三角函數圖形的平移與伸縮 - 科學Online

接下來，筆者將以f(x)=\sin x 的圖形為例，來說明三角函數圖形的平移與伸縮如何作圖，. 以及平移與伸縮對圖形的基本特徵如週期、振幅與極值的影響。

圖形 ... Sunday24thJuly2022 24-Jul-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 三角函數圖形的平移與伸縮 臺北市立西松高中蘇惠玉教師 在將角度轉換成弧度之後，對於實數\(x\)，我們都可以將其考慮成弧度，進一步定義它的某個三角函數值。

例如正弦函數，對每一個實數\(x\)，定義\(f(x)=\sinx\)。

定義完六個三角函數之後，可以利用描點的方式繪出函數圖形。

例如\(y=f(x)=\sinx\)的圖形如下：    接下來，筆者將以\(f(x)=\sinx\) 的圖形為例，來說明三角函數圖形的平移與伸縮如何作圖， 以及平移與伸縮對圖形的基本特徵如週期、振幅與極值的影響。

圖形的平移 首先，考慮\(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\) 與圖形\(y=\sinx\) 的關係。

因為\(x\) 方向有變動，因此可考慮對應\(y\) 值為\(0,1,0,-1,0\)這幾個點的\(x\) 值，如下表： 描點繪出圖形如下圖中紅色之曲線， 可以看出其與\(y=\sinx\) 圖形的關係，為\(y=\sinx\) 圖形向左平移\(\frac{\pi}{2}\)。

從上圖中也可看出紅色的曲線\(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\)的圖形，與 \(y=\cosx\) 的圖形可完全重合， 因此可知\(y=\sinx\) 的圖形往左移\(\frac{\pi}{2}\)，即可得到\(y=\cosx\) 的圖形。

由正弦與餘弦的關係亦可得到它們圖形的這個特性，因為\(\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=\cosx\)。

從這個例子推廣，考慮\(y=\sin{(x-c)}\) 與圖形\(y=\sinx\) 的關係， 以\(y=\sinx\) 圖形為基礎，\(c>0\)時，圖形往右移\(c\) 單位；當\(c<0\) 時，圖形往左移\(c\) 單位。

接著是\(y\) 方向的平移，考慮\(y=\sinx+1\) 與\(y=\sinx\) 兩圖形的關係。

先利用描點繪出\(y=\sinx+1\) 的圖形：   繪出圖形如上右圖中紅色之曲線， 可以看出其與\(y=\sinx\) 圖形的關係，為\(y=\sinx\) 圖形向上平移\(1\)單位， 此時函數的極大值為變為\(2\)，極小值為\(0\)。

從這個例子推廣，考慮\(y=\sinx+d\) 與圖形\(y=\sinx\) 的關係， 以圖形\(y=\sinx\) 為基礎，\(d>0\) 時，圖形往上移\(d\) 單位； 當 \(d<0\)時，圖形往下移\(d\) 單位，此時函數的極值會產生變化。

圖形的伸縮 考慮\(y=\sin{2x}\) 與\(y=\sinx\) 圖形的關係。

因為\(x\) 方向有變動，因此可考慮對應\(y\) 值為\(0,1,0,-1,0\)這幾個點的\(x\) 值，如下表： 描點繪出圖形如上右圖中紅色之曲線，可以看出與\(y=\sinx\) 圖形的關係， 其圖形為\(y=\sinx\)圖形以原點為伸縮中心，\(x\) 方向伸縮\(\frac{1}{2}\) 倍（\(x’=\frac{1}{2}x\)）。

因此原本\(y=\sinx\) 圖形的週期為\(2\pi\)，經過壓縮，可得\(y=\sin{2x}\) 圖形的週期為\(\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

從這個例子推廣，考慮當\(b>0\) 時，\(y=\sin(bx)\) 與\(y=\sinx\) 圖形的關係， 以\(y=\sinx\) 圖形為基礎，原點為伸縮中心，作\(x\) 方向的伸縮，其週期變為\(\frac{2\pi}{b}\)。

當\(b<0\) 時，只須再考慮對\(x\) 軸作對稱即可， 以\(y=\sin{(-2x)}=-\sin{2x}\) 為例，其圖形如下： 接著是\(y\) 方向的伸縮。

考慮考慮\(y=2\sinx\) 與\(y=\sinx\) 兩圖形的關係。

先利用描點繪出\(y=2\sinx\) 的圖形：   繪出圖形如上右圖中紅色之曲線，可以看出其與\(y=\sinx\) 圖形的關係， 為\(y=\sinx\) 圖形以原點為伸縮中心，\(y\) 方向伸縮\(2\)倍（\(y’=2y\)）。

因此原本\(y=\sinx\) 圖形的振幅為\(1\)，經過伸縮，可得\(y=2\sinx\) 圖形的振幅\(1\times2=2\)。

從這個例子推廣，考慮當\(a>0\) 時，\(y=a\sinx\) 與\(y=\sinx\) 圖形的關係， 以\(y=\sinx\)圖形為基礎，原點為伸縮中心，作\(y\) 方向的伸縮，其振幅變為\(a\)。

當\(a<0\) 時， 只須再考慮對\(x\) 軸作對稱即可，以\(y=-2\sinx\) 為例，其圖形如下： 當\(x\) 方向的平移與伸縮同時進行時，要特別注意其平移量的多寡。

例如\(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 的圖形，考慮原本\(y=\sinx\) 圖形中之\((0,0)\)這個點的變化， 當\(2x-\frac{\pi}{2}=0\) 時，\(y=0\)，此時\(2x=\frac{\pi}{2},x=\frac{\pi}{4}\)， 亦即\(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 為\(y=\sinx\) 的圖形右移\(\frac{\pi}{4}\) 後再作\(x\) 方向伸縮\(\frac{1}{2}\) 倍。

也就是說，要將\(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 化成\(y=\sin{(2(x-\frac{\pi}{4}))}\)來考慮。

  綜合論之，考慮\(y=a\sin{[b(x-c)]}+d\) 圖形與\(y=\sinx\) 圖形的關係， 在原本的\(y=\sinx\)圖形中，振幅變為\(|a|\) 倍；週期變為\(\frac{2\pi}{|b|}\)； 當\(c>0\) 時，往右移\(c\) 單位，當\(c<0\) 時，往左移\(c\) 單位； 當\(d>0\) 時，往上移\(d\) 單位，當\(d<0\) 時，往下移\(d\) 單位，此時函數的極值會產生變化。

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