[基礎數學] 關於數學證明的一點點思路(I) - 謝宗翰的隨筆

以往在工學院學習的數學，較偏重在計算與應用部分，對於證明較少著墨， 有時因為時間關係，很容易把定理的結果直接使用，自動跳過證明，假設它是對的 ... 跳到主要內容 [基礎數學]關於數學證明的一點點思路(I) 6月16,2013 以往在工學院學習的數學，較偏重在計算與應用部分，對於證明較少著墨， 有時因為時間關係，很容易把定理的結果直接使用，自動跳過證明，假設它是對的先用再說。

這樣的方法雖然在當下節省很多時間，但對於學習其實並不是很好。

也讓自己後來在學習較高等的數學時吃足了苦頭； 最大的困難我想就是在一開始接觸抽象化&嚴格證明的時候，常常會發生儘管"自認"已經對定義相當清楚，但等到做題的時候，仍然對證明之中每個推理與邏輯間思路的連結沒有頭緒。

這種事在初學的時候實在是很大的挑戰。

不過其實數學證明是有規則可循的，這很類似於下棋，比如說我們下棋之前(EX西洋棋、圍棋、象棋等等棋類)，我們都必須先學會各種棋子對應的規則，才能開始去想下棋的策略與戰勝對手的妙方，事實上，對於數學證明也是如此，如果規則(定義)不懂，定理不明，看到題目就埋頭苦證，拼命思考各種技巧與策略(反證法、逆否命題、數學歸納法、直接證法)，我想也很難有所突破。

因為根本就不清楚你的敵人是誰(也就是根本不清楚到底要證明甚麼!?) 尤有甚者，就算看了解答也是常常不明白作者為何可以甚麼都不說就從某一步會跳到某一步，這其實最根本的原因就是定義不清所導致的問題。

先總結一個重要概念。

證明之前先問自己 是否已經清楚"基本定義" !?  Comments: 1.對於想要了解一般證明策略的讀者，建議可略過此文直接閱讀 關於數學證明的一點點思路(III)-Forward-backwardmethod。

2.除了基本定義之外，兩種"量詞"(quantifier:"forall"與"thereexists")的掌握也是證明中極為重要的技巧，但這篇文章重點不在此故不贅述。

有興趣的讀者可參閱DanielSolow,HowtoReadandDoProofs:AnIntroductiontoMathematicalThoughtProcesses2e,2001 3.關於清楚明白定義的重要性，讀者可直接參閱此篇 [數學分析]淺談MetricSpaceandTopology 以下文章將專注在清楚定義之後，邏輯間思路的連結。

我們先看個簡單的例子 ------------ Example1 考慮下列兩個已知假設為真： 1.所有生物都會死 2.人是生物 試證人會死。

------------ Proof： [證明1]已知人是生物，又已知所有生物都會死，故人會死。

$\square$ 或者 [證明2]已知所有生物都會死，又已知人是生物，故由"所有生物都會死"可得人會死。

$\square$ Comment: 在數學教科書或者文獻上，作者常將主要的結果用定理(Theorem)，或者前置定理(Lemma)，又或者衍生定理(Corollary)來描述。

而其中最重要的結果是定理。

一個數學的定理包含假設(Hypothesis)與結論(Conclusion)：若以Example1來看，則假設的部分為“所有生物會死”與“人是生物”，結論的部分則為“人會死”。

此結果可被稱為一個定理。

現在看看下面這個(不太)簡單的數學證明思路 一般而言，在證明某個結果之前，我們可能會知道(或者嘗試去找到)某些已知的結果與我們的假設或者待證目標有直接或間接相關。

現在假設我們事先已知下列三個結果 (我們稱為定理)。

------------ Example2 已知 定理X:$P\;\&\;T\RightarrowR$ 已知 定理A: $P \RightarrowS$ 已知 定理B: $S\;\&\;Q\RightarrowT$ 試證：若$P,Q$成立，則$R$成立。

------------ NOTE:上述陳述中使用的$P\RightarrowQ$在數學上表示If$P$then$Q$; Proof: 一般而言，一個好的習慣是先寫下已知假設(hypothese)以及待證的目標(conclusion)，故我們寫下： 已知假設:$P\;\&\;Q$ 待證目標:$R$ 那現在我們的目標就是如何從已知假設 $P\;\&\;Q$ 透過一連串的邏輯推理，推到結果為$R$會成立。

故唯一要做的事情就是把彼此之間的關聯性用"邏輯"連結起來。

步驟如下: Step1:讓$P,Q$成立。

Step2:觀察手邊工具。

首先由於定理A 告訴我們若$P$成立，則$S$成立，讀者可發現此定理直接與我們手邊有的假設$P$相關，故我們可以馬上使用 定理A 得到 \[ P\RightarrowS \]所以現在變成已知 $P\;\&\;Q$$\RightarrowS$ Step3:由於我們手邊已經有了$P,Q$以及$S$，觀察手邊工具可發現與前述相關的 定理B ：$S\;\&\;Q\RightarrowT$。

也就是說我們現在手邊能得到的所有邏輯推理關係為已知 $P\;\&\;Q$$\RightarrowS$ 且$S\;\&\;Q\RightarrowT$(by 定理B)；故合併兩者我們可馬上推至$T$的結果。

Step4:現在再度觀察上述結果，發現 定理X 告訴我們 $P\;\&\;T\RightarrowR$，此即為我們要證明的目標，故將此 定理X 用上去Step3，便可推得證欲證的$R$至此證明完畢。

$\square$ 想法圖如下" 證明想法圖 Ref: RobertS.Strichartz, "TheWayofAnalysisrevisededition", 延伸閱讀: [分享]關於數學證明的一點點思路(I)-基本思路 [分享]關於數學證明的一點點思路(II)-反證法的時機 [分享]關於數學證明的一點點思路(III)-Forward-backwardmethod 數學語言常見的符號表-Wikipedia 數學證明-Wikipedia 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 標籤 基礎數學 數學 數學分析 MathematicalAnalysis MathematicalProof 標籤： 基礎數學 數學 數學分析 MathematicalAnalysis MathematicalProof 位置： 美國威斯康辛州麥迪遜 分享 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 留言 Unknown2021年2月14日下午6:58講的真好!!!!qwq回覆刪除回覆回覆新增留言載入更多… 張貼留言 這個網誌中的熱門文章 [數學分析]淺談各種基本範數(Norm) 4月15,2010 這次要介紹的是數學上一個重要的概念：Norm：一般翻譯成範數(在英語中norm有規範的意思，比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件做正規化，也就是加上規範使其正常化)，不過個人認為其實翻譯成範數也是看不懂的...這邊建議把Norm想成長度就好(事實上norm是長度的抽象推廣)，也許讀者會認為好端端的長度不用，為何又要發明一個norm來自討苦吃??既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的：比如說現在想要比較兩個數字$3$,$5$之間的大小，則我們可以馬上知道$3<5$；同樣的，如果再考慮小數與無理數如$1.8753$與$\pi$，我們仍然可以比較大小$1.8753