微元法 ·積分第一中值定理 ·積分第二中值定理 ·牛頓-萊布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函數 ·Γ函數 ·古德曼函數 ·橢圓積分） ·數值積分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森積分法 ·牛頓-寇次公式） ·積分判別法 ·傅立葉級數（狄利克雷定理 ·周期延拓） ·魏爾斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦爾定理 ·劉維爾定理 多元微積分 偏導數 ·隱函數 ·全微分（微分的形式不變性） ·二階導數的對稱性 ·全導數 ·方向導數 ·純量場 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘數 ·海森矩陣 ·鞍點 ·多重積分（逐次積分（英語：iteratedintegral） ·積分順序（英語：Orderofintegration(calculus)）） ·積分估值定理 ·旋轉體 ·帕普斯-古爾丁中心化旋轉定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小號 ·雅可比矩陣 ·廣義多重積分（高斯積分） ·若爾當曲線 ·曲線積分 ·曲面積分（施瓦茨的靴（俄語：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若爾當測度 ·隱函數定理 ·皮亞諾-希爾伯特曲線 ·積分變換 ·卷積定理 ·積分符號內取微分(萊布尼茨積分定則（英語：Leibnizintegralrule）) ·多變量原函數的存在性（全微分方程） ·外微分的映射原像存在性（恰當形式） ·向量值函數 ·向量空間內的導數推廣（英語：generalizationsofthederivative）（加托導數 ·弗雷歇導數（英語：Fréchetderivative） ·矩陣的微積分（英語：matrixcalculus）） ·弱導數 微分方程 常微分方程 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亞諾存在性定理 ·分離變數法 ·級數展開法 ·積分因子 ·拉普拉斯算子 ·歐拉方法 ·柯西-歐拉方程 ·伯努利微分方程 ·克萊羅方程 ·全微分方程 ·線性微分方程 ·疊加原理 ·特徵方程 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程 ·拉普拉斯變換法 ·偏微分方程（拉普拉斯方程 ·泊松方程） ·施圖姆-劉維爾理論 ·N體問題 ·積分方程 相關數學家 牛頓 ·萊布尼茲 ·柯西 ·魏爾斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·歐拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴羅 ·波爾查諾 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若爾當 ·達布 ·傅立葉 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·約翰·伯努利 ·阿達馬 ·麥克勞林 ·迪尼 ·沃利斯 ·費馬 ·達朗貝爾 ·黑維塞 ·吉布斯 ·奧斯特羅格拉德斯基 ·劉維爾 ·棣莫弗 ·格雷果里 ·瑪達瓦（英語：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦羅第二 ·阿涅西 ·阿基米德 歷史名作 從無窮小量分析來理解曲線（英語：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析學教程（英語：Coursd'Analyse） ·無窮小分析引論 ·用無窮級數做數學分析（英語：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微積分（英語：CalculusonManifolds(book)） ·微積分學教程 ·純數學教程（英語：ACourseofPureMathematics） ·機械原理方法論（英語：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支學科 實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動力系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最優化 ·非標準分析 閱論編 微積分基本定理（英語：Fundamentaltheoremofcalculus）描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。

定理的第一部分，稱為微積分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函數，可以（利用積分）構造出該函數的反導函數。

這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。

定理的第二部分，稱為微積分第二基本定理或牛頓-萊布尼茨公式，表明某函數的定積分可以用該函數的任意一個反導函數來計算。

這一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因為它大大簡化了定積分的計算。

[1] 該定理的一個特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）證明和出版。

[2]定理的一般形式，則由艾薩克·巴羅完成證明。

對微積分基本定理比較直觀的理解是：把函數在一段區間的「無窮小變化」全部「加起來」，會等於該函數的淨變化，這裡「無窮小變化」就是微分，「加起來」就是積分，淨變化就是該函數在區間兩端點的差。

