理想低通濾波器、Butterworth濾波器和高斯濾波器(matlab)

理想低通濾波器在以原點爲圓心、D0爲半徑的園內，通過所有的頻率，而在圓外截斷所有的頻率。

（圓心的頻率最低，爲變換的直流(dc)分量）。

函數如下：. 可以 ... 請輸入正確的登錄賬號或密碼 註冊 忘記密碼 首頁 數字圖像處理（matlab） 正文 理想低通濾波器、Butterworth濾波器和高斯濾波器(matlab) 原創 执剑者罗辑 2018-09-0318:00 一、簡介我們知道，在一幅圖像中，其低頻成分對應者圖像變化緩慢的部分，對應着圖像大致的相貌和輪廓。

而其高頻成分則對應着圖像變化劇烈的部分，對應着圖像的細節（圖像的噪聲也屬於高頻成分）。

低頻濾波器，顧名思義，就是過濾掉或者大幅度衰減圖像的高頻成分，讓圖像的低頻成分通過。

低頻濾波器可以平滑圖像，慮去圖像的噪聲。

而與此相反的高頻濾波器，則是過濾低頻成分，通過高頻成分，可以達到銳化圖像的目的。

理想低通濾波器的濾波非常尖銳，而高斯低通濾波器的濾波則非常平滑。

Butterworth低通濾波器則介於兩者之間，當Butterworth低通濾波器的階數較高時，接近於理想低通濾波器，階數較低時，則接近於高斯低通濾波器。

下面我們所說的都是對應於二維圖像處理的情況。

二、這三種濾波器的相關介紹在這三種低通濾波器的表達式中，我們都用D0來表示其截止頻率。

D(u,v)表示距離頻率矩形中心的距離。

我並沒有說明振鈴現象產生的原因，只是說明了什麼情況下振鈴現象較爲明顯。

1.理想低通濾波器（ILPF）理想低通濾波器在以原點爲圓心、D0爲半徑的園內，通過所有的頻率，而在圓外截斷所有的頻率。

（圓心的頻率最低，爲變換的直流(dc)分量）。

函數如下：可以看出，理想低通濾波器的過渡非常急劇，會產生振鈴現象。

2.Butterworth低通濾波器函數表達式如下（在有些書中，Butterworth的函數的平方纔等於右邊的表達式，在這裏我們按照課本的寫法，計算較爲方便），其中n稱爲Butterworth低通濾波器的階數：從濾波器的函數圖中，我們可以看出其過渡沒有理想低通濾波器那麼劇烈，從圖(c)中可以看出，階數越高，濾波器的過度越劇烈，振鈴現象將越明顯。

