2.3積分的定義 - 國立高雄大學統計學研究所

積分的定義. 設 為一定義在閉區間 上連續且非負的函數。

在座標平面上，由 之圖形，與二直線 、 ，及 軸所圍出之區域以 表之。

在求 之面積前，我們必須先介紹一區間之 ... a 積分的定義 　         設為一定義在閉區間上連續且非負的函數。

在座標平面上，由之圖形，與二直線、，及軸所圍出之區域以表之。

在求之面積前，我們必須先介紹一區間之分割的概念。

設有個點 將分為個子區間 我們便以符號 表上述個子區間，並稱此為之一分割。

若一分割之每一子區間皆等長，則稱此為一正規分割。

        現對區域，欲求其面積。

令為之任一分割，因為連續，可在每一子區間，分別找到及，使得為之極小值，為之極大值。

以表內接於之長方多邊形的面積，則 ， 以表外接於之長方多邊形的面積，則 。

        因每一內接於之長方多邊形，必包含於每一外接於之長方多邊形，故對任二之分割，皆有 。

因此若令，分別表下述二集合： ， ， 則中每一數皆為之一下界，且中每一數皆為之一上界。

由實數系統之最小上界公理，集合有最小上界（以lub表之），集合有最大下界（以glb表之）。

若令 ， ， 則。

若，的面積便可取為。

a 例 1. 設，為在之圖形下由至與軸所圍之區域，又設，求及。

   a         次設為上之一有界函數。

對之任一分割，令 其中，分別為在子區間之 glb及lub。

則及分別稱為於分割在之下和及上和。

又因對及，故   。

為了方便，我們以希臘字母(即之大寫)來表示差距，即為， 。

因此及可改寫為 a 定理.設為上之一有界函數，且為之任二分割。

則。

a 對上之一有界函數，仍令 ，              (1) 。

              (2) 由前定理知，中每一數皆為之一下界，而中每一數皆為之一上界。

a 定義.設為在上之一有界函數，,之定義如(1)及(2)。

則由至 之下積分，以 表之，且為 。

而由至之上積分，以 表之，且為 。

a 定理.設為上之一有界且單調之函數，則 = 。

a例 2. 設為一常數，，求在下積分及上積分。

   a 例 3. 設，求在[1,3] 之下積分及上積分。

   a 定義. 設在上有界，則稱在可積，若且唯若  = 。

若在可積，以 表之，且定義為 = =。

函數稱為積分算子。

a 定理.設函數在上可積，則在每一之閉的子區間亦可積。

a 例 4.函數在區間[2,5] 為有界且漸增，求下積分及上積分。

   a 定理.設在及 皆可積，則在 可積且   。

a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 積分的定義。

微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。