教學檔案-劉真妮老師| 多項式歷屆試題 - 育達高職

學生練習計算三次多項式f (x)除以一次多項式g (x)的餘式。

已知f (x)的三次項係數為3，一次項係數為2。

甲生在計算時把f (x)的三次係數看成2 ( 其它係數沒看錯 ) ，乙生 ... 跳到主要內容 登入|登入|登入|真妮老師教學部落格 網站選單網站選單※教師基本資料※班級經營與輔導※課程設計與教學※專業發展與責任回首頁※教師基本資料基本檔案 教育理念 ※班級經營與輔導班級公約 任課班級學生同儕分析親師互動學生輔導之專業省思班級課表※課程設計與教學教學計劃教學設計多元評量教學成效教師之專業省思學習評量與運用數與式歷屆試題 多項式歷屆試題 指數與對數歷屆試題 排列組合歷屆試題 機率歷屆試題 高三下練習卷 高三數學選修練習 ※專業發展與責任研習進修紀錄 獲獎紀錄教師專業社群參與活動紀錄學校活動參與紀錄個人各項著作新知交流 新知交流笑話 回首頁 ※課程設計與教學/學習評量與運用/多項式歷屆試題  ____年___班座號_____ 姓名：_____數學第____次段考  得分： 一、單選題：(　　)1.      設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為f(t)＝－t2＋10t＋11，其中1£t£10，則這段時間內該地區的最大溫差為(A)9  (B)16  (C)20  (D)25  (E)36答案：D解析：f(t)＝－t2＋10t＋11＝36－(t－5)2因1£t£10，故當t＝5時有最大值36；當t＝10時有最小值11⇒該地區的最大溫差為36－11＝25選(D)難易度：易出處：96學測能力指標：二次函數的極值(　　)2.      在職棒比賽中ERA值是了解一個投手表現的重要統計數值。

其計算方式如下：若此投手共主投n局，其總責任失分為E，則其ERA值為×9。

有一位投手在之前的比賽中共主投了90局，且這90局中他的ERA值為3.2。

在最新的一場比賽中此投手主投6局無責任失分，則打完這一場比賽後，此投手的ERA值成為(A)2.9　　(B)3.0　　(C)3.1　　(D)3.2　　(E)3.3答案：B解析：由題意知ERA的值為×9，故3.2＝×9⇒E＝32，若這位投手再主投6局無失分，那麼他的ERA為×9＝3，故應選(B)難易度：易出處：97學測能力指標：函數的基本觀念(　　)3.      多項式4(x2＋1)＋(x＋1)2(x－3)＋(x－1)3等於下列哪一個選項？(A)x(x＋1)2　　　　　(B)2x(x－1)2　　　　　(C)x(x－1)(x＋1)(D)2(x－1)2(x＋1)　　(E)2x(x－1)(x＋1)答案：E解析：原式＝(4x2＋4)＋(x3－x2－5x－3)＋(x3－3x2＋3x－1)　　＝2x3－2x＝2x(x2－1)　　＝2x(x－1)(x＋1)，選(E)。

難易度：易出處：100學測(　　)4.      設f(x)＝ax6－bx4＋3x－，其中a,b為非零實數，則f(5)－f(－5)之值為(A)－30　(B)0　(C)2　(D)30　(E)無法確定(與a，b有關)答案：D解析：∵f(x)＝ax6－bx4＋3x－∴　f(5)＝a×56－b×54＋3×5－，　　f(－5)＝a×56－b×54－3×5－故f(5)－f(－5)＝30難易度：中出處：96學測能力指標：多項式的值(　　)5.      方程式x4－4x3－3x2＋x＋1＝0在下列哪兩個整數之間有實數根？(A)－3與－2之間　(B)－2與－1之間　(C)－1與0之間　(D)0與1之間　(E)1與2之間答案：D解析：令f(x)＝x4－4x3－3x2＋x＋1∴故由勘根定理得知c介於0與1之間，使得f(c)＝0，即0與1之間有實數根　∴選(D)難易度：易出處：91指考乙能力指標：勘根定理(　　)6.      已知實係數多項式方程式x3＋ax2＋bx＋8＝0的三根相同，請問b的值等於下列哪一個選項？(A)6　　(B)8　　(C)10　　(D)12　　(E)14答案：D解析：設三根皆為α，則α3＝－8，故α＝－2。

