5分钟彻底了解排列组合 - 知乎专栏

如果要想在n 个物品中，按顺序的选择k 个物品，那么选择的方式总共有这么多种：. 至此，排列的计算公式怎么来的应该清楚了吧。

接下来讲组合. 同样还是 ... 首发于机器学习漫谈无障碍写文章登录/注册看完本篇文章，保证你彻底理解「排列」「组合」这两个相爱相杀的概念到底有何区别。

排列英文名叫Arrangement或者Permutation，本文采用更fancy的Permutation来表示排列，下文统称为P。

组合英文名叫Combination，下文统称为C。

P和C的本质区别在于：决策的顺序对结果有没有影响。

下面举例说明现在有8个人，他们的名字分别为：AliceBobCatherineDonaldElizabethFloriaGatesHinton现在有3个奖杯，本别为Golden金牌，Silver银牌，Bronze铜牌。

我们的任务是：将这3个奖牌颁发给8个人中的3个，先颁发金牌，再颁发银牌，再颁发铜牌。

问颁发奖牌的不同方式总共有哪些？那么很明显，这是一个Permutation排列的问题，因为把金牌先颁给Alice，再把银牌颁给Bob，跟把金牌先颁给Bob，再把银牌颁给Alice这是两种不同的颁奖方式。

好了，现在假设我们先把金牌颁发给Alice，再把银牌颁发给Bob，再把铜牌颁发给Catherine：第一步：颁发金牌️，可以在8个人中任选一个，有8种选择。

A可以被替换为BCDEFGH中的任何一个。

第二步：颁发银牌，可以在除去已经获得金牌的人之外的7个人中任选一个，有7种选择。

第三步：颁发铜牌，在已经获得金牌、银牌的两个人之外的6个人中任选一个，有6种选择。

那么很明显，总共的颁奖方式有8*7*6种以此类推，假如我们现在要颁发8个奖牌给8个人，那么我们会按照上述方法，每次颁发一种奖牌，直到奖牌被颁发完为止，这样，颁发奖牌的方式总共有：8*7*6*5*4*3*2*1种但是，我们只颁发3个奖牌就不颁发了呀，怎么才能在乘到5那里停止呢？很明显，摆脱5*4*3*2*1即可，我们的做法是：把这个尾巴除掉就行啦！也就是：这个公式相当于在说：我们只使用8个数字的前3个！那么，如果我们现在有n个运动员，要按顺序地颁发k个奖牌，有多少不同的颁奖方式呢？答案是：至此，我们得到：如果要想在n个物品中，按顺序的选择k个物品，那么选择的方式总共有这么多种：至此，排列的计算公式怎么来的应该清楚了吧。

接下来讲组合同样还是颁奖，这次我们颁的不是金、银、铜牌，而是3个一模一样的可乐瓶，不好意思，主办方真的就是来搞笑的，可乐瓶真的nobodycares，所以给谁先颁奖后颁奖，结果都是一样的，Alice先颁发到一个可乐瓶、Bob后拿到，跟Bob先拿到一个可乐瓶、Alice后拿到，两种结果都是一样的。

那么在8个人当中选3个人颁发一样的可乐瓶，有多少种颁发方法呢？在上面排列的基础上，也就是给三个人颁发的是不同的奖杯，最终选出的三个人，拿奖是有顺序的，也就是，最后计算出来的所有方法中，把三个奖杯的放置顺序进行了排列。

但是现在，如果颁发的是可乐瓶，那么，获奖的顺序变得不再重要，谁先得，谁后得，结果都是一样的。

上面排列的结果已经把不同颁发顺序视作不同颁发方法了，现在，3个人中，不同的颁发顺序都是同一种！所以，我们只需要把「上一步排列获得的结果」除以「不同颁发顺序的总数」，得到的就是可乐瓶颁发方法的总数。

不同颁发顺序的总数有3！种所以，总共有这么多种：继续，如果要想在n个物品中，选择k个物品出来，选择的顺序无所谓，那么选择的方式总共有这么多种：C(n,k)也记作：ok，至此我想你们应该懂得排列跟组合的区别，以及他们的计算公式是怎么来的吧？如果对你有帮助，欢迎给我点赞编辑于2019-10-2110:36数学统计学通俗解释​赞同4065​​243条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录机器学习漫谈接地气地分享机器学习和跟数据打交道的那些事儿