積分

在談積分之前，不得不複習所謂微量的概念。

任何一個量都容許些微的變動，比方說，時間是一個 ... 可以這麼說，若是想求一個量Q，積分的意義就在於把Q 表成 $\int dQ$ ...   積分 Integration   首頁|搜尋   在談積分之前，不得不複習所謂微量的概念。

任何一個量都容許些微的變動，比方說，時間是一個量，在某時刻t的時候，可以讓t再往前走一點點，或者，（假想）往後走一點點，這個「一點點」就是一個微量，通常記成，可正可負，它的值不必確定，它可以是千分之一、萬分之一、或是更小更小。

一般而言，現象通常以一個或多個量來描述，例如在t時刻時，某物的位置在x，或是當密度為ρ的時刻，某物所受的浮力為F等等。

當我們觀察兩個相關的量的時候，其中一個量微微的變化，會影響另一個量也跟著起了微微的變化，也就是說，這兩個微量（的變化）之間是相關的。

由於生活中一些具體事物的啟發，我們因此專注在理解兩個微量之間的比值。

比方說 ，又由於的大小並不確定，我們因此發展了一個令趨近於0的（求極限）處理方式，記成 稱為x對t的微分。

如果了解求微分的操作，就可以從已知的公式中，如 ，得到當x=t2時，和的比之極限是2t。

在更多的場合，我們常常喜歡使用另一種寫法，即d(t2)=2tdt，或d(x2)=2xdx（參見〈條目：微分〉)。

如果兩個量y與x之間有y=x2的關係，那麼，從d(x2)=2xdx這個關係式中，y=x2對x的微分就是2x，經常，我們把上述的觀念直接表成 。

或者，如果y=f(x)，dy=f'(x)dx。

式子 千萬不可看成只是把「dy」除以「dx」再乘以「dx」，而應該讀成「將與之比的極限表成」或者「dy與dx之比就是y對x的微分，記成」。

積分，則是一個把許多微量重新求和的概念。

例如，想求圓的面積A，如果把圓割成許多小小的扇形，這每一個小小的扇形可以籠統的以dA表達。

在分割的過程中，無論分成多麼細的扇形，它們的總和總是原來的A這個量，記成或，是的變形，它代表對無窮多個無窮小的微量求和的過程。

再說，也不能簡單的看成是一句廢話，這個式子有兩個要緊之處，其一就是剛才談過的「A是一個不變的總量」這件事，任何一個問題的處理，都要注意到所求的量是不會因為求法的不同而改變的。

其二就是的這個表示，必須要倚重另一個量才有真正的用處。

例如弧長s，我們知道一個小扇形可以看成是一個小小的等腰三角形，它的底邊近似來看是ds而腰或高的近似就是半徑r，因此 這樣一個表示同時也提醒我們dA和ds這兩個微量之間的關係，這個關係是從本文一開始就一再強調的。

知道了 ，則就是的倍，但是的意義正是求所謂圓周的總長，因此得到圓面積的公式 我們注意到，如果不能把dA表達成另一個微量ds的一個係數，那麼即便是寫下也是無法真正求出一個答案來。

可以這麼說，若是想求一個量Q，積分的意義就在於把Q表成之後，再繼續把dQ以某一個更方便的微量dP來表成 ，則 ，如果能了解，就可以掌握Q，這樣的想法和過程不僅幫我們求出答案，同時，也說明了求Q的方式不外是了解再得到Q，這個過程有人說成是求的反微分，因為是Q的微分，所以Q就是的反微分了。

至於求Q的時候要選誰當（參考量）P呢？那當然要看哪一個P才能提供最清楚的。

一般來說，問題的本身可能會提供不只一個的參考量P，但是若是不能方便的知道，如何求Q也就幫不上忙。

再以求y=f(x)的函數圖形下所覆蓋的面積A為例，如果以x為參考量的話，要如何理解呢？注意到是 的極限，也就是說要先了解當x變化到時，A究竟起了什麼變化？當然是一個近似的梯形，它的高是，下底和上底分別是y和，同時面積近似等於 ，而 近似等於 ，當趨近於0，得到 ，所以求A等於是求y=f(x)的反微分，這正是牛頓與Leibniz發現的微積分基本定理。

  對外搜尋關鍵字：．積分．牛頓．Leibniz．微積分基本定理   （撰稿：張海潮∕台大數學系） 相關網頁： 數學條目：微積分基本定理 微積分與差和分大意（蔡聰明） 人怎樣求得面積？（黃武雄） Leibniz如何想出微積分？（蔡聰明）   留言（若有指正、疑問……可利用這裡留言）   EpisteMath(c)2000中央研究院數學所、台大數學系 各網頁文章內容之著作權為原著作人所有 編輯：李渭天 最後修改日期：8/30/2001