於是x3＋ax2＋bx＋8＝(x＋2)3＝x3＋6x2＋12x＋8，得a＝6，b＝12，故選(D)。

難易度：易出處：101指考乙(　　)7.      試問方程式(x2＋x＋1)3＋1＝0有幾個相異實數解？(A)0個　(B)1個　(C)2個　(D)3個　(E)6個答案：A解析：〈法一〉設x為實數∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0恆成立∴(x2＋x＋1)3＋1＞0恆成立即沒有實數x使(x2＋x＋1)3＋1＝0〈法二〉(x2＋x＋1)3＋1＝0Þ〔(x2＋x＋1)＋1〕〔(x2＋x＋1)2－(x2＋x＋1)＋1〕＝0∴x2＋x＋2＝0或(x2＋x＋1)2－(x2＋x＋1)＋1＝0綜得：x沒有實根難易度：中出處：95指考甲能力指標：解多項方程式(　　)8.      設k為整數，若方程式kx2＋7x＋1＝0有兩相異實根，且兩根乘積介於與之間，則k＝？(A)11　(B)12　(C)13　(D)－11　(E)－12答案：B解析：αβ＝⇒＜＜⇒＜ £⇒12£k£14且D＝72－4．k＞0⇒4k＜49⇒k£12　∴k＝12難易度：中出處：92學測能力指標：判別式及根與係數關係 二、多選題：(　　)1.      設a，b，c為實數。

若二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖形通過(0,－1)且與x軸相切，則下列選項何者為真？(A)a＜0　　　(B)b＞0　　　(C)c＝－1　　　(D)b2＋4ac＝0　　　(E)a＋b＋c£0答案：ACE解析：因為此二次函數圖形通過(0,－1)，故可得c＝－1。

又因其與x軸相切，可知拋物線開口必向下，因此a＜0。

而與x軸相切，又表示該二次函數有重根（如附圖），所以b2－4ac＝0。

又b2＋4ac＝(b2－4ac)＋8ac＞0，所以選項(D)並不正確。

由附圖及根據上述所得之開口向下及與x軸相切，可知當x＝1時，此二次函數值必£0，因此得知a＋b＋c£0(A)(C)(E)正確難易度：中出處：90學測能力指標：二次函數與圖形間的關係(　　)2.      學生練習計算三次多項式f(x)除以一次多項式g(x)的餘式。

已知f(x)的三次項係數為3，一次項係數為2。

甲生在計算時把f(x)的三次係數看成2(其它係數沒看錯)，乙生在計算時把f(x)的一次項係數看成－2(其它係數沒看錯)，而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。

試問g(x)可能等於下列哪些一次式？(A)x　(B)x－1　(C)x－2　(D)x＋1　(E)x＋2答案：ACE解析：設g(x)＝x－a，f(x)＝3x3＋bx2＋2x＋d⇒甲生：f(a)＝2a3＋ba2＋2a＋d乙生：f(a)＝3a3＋ba2－2a＋d∵2a3＋ba2＋2a＋d＝3a3＋ba2－2a＋d　∴a3－4a＝0　∴a＝0，±2∴g(x)＝x，x－2，x＋2難易度：易出處：95學測能力指標：餘式定理(　　)3.      給定二次多項式f(x)＝x2＋ax＋b，已知多項式x3＋3x2＋4x＋2除以f(x)其餘式為3x＋2，多項式x3＋x2－x－1除以f(x)其餘式為4x＋1，請選出正確的選項。

(A)a＝3　  (B)b＝－1　  (C)方程式f(x)＝0無實根　(D)f(x)的極小值為        (E)f(x)除以(x＋3)其餘式為1答案：AE解析：(A)(B)根據題意，將x3＋3x2＋4x＋2減去餘式3x＋2為x3＋3x2＋x，     將x3＋x2－x－1減去餘式4x＋1為x3＋x2－5x－2，     則f(x)為x3＋x2－5x－2與x3＋3x2＋x的公因式，     利用分解因式得x3＋x2－5x－2＝(x2＋3x＋1)(x－2)，                     x3＋3x2＋x＝x(x2＋3x＋1)     ∴f(x)＝x2＋3x＋1，則a＝3，b＝1(C)(D)f(x)＝x2＋3x＋1＝(x＋)2－　∴f(x)最小值為－     又f(x)開口朝上，故有相異實根(E)f(x)除以x＋3的餘式為f(－3)＝9－9＋1＝1，故選(A)(E)難易度：中出處：97指考乙(　　)4.      設f(x)為三次實係數多項式，且知複數1＋i為f(x)＝0之一解。

