比與比值的教學( 6 ) - 大嘴鳥親子雜誌

很多成人都認為速率的單位換算相當困難，筆者認為困難的原因是學童無法掌握比值 ... 知量是速率（60 公里／小時）及時間（ 5 小時），未知量是距離，透過公式『距離＝ ...   請選擇 2012年05月號 2012年04月號 2012年03月號 2012年02月號 2012年01月號 2011年12月號 2011年11月號 2011年10月號 2011年09月號 2011年08月號 2011年07月號 2011年06月號 2011年05月號 2011年04月號 2011年03月號 2011年02月號 2011年01月號 2010年12月號 2010年11月號 2010年10月號 2010年09月號 2010年08月號 2010年07月號 2010年06月號 2010年05月號 2010年04月號 2010年03月號 2010年02月號 2010年01月號 2009年12月號 2009年11月號 2009年10月號 2009年9月號 2009年8月號 2009年7月號 2009年6月號 2009年5月號 2009年4月號 2009年3月號 2009年2月號 2009年1月號 2008年12月號 2008年11月號 2008年10月號 2008年9月號 2008年8月號 2008年7月號 2008年6月號 2008年5月號 2008年4月號 2008年3月號 2008年2月號 2008年1月號     　　 　以「4小時跑24公里」為例，建議教師教學時先透過相等比的概念，將『24公里：4小時』的時間量（後項4小時）化簡為單位時間（1小時）後，再透過強調單位時間是1小時，將『6公里：1小時』的記法稱為『每1小時跑6公里』或『時速6公里』，接著再透過比值引入速率的定義。

　 有兩種引入速率定義的方法，第一種是『速率＝距離：時間＝距離÷時間』，透過第一種定義，學童能算出甲車的速率＝24公里：4小時＝24（公里）÷4（小時）＝6公里／小時；第二種是 『速率＝距離：時間＝：1＝』，透過第二種定義，學童能算出甲車的速率＝24公里：4小時＝：1＝：1＝6公里／小時。

　 當學童能掌握速率的意義後，可以由速率的定義推導出成人熟悉與速率相關的公式『距離＝速率×時間』，筆者建議不宜直接引入速率的公式『距離＝速率×時間』，因為學童不易理解該公式的意義，成人也無法說明該公式的由來。

讀者們請注意，成人心中的速率都是等價類，但是學童心中的速率可能只是特例，由特例變成等價類，可能需要一些時間。

　速率是異類項的比，距離與時間這兩種不同的量，併置為比後產生質變，稱之為速率。

因此討論速率的單位換算時，會涉及長度的單位換算，時間的單位換算，以及速率的單位換算。

　 很多成人都認為速率的單位換算相當困難，筆者認為困難的原因是學童無法掌握比值是省略比後項為1記法的意義，因為多數課本都透過『a：b＝a÷b＝』的方式引入比值的意義，導致學童只會將比改寫成比值，但是無法將比值改寫成比。

　 如果學童能掌握比值是『a：b＝：1＝』的意義，並將比值的記法改寫成比的記法後，速率換單位的問題就變成長度及時間量換單位的問題。

以速率換單位問題『60公里／小時＝（　　）公尺／分鐘』為例，當學童能將比值『60公里／小時』的記法改寫成比『60公里：1小時』的記法，就能輕鬆的利用算式『60公里／小時＝60公里：1小時＝60000公尺：60分鐘＝1000公尺：1分鐘＝1000公尺／分鐘』，算出『60公里／小時＝1000公尺／分鐘』的答案。

　 速率是異類項的比，因此不論我們用哪一種記法來描述速率，都必須加上單位，因為當使用不同的長度及時間單位時，相同的速率會呈現不同的數字。

例如『60公里／小時』、『60000公尺／小時』、『1000公尺／分鐘』、『公尺／秒』等，指的都是相同的速率。

　速率的基本題型有三類，第一類是時間及距離已知、速率未知的問題，第二類是時間及速率已知、距離未知的問題，第三類是速率及距離已知、時間未知的問題。

　如果學童理解速率就是『距離：時間』比值的意義，學童就能透過『速率＝距離：時間＝距離÷時間＝300（公里）÷5（小時）＝60公里／小時』，或透過『速率＝距離：時間＝300（公里）：5（小時）＝60（公里）：1（小時）＝60公里／小時』，得到速率是『60公里／小時』的答案。

甲車的速率是60公里／小時，也就是甲車每1小時跑60公里（單價），利用算式『60×5＝300（公里）』，得到甲車5小時跑300公里的答案。

甲車的速率是60公里／小時，也就是甲車每1小時跑60公里，5小時是1小時的5倍，利用算式『5（小時）÷1（小時）＝5（倍），60（公里）×5＝300（公里）』，就能算出60公里的5倍是300公里，得到甲車5小時跑300公里的答案。

60公里／小時＝60公里：1小時，將『60公里：1小時』累積5次就可以得到『300公里：5小時』，得到5小時跑300公里的答案。

60公里／小時＝60公里：1小時，先將問題二記成算式填充題『60（公里）：1（小時）＝□（公里）：5（小時）』，再利用內項乘內項等於外項乘外項，就能得利用算式『□＝60×5＝300（公里）』，得到300公里的答案。

　問題二的已知量是速率（60公里／小時）及時間（5小時），未知量是距離，由速率的定義『速率＝距離÷時間』，可以將問題二記成算式充題『60（公里／小時）＝□÷5（小時）』，多數六年級學童應該都能夠掌握乘除互逆的概念，可以利用乘法算式『□＝60×5＝300（公里）』，算出答案是300公里。

　問題二的已知量是速率（60公里／小時）及時間（5小時），未知量是距離，透過公式『距離＝速度×時間』，可以直接利用算式『距離＝60（公里／小時）×5（小時）＝300（公里）』，算出答案是300公里。

  （詳見2010年01月號大嘴鳥親子教育雜誌）