沒有人明白的數學證明能否成立？ - 關鍵評論網

傳統上，數學證明是一組論證，可以使用的前提包括理應是「不證自明」、所有人都接受的公理（axiom），以及其他已被證明的數學定理，再透過邏輯推論、數學 ... 集團資訊關於我們集團介紹我們的團隊旗下媒體關鍵評論網everylittled.INSIDE運動視界Cool3c電影神搜未來大人物歐搜哇商益旗下節目多元服務Ad2Taketla拿票趣關鍵議題研究中心Cr.EDShareParty達思智能科技士奇傳播與我們合作內容行銷與廣告業務異業合作原創內容暨內容媒體業者合作加入我們新聞中心2018/10/04,科學PhotoCredit:FrancesRoberts/LevineRobertsPhotography/Newscom/達志影像KayueFactcheckLab執行編輯，曾任《關鍵評論網》編輯，最想寫的還是數學。

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立即支持近來數學界有兩宗大新聞。

一是曾獲數學界最高榮譽菲爾茲獎（FieldsMedal）和阿貝爾獎（AbelPrize）、年屆89歲的大數學家阿蒂亞（MichaelAtiyah）宣稱已解決世紀難題「黎曼猜想」（RiemannHypothesis），並在演講中介紹自己的證明。

不過數學界並不看好他的證明成立。

[1]另一則是今年剛獲得菲爾茲獎的舒爾斯（PeterScholze）與數學家史迪思（JakobStix）合撰報告，指京都大學教授望月新一2012年放上網路、以其自創數學理論證明「abc猜想」的數百頁論文中有「無法修補」的漏洞，因此猜想仍然懸而未決。

[2] 不過，數學不是一門明確的學科嗎？一切內容應該寫得清楚明白，為甚麼會有「這到底算不算證明了」的爭議？沒有人能夠明白的數學證明，還算成立嗎？這得由「甚麼是數學證明」說起。

公理系統傳統上，數學證明是一組論證，可以使用的前提包括理應是「不證自明」、所有人都接受的公理（axiom），以及其他已被證明的數學定理，再透過邏輯推論、數學運算，最後得出想要證明的數學命題——這時候，該命題便是正式的數學定理了。

這種「公理方法」最早可追溯自古希臘數學家歐幾里德（Euclid）的經典著作《幾何原本》（Elements），他在書中列出公理和定義，然後一步一步推導出不少定理，例如著名的畢氏定理（Pythagoreantheorem）。

學界普遍相信歐幾里德並非獨自發現書中定理，而是整理當時已知的數學結果。

在公元前約300年寫成的《幾何原本》長時間以來是西歐國家的重要課本，書中所用的公理方法亦被視為數學證明的典範。

[3]中世紀的伊斯蘭數學家亦發展出重要的算術和代數技巧，使證明不再單靠幾何直覺。

但《幾何原本》的系統亦非完全無誤，除了證明中一些錯處外，歐幾里德有時暗中使用了一些假設而未有明確列出，例如柏齊公理（Paschaxiom）[4]或連續性公理（continuityaxiom）。

既然再嚴謹的人也有可能走眼，以致證明的步驟之間有漏洞——而且這還是相對簡單的歐氏幾何，現代數學要複雜得多——那麼如何能夠確保證明無誤？形式系統到了19世紀末，數學界開始出現一場危機。

樸素集合論的一些悖論——例如著名的「羅素悖論」（Russell'sParadox）——令數學家擔心數學的基礎隱含矛盾，開始研究如何為數學奠下穩固的根基。

數理邏輯及集合論在這段期間發展迅速，逐漸成為數學界的主流語言。

數學家希爾伯特（DavidHilbert）提倡以純符號操作的「形式系統」（formalsystem）重構涉及無限的數學，再用數學方式去研究這個系統的符號變化，企圖證明不會推導出代表矛盾句（例如「0=1」）的公式，從而確保數學根基穩妥。

簡單來說，一個形式系統會規定可以用的符號，這些符號組合起來就稱為「公式」，其中能夠由系統推導出來的公式就稱作「定理」。

形式系統包含變換規則，會清楚列出如何把一條定理中的符號改變，從而得出另一條定理。

當然，系統亦會首先「免費」提供一些定理，符合特定條件的公式可以成為「公理」（公理也是一種定理）。

形式系統是希望把數學中「由公理出發，推導出結論」的證明方法，以一種抽象方式嚴格定義，讓數學家可以用數學方法去研究數學本身。

而形式系統中的證明——簡稱為「形式證明」——就是一串順序排列的公式，每一句要麼是系統中的公理，或者由較早出現的公式應用變換規則得出來。

理想和現實回到如何確保證明無誤的問題。

如果能夠把用文字及數學公式寫成的證明「翻譯」成純粹符號組成的形式證明，那麼，檢查證明是否成立的工作，便可化約為檢查公式之間的符號改變是否合乎規則——後者理應像下棋時，檢查每一步棋有否遵守規則一樣簡單。

在形式證明之中，每一步驟之間的變化減至最小，就只是按規則增加、刪除或轉換公式中的符號，這樣就能夠避免數學家一不留神在證明中犯錯——例如用上未寫清楚的假設、推導過程有誤等。

嚴格來說，只要知道形式系統的規則，不懂數學的人都可以檢查證明。

理論上，形式證明可以確保嚴謹，避免推理過程有漏洞。

可是在絕大多數的數學書、期刊論文上，你不會見到形式證明，數學界所使用的證明仍然以文字及數學公式為主，原因很簡單︰純粹由符號構成的形式證明並不實用，把所有細節都寫出來會令證明又長又繁瑣，令作者或讀者均不好受。

相比之下，混合文字解說與數學公式的非形式證明，在大部分情況下能夠兼顧「嚴謹」及「易讀」兩項要求（當然是否真正易讀，也得視乎作者寫作功力和讀者知識水平）。

當然，那些數學證明應該能夠「翻譯」成形式證明，不過在有人（或機械）把形式證明寫出來檢驗之前，這想法仍只是個信念——雖有大量證據支持，可是兜了一大個圈，似乎還是難以確保證明絕對嚴謹無誤。

另一個定義現實中無法使用理想的形式證明，可見數學證明應該不只是形式證明，那麼應該如何判斷證明是否成立？我們不妨考慮數學證明實際上扮演甚麼角色。

除了上文提到傳統上「由公理出發、以邏輯推導的論證」外，亦有人把「數學證明」定義為「用來說服數學界（相關領域專家）某數學命題成立的論證」[5]，而判斷證明是否成立的標準，就取決於能否說服到數學界。

12»全文閱讀不想分頁？試試看我們的新服務猜你喜歡Tags：數學數學證明證明形式系統數學哲學形式證明哥德爾不完備定理形式主義黎曼猜想ABC猜想望月新一MichaelAtiyah數學家幾何原本歐幾里得幾何學公理推理邏輯More...Sponsored2022/08/05,科技PhotoCredit:TNLBrandStudio 廣編企劃由關鍵評論網媒體集團《業務團隊》製作，由各品牌單位贊助。

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