試問下列哪些敘述是正確的？(A)f(1－i)＝0　(B)f(2＋i)≠0(C)沒有實數x滿足f(x)＝x(D)沒有實數x滿足f(x3)＝0(E)若f(0)＞0且f(2)＜0，則f(4)＜0答案：ABE解析：(A)(B)f(x)為三次實係數多項式，且知1＋i為f(x)＝0之一解Þ1－i亦為f(x)＝0的根，而另一根為實根故f(1－i)＝0，f(2＋i)≠0(C)令F(x)＝f(x)－x，則F(x)為三次實係數多項式Þ方程式F(x)＝0有一實根，即有實數x滿足f(x)＝x(D)令G(x)＝f(x3)，則G(x)為九次實係數多項式因奇次的實係數方程式至少有一實根，故有實數x滿足f(x3)＝0(E)因f(0)＞0且f(2)＜0，故方程式f(x)＝0的唯一實根在0與2之間若f(4)³0，則方程式f(x)＝0另有一實根在2與4之間，此與f(x)＝0只有一個實根不合，故f(4)＜0(A)(B)(E)正確難易度：中出處：93學測能力指標：方程式根的性質(　　)5.      設f(x)＝x4－5x3＋x2＋ax＋b為實係數多項式，且知f(i)＝0（其中i2＝－1）。

請問下列哪些選項是多項式方程式f(x)＝0的根？(A)－i　　(B)0　　(C)1　　(D)－5　　(E)5答案：ABE解析：由實係數多項式方程式虛根成對定理知f(i)＝0，則f(－i)＝0∴f(x)有因式(x－i)〔x－(－i)〕＝x2＋1由長除法得a＋5＝0且b＝0∴a＝－5，b＝0∴f(x)＝(x2＋1)(x2－5x)＝(x2＋1)x(x－5)Þf(x)＝0之另三根為－i，0，5故選(A)(B)(E)。

難易度：中出處：101學測(　　)6.      設f(x)為一實係數三次多項式且其最高次項係數為1，已知f(1)＝1，f(2)＝2，f(5)＝5，則f(x)＝0在下列哪些區間必定有實根？(A)(－¥,0)　(B)(0,1)　(C)(1,2)　(D)(2,5)　(E)(5,¥)答案：BD解析：設f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c∴　f(1)＝1＋a＋b＋c＝1，f(2)＝8＋4a＋2b＋c＝2，　　f(5)＝125＋25a＋5b＋c＝5⇒a＋b＋c＝0……j，4a＋2b＋c＝－6……k，25a＋5b＋c＝－120……lk－j得3a＋b＝－6……m，(l－j)¸4得6a＋b＝－30……n解mn得a＝－8，b＝18；代入j得c＝－10，故f(x)＝x3－8x2＋18x－10，因⇒f(x)＝0在0與1、2與3、4與5間各有1實根(B)(D)正確難易度：中出處：96學測能力指標：勘根定理(　　)7.      設f(x)＝x2＋a（1－x2）為一實係數多項式函數，a為常數。

下列敘述何者正確：(A)不論a是何值，f(x)的函數圖形都不可能是直線(B)不論a是何值，若f(x)有極值，則極值都等於a　（註：極大值與極小值統稱極值）(C)0有可能是f(x)的極大值(D)若a≠0，則f(x)＝0無重根答案：BD解析：f(x)＝(1－a)x2＋aa＝1時，f(x)＝a表一直線a≠1時，f(x)表拋物線a＞1時，f(x)有極大值a＞1a＜1時，f(x)有極小值a＜1a≠0時，a＝1：f(x)＝a≠0⇒f(x)＝0沒有根⇒沒有重根                        a≠1：f(x)＝0Ûx2＝沒有重根選(B)(D)難易度：中出處：94指考甲能力指標：多項式函數的極值與圖形(　　)8.      請問對於下列哪些選項，可以找到實數a，使得選項裡面所有的數都同時滿足一元二次不等式x2＋(2－a)x－2a＜0？(A)－1,0(B)1,2,3,…（所有的正整數）(C)－3,－4,－5,…（所有小於－2的整數）(D)97,2008　(E)－π,π（π是圓周率）答案：AD解析：x2＋(2－a)x－2a＝(x＋2)(x－a)＜0(A)為真：當a＞0時，則－1，0同時滿足不等式x2＋(2－a)x－2a＜0(B)不真：1，2，3，…（所有的正整數），則不存在這樣的a(C)不真：－3，－4，－5，…（所有小於－2的整數），則不存在這樣的a(D)為真：當a＞2008時，則97，2008同時滿足不等式x2＋(2－a)x－2a＜0(E)不真：∵－π，π分別在－2的異側，故不存在這樣的a故選(A)(D)難易度：中出處：97指考乙能力指標：二次不等式的解 三、非選題：1.         某製造玩具工廠，每次接到訂單都需開模5萬元，製造每一千個玩具材料費需2萬元，由此建立生產的基本成本函數f(x)＝5＋2x，其中x以千個為單位。

