橡皮筋之伸長量和外力的關係是否符合虎克定律。 - 物理系

自製實驗裝置，如右圖所示，取一支架，上掛一中型橡皮筋。

支架旁並置一直尺。

使橡皮筋自然卷曲，量其長度，作為L0值。

隔2.5分鐘（因為每掛上砝碼後，橡皮筋伸長到 ... ‧筋‧疲‧力‧盡‧ 國 中 組物 理 科 宜蘭縣立國華國民中學林 世 偉郭 哲 宏張  禹 衍 下載完整資料 一、研究動機 在二上的理化課本中第六章中曾提及：「彈簧在彈性限度中，其伸長量與增加的砝碼重呈現正比關係」，更確切地說，是伸長量與增加的「質量」成正比。

當中又有問到：「能否使用橡皮筋來做為測量物體重量的工具？」對於這問題，有許多參考書籍的回答是：「橡皮筋的彈性限度較小，故不用之」、「其伸長量較不規則」。

有一天，理化老師上到第六章《力》時，提到彈性物質（如橡皮筋）往往會有「遲滯現象」，但老師未詳細說明其因，也未更深入介紹，及此種現象對於以彈性物質來測量物體的重量是否會影響測量結果。

於是，我們以此為這次科展的題目，加以深入探討。

二、研究目的 橡皮筋之伸長量和外力的關係是否符合虎克定律。

普通橡皮筋的遲滯現象曲線探討。

橡皮筋是否適合用來測量物體的重量。

三、文獻探討 虎克(R.Hooke)定律：當彈簧受到外力伸張，其伸長長度不超過彈簧的彈性限度時，則和外力成正比(1678)。

F=-KX(K為彈簧的彈性常數)F和移動距離X反方向。

所以，不同外力和不同距離即可求出K值。

四、研究設備  普通橡皮筋若干，尺寸： 大型─直徑8cm 中型─直徑5cm 小型─直徑3.5cm  虎克彈簧  砝碼  直尺 五、研究方法 主題A普通橡皮筋的遲滯現象 方法： 自製實驗裝置，如右圖所示，取一支架，上掛一中型橡皮筋。

支架旁並置一直尺。

使橡皮筋自然卷曲，量其長度，作為L0值。

隔2.5分鐘（因為每掛上砝碼後，橡皮筋伸長到穩定的狀態需一段時間），逐次增加相同重量的砝碼，每次為50g，量其長度為Ln 當砝碼增加到最大值時(mmax)，每隔2.5分鐘，逐漸減少砝碼重，每次亦為50g。

量其長度，並記錄。

以相同方法連續針對同一條橡皮筋做多次實驗(四次)，各記錄其數據於表(一)、表(二)、表(三)、表(四)中，並將數據繪於折線圖 圖(一)、圖(二)、圖(三)、圖(四)。

主題B單一橡皮筋的遲滯現象 引導思考：單一橡皮筋？似乎很奇怪。

一般我們所謂的「一條」橡皮筋其實是兩條所並聯，何以見得？如下圖： 因此，當我們將橡皮筋切斷時，就可得到「一條」橡皮筋！ 方法： 同主題A之方法連續針對同一條橡皮筋（此次實驗仍以中型橡皮筋為主）做多次實驗(四次)，各記錄其數據於表(五)、表(六)、表(七)、表(八)中，並將數據繪成折線圖 圖(五)、圖(六)、圖(七)、圖(八)。

