「數學王子」高斯的成就和啟示 - VITO雜誌

高斯是近代數學奠基者之一，和牛頓、阿基米德被譽為數學史上三大傑出的數學家。

他的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數和微分 ... 正如亨利·龐加萊所說：「如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。

」高斯是近代數學奠基者之一，和牛頓、阿基米德被譽為數學史上三大傑出的數學家。

他的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數和微分幾何等方面都作出了開創性的貢獻，「數學王子」是對他一生的成就恰如其份的頌讚。

除此之外，高斯還在天文學、大地測量學和物理學有傑出的研究成果，為後世人們的研究工作奠定基礎。

本文主要從數學領域談談高斯的重要成就和給我們的啟示，並圓內接正十七邊形的畫法。

「數學王子」高斯的門第決不是王族。

約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（1777年4月30日—1855年2月23日)出生於德意志不倫瑞克一個簡陋的村舍裡。

高斯的祖父是一個貧窮的農民，生活貧困。

父親格哈德作為園丁、水渠管理人和砌磚工人艱苦地勞動一生，是一個正直、極為誠實的粗魯的人。

孩提時代的高斯尊重順從他的父親，並且秉承了其父誠實、謹慎的性格。

然而他的父親常常根據自己的人生經驗來為年幼的高斯規劃人生，曾盡一切力量加以阻撓兒子完成不朽的工作。

幸運的是，高斯有一位鼎力支持他成才的母親羅捷雅和慧眼識才的舅舅弗里德里希。

羅捷雅真誠地希望兒子能幹出一番偉大的事業，她對高斯的才華極為珍視。

然而，她也不敢輕易地讓兒子投入當時尚不能養家餬口的數學研究中。

在高斯19歲那年，儘管他已做出了一些偉大的數學成就，但她仍向數學界的朋友波爾約問道：「高斯將來會有出息嗎？」波爾約說她的兒子將是「歐洲最偉大的數學家」，為此她激動得熱淚盈眶。

高斯的舅舅弗里德里希是一個非常聰明有天分的人，他發現他姐姐的孩子有著敏銳、不肯安靜的頭腦，於是就在這個年輕天才的身上傾注自己的才智，通過他特殊的人生哲學喚起高斯的敏捷的邏輯思維。

正是由於弗里德里希的慧眼識才，才使得高斯走上科學研究的道路，成為一位罕見的「數學王子」。

在整個數學史中，從沒有過像高斯那樣早熟的。

人們不知道阿基米德在什麼時候顯露出天才的跡象。

牛頓最早表現出他極高的數學才能時，可能也沒有受到注意。

雖然看起來難以置信，高斯卻在3歲以前就顯示出了他的天才。

有一天，他觀看父親算帳，計算結束後，父親念出了錢數準備寫下時，身邊傳來細小的聲音：「爸爸，算錯了，應該是……」。

核對賬單的結果，表明高斯說的數是對的。

10歲時，他的老師出了一道數學題：求1+2+3+4+……+100。

而高斯在五分鐘後就給出了正確答案：5050。

高斯是這樣計算的：1與100、2與99、3與98……每一對的和都是101，而100以內這樣的數共有50對，101×50=5050。

他的這種計算方法，代數上稱為等差級數求和公式。

1792年，高斯進人布倫斯維克的著名學院(卡羅琳學院)深造，攻讀了牛頓、歐拉和拉格朗日等人的著作，並且立刻精通了這些數學家的著作。

1795年，高斯進入哥廷根大學，第一年就發明了最小二乘法。

第二年又嚴格地得出了可用直尺圓規作圖的正多邊形的條件：邊數必須是或，從而宣佈了自歐幾里德以來幾何作圖上的一項成就——發現正十七邊形的作圖法，並用代數方法和幾何圖形結合起來證明了這一作圖方法。

為了紀念高斯這一成就，在哥庭根大學的校園裡，高斯的塑像下特意砌了正十七邊形的底座。

同年，高斯又發表並證明了著名的數論方面的定理——二次互反律。

這一定理歐拉早已發現，但是歐拉和勒讓德都沒有能力加以證明。

這是高斯的得意之作，一生曾用八種方法證明，稱之為「黃金律」。

1799年，高斯又證明了一個重要的定理：任何一元代數方程都有一個根。

這一結果數學上稱為「代數基本定理」，也被稱做「高斯定理」。

1801年，高斯出版了他的《算術研究》。

在此之後，他把他的活動範圍擴大到天文學、大地測量學、電磁學等領域中的數學和實用兩個方面。

1825年到1831年，高斯仍在數論方面作出貢獻，繼二次剩餘論之後，又藉助於他的複數理論提出了四次剩餘論，又發現了一種用複數來對奇數進行因式分解的方法，例如的形式，生動地表示新的素數(即質數)論的誕生。

