多項式的微積分- 维基教科书，自由的教学读本

1.1 切線斜率、微分、導數. 2 一元多次方程式的微分. 2.1 微分的方法; 2.2 與微分的相關的性質; 2.3 求導法則; 2.4 多項式的圖形. 3 一元二次方程式的配方法. 多項式的微積分 维基教科书，自由的教学读本 跳到导航 跳到搜索 目录 1先備練習 1.1切線斜率、微分、導數 2一元多次方程式的微分 2.1微分的方法 2.2與微分的相關的性質 2.3求導法則 2.4多項式的圖形 3一元二次方程式的配方法 3.1推導過程一：求函數值 3.1.1函數值與圖形的關係 3.2推導過程二：求根 3.2.1根與係數的關係 3.2.2基本例題 3.3配方法的圖解 先備練習[编辑] 將(1+1)從一次方乘到四次 將(x+1)從一次方乘到四次 將(a+b)從一次方乘到四次 多項式 項 係數 次 元 楊輝三角形： ( a + b ) n {\displaystyle\left(a+b\right)^{n}} 展开的系数 切線斜率、微分、導數[编辑] 設 y = f ( x ) {\displaystyley=f(x)} ，則函數 f {\displaystylef} 在 a {\displaystylea} 點切線斜率、微分、導數、 f ′ ( a ) {\displaystylef'(a)} 、 d y d x {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}} 、 d f ( x ) d x {\displaystyle{\frac{d\,f(x)}{dx}}} 、 Δ f ( x ) Δ x {\displaystyle{\frac{\Deltaf(x)}{\Deltax}}} 、 lim Δ x → 0 f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x {\displaystyle\lim_{\Deltax\to0}{\frac{f(a+\Deltax)-f(a)}{\Deltax}}} 都代表同一個意思。

一元多次方程式的微分[编辑] 微分的方法[编辑] y=ƒ(x)： 單項式的ƒ'(x) f ( x ) = a x n {\displaystylef(x)=ax^{n}} f ′ ( x ) = a n x n − 1 {\displaystylef'(x)=anx^{n-1}} axn對x的微分為anxn-1，請證明 n為0(即常數)，則微分為0。

因為微分代表「變化」，常數沒有變化。

除0之外，n不管是正數或負數、整數或非整數都成立， 多項式的ƒ'(x) 每個單項皆微分 常數項微分為0 微分之應用問題 更多例題 與微分的相關的性質[编辑] 極限存在，它的左右極限存在且相等。

