工程數學第10章拉普拉斯變換. - ppt download

本章內容10.1 導論10.2 定義10.3 線性性質10.4 基本函數的拉普拉斯變換10.5 (a) 第一平移定理10.5 (b) 度量的變換10.6 反拉普拉斯變換10.7 微分的拉普拉斯變換工程數學 ... 上传 请登录 Mypresentations Profile 反馈 Logout 搜索 请登录 请登录 Authwithsocialnetwork: 注册 忘记密码？ Downloadpresentation Wethinkyouhavelikedthispresentation.Ifyouwishtodownloadit,pleaserecommendittoyourfriendsinanysocialsystem.Sharebuttonsarealittlebitlower.Thankyou! Buttons: 取消 Download Presentationisloading.Pleasewait. 工程數學第10章拉普拉斯變換. PublishedbyErwinHafner Modified3年之前 嵌入 Downloadpresentation Copytoclipboard Similarpresentations More Presentationontheme:"工程數學第10章拉普拉斯變換."—Presentationtranscript: 1 工程數學第10章拉普拉斯變換 2 本章內容10.1導論10.2定義10.3線性性質10.4基本函數的拉普拉斯變換10.5(a)第一平移定理10.5(b)度量的變換10.6反拉普拉斯變換10.7微分的拉普拉斯變換工程數學第10章第491頁 3 本章內容（續）10.8積分的拉普拉斯變換10.9以tn為乘子的情形10.10用t除的情形10.11對合定理10.12微分方程上的應用10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換工程數學第10章第491頁 4 10.1導論在數學上，變換指的是把一個函數轉變成另一個函數的過程。

例如，把微分算子作用函數的過程。

例如，把微分算子作用在函數f(x)=sinx上，就會得到另一個函數g(x)=Df(x)=cosx工程數學第10章第492頁 5 10.1導論拉普拉斯變換在科學及工程上有廣泛的應用。

特別是在解線性微分方程的問題，它可以把一個常微分方程轉化成一個代數方程。

在解給定初始條件的微分方程時，可以先求出這個方程的一般解，然後再解出未定的常數；但是用拉普拉斯變換可以直接得到解。

工程數學第10章第492頁 6 10.2定義假設f(t)在時都有定義。

如果積分存在，我們就稱它為f(t)的拉普拉斯變換(Laplacetransform)。

這裡的參數可以是實數或虛數。

L{f(t)}可以視為s的函數，並記為；也就是說工程數學第10章第492頁 7 10.3線性性質若f及g都是t的函數而c1,c2是常數，則由定義可知，這個結果很容易推廣到一般的情形。

工程數學第10章第492頁 8 10.4基本函數的拉普拉斯變換(1)，若s>0工程數學第10章第492頁 9 10.4基本函數的拉普拉斯變換(2)，其中n為正整數。

當s>0而n+1>0或n>－1時，在n為正整數時，Γ(n+1)=n!∴，令st=x工程數學第10章第493頁 10 10.4基本函數的拉普拉斯變換(3)若工程數學第10章第493頁 11 10.4基本函數的拉普拉斯變換(4)工程數學第10章第493頁 12 10.4基本函數的拉普拉斯變換(5)工程數學第10章第493頁 13 10.4基本函數的拉普拉斯變換(6)若工程數學第10章第493頁 14 10.4基本函數的拉普拉斯變換註：這個結果也可以用拉普拉斯變換的線性性質得到。

工程數學第10章第493頁 15 10.4基本函數的拉普拉斯變換(7)工程數學第10章第493頁 16 10.5(a)第一平移定理若，則。

由定義可知同樣地，其中工程數學第10章第494頁 17 10.5(a)第一平移定理如果把這個定理應用到上一節中提到的基本函數，會得到工程數學第10章第494頁 18 10.5(b)度量的變換若，則證明：工程數學第10章第494頁 19 10.6反拉普拉斯變換定義例如，因為∴如果，我們就稱f(t)為的反拉普拉斯變換，並且用表示反拉普拉斯變換的作用，也就是說工程數學第10章第498頁 20 10.6反拉普拉斯變換下面列出的是反拉普拉斯變換的一些性質，它們都可以直接用拉普拉斯變換的性質推導出來。

，當n為正數時其餘工程數學第10章第498頁 21 10.6反拉普拉斯變換工程數學第10章第498頁 22 10.7微分的拉普拉斯變換定理令。

如果f(t)是連續的，而且，則工程數學第10章第505頁 23 10.7微分的拉普拉斯變換--Proof證明：註1：如果f(t)滿足，我們就說f(t)的階數為s。