在1828年，高斯出版了《關於曲面的一般研究》，全面系統地闡述了空間曲面的微分幾何學，並提出內蘊曲面理論。

高斯的曲面理論後來由黎曼發展。

高斯對待學問十分嚴謹，不輕易發表他的著作，除非他相信這篇著作已達到完美無缺的地步。

任何結論，不論多麼重要，都要等他認為完善之後才發表，因此高斯一生共發表155篇論文，而遺下了大量的稿件，他的許多成就都是他死後在他的草稿和日記中發掘的。

高斯的科學日記（Notizenjournai)是數學史上最寶貴的檔案之一。

第一篇記錄了他的偉大發現。

高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。

他還深入研究複變函數，建立了一些基本概念發現了著名的柯西積分定理。

他還發現橢圓函數的雙週期性，但這些工作在他生前都沒發表出來。

要是在這本日記中埋藏了幾年或幾十年的東西當時被立刻發表的話，足以為高斯贏得半打偉大的聲譽。

然而事實是，直到他去世很久以後，人們才知道，有多少19世紀的數學，高斯在1800年以前就已經預見並領先了。

要是他能洩漏一些他所知道的東西，很可能目前的數學要比現在的狀況前進半個世紀或者更多。

有一個比喻說得非常好。

如果我們把18世紀的數學家想象為一系列的高山峻嶺，那麼最後一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數學家想象為一條條江河，那麼其源頭就是高斯。

單單從高斯的數學成就看，他對18、19世紀的數學發展做出了巨大的貢獻，不愧被稱為「數學王子」。

尺規作圖起源於古希臘的數學課題，是歐幾里得提出的一種用無刻度的直尺和圓規作圖的方法。

尺規作圖只使用圓規和直尺，並且只准許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。

尺規作圖使用的直尺和圓規帶有想像性質，跟現實中的並非完全相同，直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側。

只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度；圓規可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉開成之前構造過的長度。

很久以前，古希臘數學家曾深入研究過一類作圖問題，即：如何利用尺規作圓的內接正多邊形。

早在《幾何原本》一書中，歐幾里德就用尺規完成了圓內接正三邊形、正四邊形、正五邊形，甚至正十五邊形的作圖問題。

然而，似乎更容易完成的正七、九、十一邊形卻未能作出。

在歐幾里德之後的2000多年中，有關正多邊形作圖仍停留在歐幾里德的水平上，未能向前邁進一步，直到1796年年僅19歲的高斯宣佈他發現了正十七邊形的作圖方法，堪稱數學史上的奇蹟。

在經過繼續研究後，高斯運用自己的理論巧妙地將尺規作圖的幾何問題化為一個代數方程，然後通過這個方程的整數解來確定哪些正多邊形可以用尺規作出，最終在1801年對整個問題給出了一個完美的解答。

高斯指出，只用直尺和圓規作圓內接正n邊形，當n滿足如下特徵之一時方可作出：1)n＝2^m（其中m為正整數）。

2)邊數n為質數且形如n＝+1（其中t為非負整數），即n為質數的費馬數。

3)邊數n具有n＝2^mp_1p_2p_3……p_k的形式（其中p_1，p_2，p_3，……，p_k為互不相同的費馬質數）。

下面是正十七邊形作法：先計算或作出cos(360°/17)。

設正17邊形中心角為a，則17a=360°，即16a=360°-a故sin16a=-sina，而sin16a=2sin8a*cos8a=4sin4a*cos4a*cos8a=16sina*cosa*cos2a*cos4a*cos8a因sina不等於0，兩邊除之有：16cosa*cos2a*cos4a*cos8a=-1又由2cosa*cos2a=cosa+cos3a，cos15a=cos2a，cos12a=cos5a有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1令：x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有：x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cos15a)經計算知xy=-1因而：其次再設：x_1=cosa+cos4ax_2=cos2a+cos8ay_1=cos3a+cos5ay_2=cos6a+cos7a有：x_1+x_2y_1+y_2最後，由cosa+cos4a=x_1，cosa*cos4a=(y_1)/2可求cosa的表達式，它是數的加減乘除平方根的組合，故正17邊形可用尺規作出。

雖然高斯有著與生俱來的數學天分，但他的成就離不開他勤奮、嚴謹、虛心鑽研的人生態度。

我們每個人的天分是不可改變的，但是懷揣著一顆對數學無比熱枕的心能幫助我們在追求更高境界的數學的道路上走得更遠。

數學是一門極嚴謹的學科，研究者應該有縝密的邏輯思維和嚴謹的科學態度。

高斯做到了這一點，他的座右銘是「少些，但要成熟些」；他的格言「不留下進一步要做的事」。

高斯在科學研究過程中會對某一個定理多次給予不同的證明，以求最簡、嚴謹。

他說：「絕不能以為獲得一個證明以後，研究便告結束，或把尋找另外的證明當作多餘的奢侈品。

有時候你開始沒有得到最簡單和最完善的證明，但就是這樣的證明才能深入到高級算術的真理的奇妙聯繫中去，這正是吸引我們去繼續研究的主動力，並且最能使我們有所發現。

」學習數學就要像高斯那樣不馬虎，力求完美。

從高斯的身上還可以看到，學習者就需要一個適合自己的、科學的程序或者說是學習方法，去做自己最感興趣的事情，而不是盲目地追求著什麼。

高斯十二歲的時候已經開始懷疑元素幾何學中的基礎證明，當他十六歲的時候，就預測在歐式幾何外必然會產生一門完全不同的幾何學。

同樣，高斯的事例啟示我們在學習的過程中要持一種懷疑的態度，用發展的眼光看待問題，決不能循規蹈矩。

除此之外，高斯在毫不知情的情況下用一個晚上的時間解決困擾了科學家們2000多年的問題，可見，人的潛能是無限大的，要相信自己的能力。

天才是百分之九十九的汗水加上百分之一的靈感，對平凡的我們來說可能沒有那得天獨厚的才智，但是卻可以用勤奮、科學的態度彌補那百分之一的不足。

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