4.5微分之應用問題 - 國立高雄大學統計學研究所

至此我們可說已具備微分的基本工具。

對所擬解決的一實際問題，我們就是要利用適當的已知結果，然後將該問題解出。

a. 例1.用鋁片做容量 之圓柱形罐，用什麼尺寸才可使 ... 微分之應用問題  a         至此我們可說已具備微分的基本工具。

對所擬解決的一實際問題，我們就是要利用適當的已知結果，然後將該問題解出。

  a 例 1.用鋁片做容量之圓柱形罐，用什麼尺寸才可使材料最省。

     a 例 2.（1）選取二非負數，使其和為1，且平方和最大； （2）選取二非負數，使其和為 1，且平方和最小。

   a 例 3.在平面上有一拋物線，在軸上有一定點。

求拋物線與最接近的點。

   a 例 4.某校應用數學系欲租遊覽車一部旅行。

公司出租費的算法是，每車基本費5000元，每有名乘客須多付元。

另外，旅館費定價每人1000元，每超過40人，每人可少付超出人數6 倍之減價優待（例：45人時，每人房錢1000-6(45-40)=970）。

遊覽車最多只能坐60位旅客。

問旅客多少時，每人平均負擔最少？   a 例 5.給定三角形之一邊長及面積，求其周長最小者。

   a 例 6.設平面上有、二點在一直線之同一側。

在此直線上求一點，使此點至， 二點之距離和最小。

   a 例 7.設有一圓錐的桶子，高為4公尺，底半徑為5公尺，以每小時3立方公尺的速率注水入其中。

令表在時間水之高度，求時，。

    a 例 8.某人坐在岸邊釣魚，岸離水面30呎。

當釣到魚時，收釣線的速度為每秒2呎。

求線長為50呎時，魚沿水面之速度。

   a 例 9.設一飛機之高度為7哩，水平等速飛行速度為每分鐘10哩。

某人在地面點觀測飛機，求當飛機距此人水平距離為24哩時，觀測角度之變化。

   a         在很多應用問題中，常會遇到需解方程式之根的時候。

底下我們提供一找根之近似解的方法，稱之為牛頓法。

        設為一可微函數，我們想找之根。

先找一接近根的數，以表之，此可利用勘根定理來尋找。

欲找一更接近根的值，作過之圖形上的點之切線，並交軸於。

切線之方程式為 。

令便求出截距，即 。

然後自出發，重複上述步驟，依序得 直至精確度為我們所滿意。

不過，若起始值找得不好，依序得到的 可能離根很遠。

        又與有下述關係，這是牛頓法的遞迴公式。

。

（1） 在適當的條件下，時，會趨近至之一根(並且收歛得很快)。

我們先看下圖。

設為之一根，如圖，若在附近，之圖形為上凹，則宜取在的右側，如此才會愈來愈接近。

其他的情形也很容易由圖形判斷取在何處較佳。

        設在之一鄰域中，連續，且、不為0。

因，泰勒展式為(取，) ， 其中介於與間。

將上式每一項各除以，得 ， 由上式又得 ，（2） 其中第一等式是由（1）式而來。

        與的正負情況共有四種組合，我們只討論其中一種，其餘三種情況的討論類似。

        假設在前述中，，則由（2）式知。

若亦成立，則因為漸增，，故由（1）式又得。

因此 為一單調且有界的數列，因此存在，以表此極限值。

次在（1）式中兩側令，得 。

即得由牛頓法得到的數列 的確會趨近至的一個根。

 a         其次看牛頓法求根的誤差。

        首先由均值定理得(利用) ， 其中介於與間。

故若，其中為一常數，則 。

因當夠大時，很接近，因此很接近，故上式當夠大時，可用來作誤差之一很好的估計值。

        次由（2）式得 。

因此若，，其中、為二常數，則得 。

故若不大，由上式可看出趨近至的速度相當快。

上式亦可做為誤差之估計。

 a 例 10.求 之一近似根。

     a 例 11.令 。

求 之近似值。

（1）用牛頓法做三次並估計誤差； （2）若要誤差小於 ，問需以牛頓法做幾次？     a 例 12.求 之根至小數第三位。

     a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  微分之應用問題。

微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。