函數在一點可導的條件是：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。

dy=ƒ'(x)dx即ƒ'(x)曲線與 x {\displaystylex} 軸所夾的微小面積。

長條面積總和 函數y=x2的上長條總和 函數y=x2的下長條總和 原函數ƒ(x)=0時，x值稱為方程式的根。

此處為函數圖形與 x {\displaystylex} 軸之交點。

函數ƒ(x)與其導數函數ƒ'(x)的關係： 函數的轉彎處→斜率為0，ƒ'(x)為0處，ƒ(x)有極大值或極小值，斜率由正轉負時有極大值，斜率由負轉正時有極小值。

一系列的函數ƒ(x)+C，有相同的導函數ƒ'(x)。

求導法則[编辑] 適用所有可微分的方程式。

法則表示式簡記口訣 常數微分 d C d x = 0 {\displaystyle{\frac{d\,C}{dx}}=0} 常數'=0常數微分為零 常係數微分 d ( C × f ( x ) ) d x = C × d ( f ( x ) ) d x {\displaystyle{\frac{d\,(C\timesf(x))}{dx}}=C\times{\frac{d\,(f(x))}{dx}}} (Cƒ(x))'=Cƒ'(x)常係數可提出 乘積法則 d ( f ( x ) × g ( x ) ) d x = d ( f ( x ) ) d x × g ( x ) + f ( x ) × d ( g ( x ) ) d x = f ′ ( x ) × g ( x ) + f ( x ) × g ′ ( x ) {\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{d\,(f(x)\timesg(x))}{dx}}&={\frac{d\,(f(x))}{dx}}\timesg(x)+f(x)\times{\frac{d\,(g(x))}{dx}}\\&=f'(x)\timesg(x)+f(x)\timesg'(x)\end{aligned}}} (fg)'=f'g+fg'前導後不導+前不導後導 鏈式法則 d ( f ( x ) ) d x = d ( f ( x ) ) d ( g ( x ) ) × d ( g ( x ) ) d x {\displaystyle{\frac{d\,(f(x))}{dx}}={\frac{d\,(f(x))}{d\,(g(x))}}\times{\frac{d\,(g(x))}{dx}}} 或 d ( f ( x ) ) = d ( f ( x ) ) × d ( g ( x ) ) d ( g ( x ) ) {\displaystyled\,(f(x))=d\,(f(x))\times{\frac{d\,(g(x))}{d\,(g(x))}}} d y d x = d y d z ⋅ d z d x {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}={\frac{dy}{dz}}\cdot{\frac{dz}{dx}}} 分子分母同乘d(g(x)) 多項式的圖形[编辑] 零次：， 一次：， 二次：，，更多拋物線圖形 三次：， 四次：， 五次：， 一元二次方程式的配方法[编辑] 由乘法公式 ( m + n ) 2 = m 2 + 2 m n + n 2 {\displaystyle(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}} ，可以對任意一元二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下： 推導過程一：求函數值[编辑] y = f ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x + c a ) = a [ x 2 + 2 ( b 2 a ) x + c a ] = a [ x 2 + 2 ( b 2 a ) x + ( b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 + c a ] = a [ ( x + b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 + 4 a c 4 a 2 ] = a [ ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a 2 ] = a ( x + b 2 a ) 2 + ( c − b 2 4 a ) {\displaystyle{\begin{aligned}y&=f(x)\\\\&=ax^{2}+bx+c\\\\&=a\left(x^{2}+{\frac{b}{a}}x+{\frac{c}{a}}\right)\\\\&=a\left[x^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+{\frac{c}{a}}\right]\\\\&=a\left[x^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}+{\frac{c}{a}}\right]\\\\&=a\left[\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}+{\frac{4ac}{4a^{2}}}\right]\\\\&=a\left[\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}+{\frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}}\right]\\\\&=a\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac{b^{2}}{4a}}\right)\\\end{aligned}}} 函數值與圖形的關係[编辑] a > 0 {\displaystylea>0} 時右側斜向上，拋物線開口向上，有極小值 a < 0 {\displaystylea<0} 時右側斜向下，拋物線開口向下，有極大值 x + b 2 a = 0 {\displaystylex+{\frac{b}{2a}}=0} 或 x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 時有極大值或極小值 c − b 2 4 a {\displaystylec-{\frac{b^{2}}{4a}}} a ( x + b 2 a ) 2 + ( c − b 2 4 a ) = 0 {\displaystylea\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac{b^{2}}{4a}}\right)=0} （即圖形交 y = 0 {\displaystyley=0} ）時為兩根 推導過程二：求根[编辑] a x 2 + b x + c = 0 ⟹ x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\impliesx^{2}+{\frac{b}{a}}\,x+{\frac{c}{a}}=0} x 2 + b a x + c a = 0 ⟹ x 2 + 2 ( b 2 a ) x + c a = 0 {\displaystylex^{2}+{\frac{b}{a}}\,x+{\frac{c}{a}}=0\impliesx^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+{\frac{c}{a}}=0} x 2 + 2 ( b 2 a ) x + c a = 0 ⟹ x 2 + 2 ( b 2 a ) x + ( b 2 a ) 2 + c a = ( b 2 a ) 2 {\displaystylex^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+{\frac{c}{a}}=0\impliesx^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}+\,{\frac{c}{a}}=\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}} x 2 + 2 ( b 2 a ) x + ( b 2 a ) 2 + c a = ( b 2 a ) 2 ⟹ x 2 + 2 ( b 2 a ) x + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c a {\displaystylex^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}+\,{\frac{c}{a}}=\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}\implies\,x^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-\,{\frac{c}{a}}} x 2 + 2 ( b 2 a ) x + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c a ⟹ ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystylex^{2}+2\left({\frac{b}{2a}}\right)x+\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-\,{\frac{c}{a}}\implies\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}={\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ⟹ x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}={\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\impliesx+{\frac{b}{2a}}=\pm{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}} x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a ⟹ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystylex+{\frac{b}{2a}}=\pm{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\impliesx={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} 根與係數的關係[编辑] 設一元二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0} 的解為 w {\displaystylew} 和 z {\displaystylez} ，則有以下關係式： w + z = − b a {\displaystylew+z=-{\frac{b}{a}}} w z = c a {\displaystylewz={\frac{c}{a}}} 這兩個公式由設 w {\displaystylew} 和 z {\displaystylez} 為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出。

基本例題[编辑] x 2 = 16 {\displaystylex^{2}=16} x 2 − x = 30 {\displaystylex^{2}-x=30} 4 x 2 + 4 x + 4 = 3 {\displaystyle4x^{2}+4x+4=3} 答案 1. x 2 = 16 {\displaystylex^{2}=16} x = 4 {\displaystylex=4} 或 x = − 4 {\displaystylex=-4} x = ± 4 {\displaystylex=\pm4} 2. x 2 − x = 30 {\displaystylex^{2}-x=30} ( x − 0.5 ) 2 − 0.25 = 30 {\displaystyle(x-0.5)^{2}-0.25=30} ( x − 0.5 ) 2 = 30.25 {\displaystyle(x-0.5)^{2}=30.25} x − 0.5 = 5.5 {\displaystylex-0.5=5.5} 或 − 5.5 {\displaystyle-5.5} x = 6 {\displaystylex=6} 或 − 5 {\displaystyle-5} 3. 4 x 2 + 4 x + 4 = 3 {\displaystyle4x^{2}+4x+4=3} 4 x 2 + 4 x + 1 = 0 {\displaystyle4x^{2}+4x+1=0} ( 2 x + 1 ) 2 = 0 {\displaystyle(2x+1)^{2}=0} x = − 0.5 {\displaystylex=-0.5} (重根) 配方法的圖解[编辑] 令a=1,C=-c 取自“https://zh.wikibooks.org/w/index.php?title=多項式的微積分&oldid=103542” 分类：​数学 导航菜单 个人工具 未登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 页面讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体港澳繁體马新简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页社群首页最近更改随机页面图书馆维基儿童上传文件 帮助 帮助互助客栈方针与指引字词转换所有页面IRC即時聊天联络我们关于维基教科书资助我们 工具 链入页面相关更改特殊页面固定链接页面信息引用本页 打印/导出 下载为PDF可打印版本 其他语言 添加链接