  主題C橡皮筋規格大小不同之遲滯現象的差異 方法： 實驗方法與裝置與主題Ａ皆同，但是將實驗的橡皮筋尺寸改為大型和小型，數據與其對應折線圖：   串　聯 大型橡皮筋 表(十八)、表(十九)、表(二十)、表(二一) 圖(十八)、圖(十九)、圖(二十)、圖(二一) 小型橡皮筋 表(十)、表(十一)、表(十二)、表(十三) 圖(十)、圖(十一)、圖(十二)、圖(十三)  並　聯 大型橡皮筋  表(十四)、表(十五)、表(十六)、表(十七)  圖(十四)、圖(十五)、圖(十六)圖(十七)  小型橡皮筋 表(二二)、表(二三)、表(二四)、表(二五)  圖(二二)、圖(二三)、圖(二四)、圖(二五) 主題D遲滯曲線與消耗能量關係 方法： 主題A、主題B、主題C所繪得之各折線圖，以工程用計算機計算出各曲線的函數，記錄於下面表格。

再用電腦程式積分各圖中min-max及max-min兩曲線所夾面積。

五、研究結果 完整實驗數據表格請下載WORD文件 六、討論與結論 遲滯現象只是一種概稱，之中分成許多類別，如彈性遲滯現象、磁遲滯現象……。

我們這個實驗所探討的主要為橡皮筋的彈性遲滯現象。

由以上各實驗中，可看出橡皮筋此種彈性物質，並不符合虎克定律，其彈性係數k不是常數，我們只能以函數標準式y=axb（a＞0、b＞0）來逼近其x、y對應值。

彈性遲滯現象主要是因為在加減砝碼這一週期中，部份能量於拉伸的過程，橡皮筋內部結構分子相互摩擦轉變成熱能散失。

從以上所得結果可知，由主題Ａ、主題Ｂ、主題Ｃ中的各實驗中，兩曲線(min-max、max-min)所包圍之面積即表示在橡皮筋拉伸的週期中，所損耗的能量。

由主題A所得之折線圖可知，迴線OABC、迴線O'A'B'C'，迴線O''A''B''C''及迴線O'''A'''B'''C'''中，兩曲線(min-max、max-min)並不重疊，即不具可逆性。

除了橡皮筋外，較常見的彈性物質還有彈簧，於是我們取一虎克彈簧，對其以相同的方式實驗。

我們發現（如表九），彈簧的遲滯迴線min-max、max-man兩線接近，幾乎重疊，雖仍有不具可逆的地方，不過基本上，那是我們能夠接受的誤差範圍內。

表(九) F增加/NT 0 0.49 0.98 1.47 1.96 2.45 2.94 3.43 3.92 min-max 21.4 36.2 49.7 64.7 79.1 92.3 105.9 119.7 133.3 max-min  24.4 37.1 53.9 65.4 81.2 93.7 110.3 119.2 131.1 F增加/NT 4.41 4.9 5.39 5.88           min-max 148.7 158.4 174.1 188.1           max-min  156.7 171.2 182.2 194.8           圖(九)：請參閱附件 當一外力（砝碼）施於彈性物質時，對該彈性物質而言，即砝碼對其作功，如圖所示：  一般而言，理想的彈性物質（如彈簧）當外力由0增至最大值和外力由最大值減為零時，其所產生的能量應為相同，min-max和max-min兩曲線所夾面積為零。

但圖(一)為例，曲線OAB（min-max）和曲線BCO（min-max）所夾面積卻不等於零，可見在這伸縮過程中，有能量散失了。

比較中型橡皮筋的並聯與串聯兩張圖(圖Ａ和圖Ｂ)兩圖間的差異： 圖A是橡皮筋並聯、圖B是橡皮筋串聯，從中可清楚的看出圖A中的曲線，經過3.92 NT之後，其遲滯現象會明顯增大；圖B中的曲線在經過1.96NT之後遲滯曲線也會增加，3.92是1.96的兩倍，之間到底存在著什麼關係？ 首先，我們先要了解橡皮筋的結構，橡皮筋的分子是一種鏈狀的結構，未拉高時，這些鏈狀分子呈現彎彎曲曲，且糾結在一起。