註2：這個定理可以推廣到一般的情形。

工程數學第10章第505頁 24 10.7微分的拉普拉斯變換--Proof一般化：如果及它的前個導數都是連續的，則工程數學第10章第505頁 25 10.7微分的拉普拉斯變換--Proof假設對m=0,1,2,……,n－1都滿足條件，用分部積分可以得到工程數學第10章第505頁 26 10.7微分的拉普拉斯變換--Proof註：當n=2,3,4,……時，這些結果在解微分方程時常常會用到。

等等工程數學第10章第505頁 27 10.8積分的拉普拉斯變換若，則或工程數學第10章第506頁 28 10.8積分的拉普拉斯變換--Proof證明：令，則(t)=f(t)而(0)=0∴[由10.7節]∴或∴　　　　　　　　　　　　　　[由10.7節]∴　　　　　　　　　或工程數學第10章第506頁 29 10.9以tn為乘子的情形若，n=1,2,3,……時，都會有工程數學第10章第508頁 30 10.9以tn為乘子的情形--Proof證明：我們要用歸納法證明這個結果。

因為兩邊同時對s微分(用萊布尼茲法則化簡)，會得到或工程數學第10章第508頁 31 10.9以tn為乘子的情形--Proof或所以定理在n=1時是對的。

工程數學第10章第508頁 32 10.9以tn為乘子的情形--Proof假設定理在n=m時是對的，也就是說或兩邊同時對s微分，會得到工程數學第10章第508頁 33 10.9以tn為乘子的情形--Proof或工程數學第10章第508頁 34 10.9以tn為乘子的情形--Proof或所以定理在n=m+1時也是對的。

工程數學第10章第509頁 35 10.10用t除的情形若，則(如果這個積分存在)。

工程數學第10章第509頁 36 10.10用t除的情形--Proof證明：因為兩邊同時對s從s積到∞，會得到因為s及t是獨立的兩個變數，所以可以把等號右邊的積分順序交換，就會得到工程數學第10章第510頁 37 10.11對合定理若而，則。

工程數學第10章第513頁 38 10.11對合定理--Proof證明：令則工程數學第10章第513頁 39 10.11對合定理--Proof改變積分順序，會得到工程數學第10章第514頁 40 10.11對合定理--Proof令工程數學第10章第514頁 41 10.11對合定理--Proof工程數學第10章第514頁 42 10.12微分方程上的應用拉普拉斯變換可以用來解常微分及偏微分方程。

這裡我們只介紹在常係數常微分方程上的用法。

這個方法最大的優點是可以直接得到特解，而不需要先求出這個方程的一般解然後再解出未定常數。

工程數學第10章第517頁 43 10.12微分方程上的應用使用方法：1.把微分方程兩邊同時取拉普拉斯變換，然後代入初始條件，會得到一個代數方程。

2.解這個代數方程，會得到s的函數。

3.兩邊同時取反拉普拉斯變換，會得到t的函數y。

這就是我們要求的解。

要注意到。

工程數學第10章第517頁 44 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換1.單位階梯函數(或赫韋塞(Heaviside)單位函數)定義特別的是它與任意函數的乘積為單位階梯函數u(t－a)定義為特別的是它與任意函數的乘積為工程數學第10章第523頁 45 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換而f(t－a).u(t－a)則是把函數f(t)的圖形向右平移a單位而得到。

工程數學第10章第523頁 46 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換(a)單位階梯函數的拉普拉斯變換特別的是，工程數學第10章第524頁 47 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換(b)第二平移定理若L，則令u=t－a工程數學第10章第524頁 48 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換引理1引理2a=0時。

工程數學第10章第524頁 49 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換2.單位脈衝函數(狄拉克函數)在力學中，我們常常會遇到很大的力作用在很短的時間中的情形。

在研究橫桿的彎曲現象時，重量作用在一點上，所以會在很小的區域上產生很大的壓力。

為了要處理這一類的問題，我們要引入單位脈衝函數(unitimpulsefunction)或狄拉克δ函數(Dirac-deltafunction)。

工程數學第10章第527頁 50 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換工程數學第10章第527頁 51 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換單位脈衝函數是函數當取極限而得到的。

把這個函數用圖形表示，積分後得到的結果為工程數學第10章第527頁 52 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換當ε→0時，δε(t－a)在x=a時會趨近於無窮大，而在其他點的值會趨近於0，而且它在包t=a含這點的積分為1。

如果用δε(t－a)表示在t=a時作用在極短時間ε的力，積分就表示t=a這一瞬間的單位脈衝。

因此當ε→0時，δε(t－a)的極限可以看成是單位脈衝函數，我們把它記為δ(t－a)。

工程數學第10章第527頁 53 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換單位脈衝函數δ(t－a)定義為而且滿足。

若工程數學第10章第527頁 54 10.13其他特殊函數的拉普拉斯變換(a)單位脈衝函數的拉普拉斯變換如果函數f(t)在t=a這點連續，則(由積分的均值定理)當ε→0，會得到。

其中a