3.高斯低通濾波器(GLPF)函數表達式如下：高斯濾波器的過度特性非常平坦，因此不會產生振鈴現象。

三、頻域濾波步驟1.基本步驟1.給定一幅大小爲m*n的圖像f(x,y)。

選擇適當的填充參數P和Q，一般令P=2m，Q=2n。

2.對圖像f(x,y)填充0，填充後得到圖像大小爲P*Q的圖像fp(x,y)。

3.用(-1)^(x+y)乘以fp(x,y)將其移到變換中心（中心化）。

4.計算fp(x,y)的DFT，得到F(u,v)。

 5.生成一個實的，對稱的濾波函數H(u,v)，大小爲P*Q，中心在(P/2,Q/2)處。

然後相乘（矩陣點乘）得到G(u,v)=H(u,v)F(u,v)。

6.對G(u,v)反傅里葉變換，然後取實部，再乘以(-1)^(x+y)進行反中心變換最後得到gp(x,y)。

7.提取gp(x,y)左上角的m*n區域，對提取的部分進行標準化處理，得到最終的結果圖像g(x,y)。

2.相關步驟說明1.對圖像進行0填充，得到大小爲P*Q的圖像，主要是爲了避免在循環卷積中出現的纏繞錯誤。

當兩個矩陣大小相同時，P≥2m-1，Q≥2n-1時可以避免環繞錯誤。

由於對於偶數尺寸的矩陣計算其傅里葉變換較快，因此P取2m，Q取2n。

2.圖像乘以(-1)^(x+y)，再對圖像進行傅里葉變換可以得到將原點移到中心的傅里葉變換。

這樣，對於F(u,v)來說，中心的頻率最低，四周的頻率較高。

每一點的值表示該頻率對於的幅度。

在matlab中，也可以不乘以(-1)^(x+y)，直接對填充後的圖像進行傅里葉變換，之後使用fftshift函數對其傅里葉變換進行中心化。

得到的結果是一樣的。

3.由於圖像是一個實函數，所以其傅里葉變換是一個旋轉對稱的傅里葉變換。

4.關於對稱中心。

課本中指出，對於一個長度爲M的一維序列，當M爲偶數時，位置0和M/2呈現零的特性，當M爲奇數時，只有位置0呈現零的特性。

因此，在matlab中，由於矩陣下標是從1開始的，我們的P=2m，Q=2n。

因此中心點的位置爲(P/2+1,Q/2+1)，即(m+1,n+1)。

5.標準化處理。

對最終得到的圖像每一點的值進行處理。

使其範圍變爲[0,255]的uint8。

或者[0,1.0]的double值。

四、matlab代碼實現Butterworth低通濾波器在使用matlab代碼的實現過程中，對於這三種低通濾波器，只是在實驗低通濾波器函數H(u,v)的代碼中有部分不同，其他部分一致。

因此，在下面中，只給出實現Butterworth低通濾波器的代碼，不給出其他兩種濾波器的代碼。

1. Butterworth濾波器的代碼如下：該函數爲Bfilter，輸入爲需要進行Butterworth濾波的灰度圖像，Butterworth濾波器的截止頻率D0以及Butterworth濾波器的階數n。

輸出爲進行濾波之後的圖像（圖像的值已經歸一化到[[0,255]）。

function[image_out]=Bfilter(image_in,D0,N) %Butterworth濾波器，在頻率域進行濾波 %輸入爲需要進行濾波的灰度圖像，Butterworth濾波器的截止頻率D0，階數N %輸出爲濾波之後的灰度圖像 [m,n]=size(image_in); P=2*m; Q=2*n; fp=zeros(P,Q); %對圖像填充0,並且乘以(-1)^(x+y)以移到變換中心 fori=1:m forj=1:n fp(i,j)=double(image_in(i,j))*(-1)^(i+j); end end %對填充後的圖像進行傅里葉變換 F1=fft2(fp); %生成Butterworth濾波函數，中心在(m+1,n+1) Bw=zeros(P,Q); a=D0^(2*N); foru=1:P forv=1:Q temp=(u-(m+1.0))^2+(v-(n+1.0))^2; Bw(u,v)=1/(1+(temp^N)/a); end end %進行濾波 G=F1.*Bw; %反傅里葉變換 gp=ifft2(G); %處理得到的圖像 image_out=zeros(m,n,'uint8'); gp=real(gp); g=zeros(m,n); fori=1:m forj=1:n g(i,j)=gp(i,j)*(-1)^(i+j); end end mmax=max(g(:)); mmin=min(g(:)); range=mmax-mmin; fori=1:m forj=1:n image_out(i,j)=uint8(255*(g(i,j)-mmin)/range); end end end2.測試代碼如下測試時Butterworth濾波器的階數爲2。

截止頻率分別爲10,30,60,160,460。

clearall; closeall; clc; image1=imread('3.bmp'); image2=Bfilter(image1,10,2); image3=Bfilter(image1,30,2); image4=Bfilter(image1,60,2); image5=Bfilter(image1,160,2); image6=Bfilter(image1,460,2); %顯示圖像 subplot(2,3,1),imshow(image1),title('原圖像'); subplot(2,3,2),imshow(image2),title('D0=10,n=2'); subplot(2,3,3),imshow(image3),title('D0=30,n=2'); subplot(2,3,4),imshow(image4),title('D0=60,n=2'); subplot(2,3,5),imshow(image5),title('D0=160,n=2'); subplot(2,3,6),imshow(image6),title('D0=460,n=2');3.運行結果如下，可以看出，與課本給出的結果一致。

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