我們從一個例子開始。

假設有一個物體在直線上運動，其位置為x(t)，其中t為時間，x(t)意味著x是t的函數。

這個函數的導數等於位置的無窮小變化dx除以時間的無窮小變化dt（當然，該導數本身也與時間有關）。

我們把速度定義為位置的變化除以時間的變化。

用萊布尼茲記法： d x d t = v ( t ) . {\displaystyle{\frac{dx}{dt}}=v(t).} 整理，得 d x = v ( t ) d t . {\displaystyledx=v(t)\,dt.} 根據以上的推理， x {\displaystylex} 的變化── Δ x {\displaystyle\Deltax} ，是 d x {\displaystyledx} 的無窮小變化之和。

它也等於導數和時間的無窮小乘積之和。

這個無窮的和，就是積分；所以，一個函數求導之後再積分，得到的就是原來的函數。

我們可以合理地推斷，這個運算反過來也成立，積分之後再求導，得到的也是原來的函數。

目次 1歷史 2正式表述 2.1第一部分/第一基本定理 2.2第二部分/第二基本定理 3證明 3.1第一部分 3.2第二部分 4例子 5推廣 6參見 7註解 8參考文獻 歷史[編輯] 詹姆斯·格里高利首先發表了該定理基本形式的幾何證明[3][4][5]，艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式[6]。

巴羅的學生艾薩克·牛頓使微積分的相關理論得以完善。

萊布尼茨使得相關理論實現體系化並引入了沿用至今微積分符號， 正式表述[編輯] 微積分基本定理有兩部分，第一部分是定積分的微分，第二部分是原函數和定積分之間的關聯。

第一部分/第一基本定理[編輯] 設 a , b ∈ R {\displaystylea,b\in\mathbb{R}} ， f : [ a , b ] → R {\displaystylef:[a,b]\to\mathbb{R}} 於 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 黎曼可積分，定義函數 F : [ a , b ] → R {\displaystyleF:[a,b]\to\mathbb{R}} 如下： F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyleF(x)=\int_{a}^{x}\!f(t)\,dt} 則 F {\displaystyleF} 於閉區間[a,b]連續 若 f {\displaystylef} 於 c ∈ [ a , b ] {\displaystylec\in[a,\,b]} 連續，則 F ′ ( c ) = f ( c ) {\displaystyleF'(c)=f(c)} 第二部分/第二基本定理[編輯] 圖解 若兩函數 f , F : [ a , b ] ↦ R {\displaystylef,F:[a,b]\mapsto\mathbb{R}} 滿足： [ ∀ x ∈ ( a , b ) ] [ F ′ ( x ) = f ( x ) ] {\displaystyle[\forallx\in(a,b)][F'(x)=f(x)]} （即是 f {\displaystylef} 的一個原函數）， f {\displaystylef} 於 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 黎曼可積分 則有： ∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle\int_{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(b)-F(a)} 可簡記為 ∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) = F ( x ) | a b {\displaystyle\int_{a}^{b}\,f(t)\,dt\,=F(b)-F(a)=F(x){\bigg|}_{a}^{b}} 證明[編輯] 第一部分[編輯] (1) F {\displaystyleF} 於[a,b]連續 因為 f {\displaystylef} 為黎曼可積，所以 f {\displaystylef} 有界(否則會有矛盾)，也就是存在 M > 0 {\displaystyleM>0} 使 | f ( x ) | ≤ M {\displaystyle|f(x)|\leqM} (對所有的 x ∈ [ a , b ] {\displaystylex\in[a,\,b]} ) 根據黎曼積分的定義，若取 x , c ∈ [ a , b ] {\displaystylex,\,c\in[a,\,b]} 很容易得到 | F ( x ) − F ( c ) | = | ∫ c x f ( t ) d t | ≤ M | x − c | {\displaystyle|F(x)-F(c)|=\left|\int_{c}^{x}f(t)\,dt\right|\leqM|x-c|} 那這樣，如果取 δ = ϵ M {\displaystyle\delta={\frac{\epsilon}{M}}} 且 0 < | x − c | < δ {\displaystyle0 0 {\displaystyle\epsilon>0} ，都存在 δ > 0 {\displaystyle\delta>0} 使得所有的 f {\displaystylef} 定義域裡的 x {\displaystylex} 只要滿足 0 < | x − c | < δ {\displaystyle0