拉長時，這些分子會由糾結的狀態變為較直的形狀，故其長度能產生很大的變化，如下圖所示： 當外力除去後，這些鏈狀分子由熱振動而恢復回原有的形狀。

固體的彈性現象(elasticity)，是由於內部原子間距離的變化產生的。

以彈簧為例，當施以外力時，其內部的原子的距離增大時，原子間就會產生吸引力，這引力要使原子間的距離縮回原來的距離（或者這樣說：該物質內部會產生一股反抗外力的力量），這就是彈力的來由。

但是橡皮筋的彈力並不是由原子的吸引力產生的，因為原子間的距離若增大幾倍（約原長度的1%），其引力就弱到接近零了。

但是橡皮筋卻能拉到原長度的五倍以上，是因為橡皮筋的彈力是由內部的鏈狀分子熱振動產生的。

圖Ａ和圖Ｂ中的迴線，3.92NT及1.96NT處遲滯現象很明顯，我們認為其原因：要將扭曲糾結在一起的鏈狀分子伸展開，打開糾結點是很重要的，它反應兩種情形： (1)本次實驗所使用的橡皮筋內部鏈狀分子的合體糾結力量大約是3.92NT(圖A)和1.96 NT(圖B)。

(2)減少砝碼數時，由於鏈分子回縮，在糾結點分子中的原子距離最近，容易產生碰撞而引起能量耗散，才產生明顯的遲滯現象。

由大型橡皮筋的圖F中，我們發現，大的橡皮筋其min-max與max-min兩線較接近直線，雖仍不具可逆性，但是大致符合虎克定律。

因此，我們推測：彈性係數大（直徑越大、粗細越粗）的橡皮筋，也適合作為測量力的工具！但是，這卻也產生一個問題：彈性係數越大，相同外力時，其伸長量越小，誤差越大。

各將主題A、主題B和主題Ｃ中的各圖表繪成同一張表（請見圖A、圖B圖Ｃ、圖Ｄ、圖Ｅ、圖F），我們發現圖A中的A、B、C、D四條遲滯迴線相當接近，圖B中的E、F、G、H遲滯迴線，圖Ｃ中的I、J、K、L遲滯迴線，圖Ｄ中的W、X、Y、Z遲滯迴線，圖Ｅ中的R、S、T、U遲滯迴線、圖F的L、M、N、O遲滯迴線亦有如此現象，每次作的遲滯迴線與前一次之遲滯迴線相差不大，於是我們推測：再進行更多次的實驗後（對於同一橡皮筋），遲滯迴線會幾乎重合。

因此若要以橡皮筋作為測量物體重量的工具時，需先測試數次，待迴線能重合時，再標出刻度，即可用於測量。

１０．總結以上各點，橡皮筋並非不能用於測量的工具，只是在使用前需有一定的前提下或事先處理過，再用於實驗。

１１．此次實驗中（主題Ａ、主題Ｂ中的圖Ａ和圖Ｂ），橡皮筋在外力0NT至1.96NT和外力大於3.92時，做著簡諧運動，因此，若要利用橡皮筋來測量重量，在外力小於1.96NT或大於3.92NT時，所測出的數據較為準確。

至於簡諧運動與橡皮筋在遲滯現象中散失能量之間的關係，我們留待下次再探討。

七、參考資料 大學物理─中國物理學會 國民中學理化課本第一冊─國立編譯館 八、心得感想 在實驗之後，我們小組也的確「筋疲力盡」。

每次實驗至少耗費六至七個小時，作完之後，只覺得頭昏眼花！沒想到，一條小小橡皮筋竟有如此大的奧秘，可見人類尚對於大自然的了解仍有不足的地方。

藉由這次的實驗，我們除了學習到彈性力學的基本概念外，更重要的，是對於分工合作的態度及小心縝密的實驗態度有了新的認知！ 九、實驗花緒 回物理教學示範實驗教室 歡迎批評指教！電子郵件請按[email protected] 網頁製作：國立台灣師範大學物理系黃福坤 最後修訂時間：  since2011/06/20