依過去經驗，接到訂單數量與報價總值有如附表關係：以此資料建立一個二次函數的報價總值函數g(x)，以及獲利函數h(x)＝g(x)－f(x)。

(1)若接到訂單為20千個，試問交貨時，每千個玩具的基本成本平均是多少萬元？(2)試求報價總值函數g(x)。

(3)根據h(x)，試問訂單數量是多少時，獲利總值最高？答案：(1)2.25萬元；(2)g(x)＝－x2＋8x；(3)30千個解析：(1)基本成本函數f(x)＝5＋2x，x＝20代入得   f(20)＝5＋2×20＝45，＝2.25(萬元)。

(2)設報價總值函數g(x)＝ax2＋bx＋c，   將(5,37.5)，(10,70)，(15,97.5)代入，   得   2－1得75a＋5b＝32.5…………………4   3－2得125a＋5b＝27.5…………………5   5－4得50a＝－5，   故a＝－，代入4得b＝8。

   將a＝－，b＝8代入1得c＝0。

   所以g(x)＝－x2＋8x。

(3)h(x)＝g(x)－f(x)＝－x2＋6x－5      ＝－(x2－60x＋302)－5＋      ＝－(x－30)2＋85∴當x＝30(千個)時，獲利總值最高為85萬元難易度：中出處：98指考乙2.         設二次實係數多項式函數f(x)＝ax2＋2ax＋b在區間－1≤x≤1上的最大值為7、最小值為3。

試求數對(a,b)的所有可能值。

答案：(1,4)或(－1,6)解析：f(x)＝ax2＋2ax＋b＝a(x＋1)2＋(b－a)，故f(x)在區間－1≤x≤1的最大、最小值發生在x＝－1或1時。

(i)當a＞0時，f(x)在區間－1≤x≤1隨x增加而增大，可知最小值發生在x＝－1處，而最大值發生在x＝1處，依題意得  ，解得(a,b)＝(1,4)。

(ii)當a＜0時，f(x)在區間－1≤x≤1隨x增加而減少，可知最大值發生在x＝－1處，而最小值發生在x＝1處，依題意得  ，解得(a,b)＝(－1,6)。

難易度：中出處：101指考乙 四、填充題：1.         一農夫想用66公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬2公尺的出入口，如下圖示。

此農夫所能圍成的最大面積為________平方公尺。

答案：289解析：設長為2x公尺，寬為＝34－2x公尺∴面積y＝2x．(34－2x)＝－4x2＋68x＝－4(x2－17x)＝－4(x－ )2＋289³289∴最大面積為289平方公尺難易度：中出處：95指考乙能力指標：二次函數的極值問題2.         若多項式x2＋x＋2能整除x5＋x4＋x3＋px2＋2x＋q，則p＝________，q＝________。

答案：3，8解析：∵整除∴Þ難易度：易出處：94學測能力指標：多項式除法3.         設多項式f(x)除以x2－5x＋4，餘式為x＋2；除以x2－5x＋6，餘式為3x＋4。

則多項式f(x)除以x2－4x＋3，餘式為______。

答案：5x－2解析：根據題意，可列出以下之關係式：設題目所求的餘式為ax＋bf(x)＝(x2－5x＋4)Q1(x)＋x＋2＝(x－4)(x－1)Q1(x)＋x＋2f(x)＝(x2－5x＋6)Q2(x)＋3x＋4＝(x－2)(x－3)Q2(x)＋3x＋4f(x)＝(x2－4x＋3)Q3(x)＋ax＋b＝(x－3)(x－1)Q3(x)＋ax＋b根據以上關係式，利用餘式定理得知f(x)除以x－1的餘式為3＝a＋bf(x)除以x－3的餘式為13＝3a＋b解聯立方程式得a＝5，b＝－2，故題目所求為5x－2難易度：中出處：90學測能力指標：餘式定理4.         設a,b為實數且　(a＋bi)(2＋6i)＝－80，其中i2＝－1。

則　(a,b)＝       。

答案：(－4,12)解析：∵　(a＋bi)(2＋6i)＝－80Þ(2a－6b)＋(6a＋2b)i＝－80∴　，由1＋2×3得20a＝－80Þa＝－4代入2得b＝12，故數對　(a,b)＝(－4,12)。

難易度：易出處：102學測5.         設f(x)為滿足下列條件的最低次實係數多項式：f(x)最高次項的係數為1，且3－2i、i、5皆為方程式f(x)＝0的解（其中i2＝－1）。

則f(x)之常數項為     。

答案：－65解析：由實係數方程式虛根成對定理知f(x)＝0的根有3－2i，3＋2i，i，－i，5∴滿足條件的最低次多項式為  f(x)＝〔x－(3－2i)〕〔x－(3＋2i)〕(x－i)(x＋i)(x－5)其常數項為(－1)4(3－2i)(3＋2i)(i)(i)(5)＝13×(－1)×5＝－65難易度：易出處：99學測能力指標：實係數方程式虛根成對定理6.         設a，b均為正整數，而方程式x2－ax＋15＝0與x2－bx＋3b－1＝0有一共同根，且此共同根為質數，則b＝_____。

答案：12解析：設此共同質數根為p，則p|15，故p＝3或5。

當p＝3時，則32－3b＋3b－1＝0(不合)。

當p＝5時，則52－5b＋3b－1＝0，得b＝12。

難易度：中出處：101指考乙7.         設a、b為實數。

已知坐標平面上拋物線y＝x2＋ax＋b與x軸交於P、Q兩點，且＝7。

若拋物線y＝x2＋ax＋(b＋2)與x軸的兩交點為R、S，則＝    。

答案：解析：設y＝x2＋ax＋b＝0之二根為p，q則，又＝7Þ|p－q|＝7Þ(p－q)2＝49Þ(p＋q)2－4pq＝49Þa2－4b＝49……1設y＝x2＋ax＋(b＋2)＝0之二根為r，s，則Þ＝|r－s|＝＝     ＝＝＝＝難易度：中出處：99學測8.         設a為實數，令α、β為二次方程式x2＋ax＋(a－2)＝0的兩個根。

試問當a為何值時，│α－β│有最小值？答案：2解析：由根與係數關係知α＋β＝－a，αβ＝a－2而│α－β│2＝(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ           ＝(－a)2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4∴當a＝2時，│α－β│有最小值2難易度：中出處：93指考乙能力指標：根與係數關係9.         設k為一整數。

若方程式kx2＋7x＋1＝0有兩個相異實根，且兩根的乘積介於與之間，則k＝________。

答案：12解析：方程式kx2＋7x＋1＝0有兩個相異實根，故72－4k＞0即k＜＝12.25……1又兩根之積為 Þ＜＜ \＜k＜即11.8¼＜k＜14.2……2由12得11.8¼＜k＜12.25，故k＝12難易度：中出處：92學測能力指標：根與係數關係10.     設a，b為正整數。

若b2＝9a，且a＋2b＞280，則a的最小可能值為______。

答案：225解析：由題中知a＝代入不等式a＋2b＞280，得＋2b＞280，b2＋18b＞2520Þ(b＋9)2＞2601＝512，所以b＋9＞51Þb＞42，當b取最小值時，a亦有最小值，但a為整數，故取b＝45，可得a之最小值為＝225。

難易度：中出處：97學測  消息公佈欄時間類別單位標題發佈全部第一頁上一頁下一頁最後一頁 臺北私立育達高職｜地址：台北市松山區寧安街12號|電話：(02)2579-6767版權所有@2014,臺北私立育達高職.Allrightreserved. X 跳至網頁頂部 網頁設計：數位果子