边值问题- 维基百科，自由的百科全书

在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。

边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。

圖中的區域為微分方程有效的區域，且函數在 ... 边值问题 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索   「边界条件」重定向至此。

關於軟體測試時有關邊界的測試方式，請見「邊界案例」。

圖中的區域為微分方程有效的區域，且函數在邊界上的值已知 在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。

边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。

物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。

許多重要的边值问题屬於Sturm-Liouville問題。

這類問題的分析會和微分算子的本徵函數有關。

在实际应用中，边值问题应当是适定的（即：存在解，解唯一且解會隨著初始值連續的變化）。

許多偏微分方程領域的理論提出是為要證明科學及工程應用的許多边值问题都是适定問題。

最早研究的边值问题是狄利克雷问题，是要找出调和函数，也就是拉普拉斯方程的解，後來是用狄利克雷原理找到相關的解。

目录 1說明 2边值问题的種類 3参考文献 4参见 說明[编辑] 边值问题類似初值問題，边值问题的條件是在區域的邊界上，而初值問題的條件都是在獨立變數及其導數在某一特定值時的數值（一般是定義域的下限，所以稱為初值問題）。

例如獨立變數是時間，定義域為[0,1]，边值问题的條件會是 y ( t ) {\displaystyley(t)} 在 t = 0 {\displaystylet=0} 及 t = 1 {\displaystylet=1} 時的數值，而初值问题的條件會是 t = 0 {\displaystylet=0} 時的 y ( t ) {\displaystyley(t)} 及 y ′ ( t ) {\displaystyley'(t)} 之值。

若鐵棒的一端為絕對零度，另一端溫度為水的凝固點，要找到鐵棒溫度隨位置的變化即為一個边值问题。

若問題和時間和空間都有關，边界條件需為某一個特定點下所有時間對應的值，以及某一個特定時間時所有位置對應的值。

以下是一個边值问题的例子 y ″ ( x ) + y ( x ) = 0 {\displaystyley''(x)+y(x)=0\,} 要求解滿足以下邊界條件的函數 y ( x ) {\displaystyley(x)} y ( 0 ) = 0 ,   y ( π / 2 ) = 2. {\displaystyley(0)=0,\y(\pi/2)=2.} 若沒有邊界條件，以上微分方程的通解是 y ( x ) = A sin ⁡ ( x ) + B cos ⁡ ( x ) . {\displaystyley(x)=A\sin(x)+B\cos(x).\,} 根據邊界條件 y ( 0 ) = 0 {\displaystyley(0)=0} ，可得 0 = A ⋅ 0 + B ⋅ 1 {\displaystyle0=A\cdot0+B\cdot1} 可以得到 B = 0 {\displaystyleB=0} 的結論。

根據邊界條件 y ( π / 2 ) = 2 {\displaystyley(\pi/2)=2} ，可得 2 = A ⋅ 1 {\displaystyle2=A\cdot1} 因此 A = 2 {\displaystyleA=2} 。

因此可以找到滿足上述邊界條件的唯一解，即為 y ( x ) = 2 sin ⁡ ( x ) . {\displaystyley(x)=2\sin(x).\,} 边值问题的種類[编辑] 一個二維熱傳的边值问题 根据条件的形式，边值条件分以下三类[1]： 第一类边值条件：也稱為狄利克雷边界条件，直接描述物理系统边界上的物理量，例如振动的弦两端与平衡位置的距离； 第二类边值条件：也稱為诺伊曼边界条件，描述物理系统边界上物理量垂直邊界的导数的情况，例如导热细杆端点的热流； 第三类边值条件：物理系统边界上物理量与垂直邊界导数的线性组合，例如，细杆端点的自由冷却，温度、热流均不确定，但是二者的关系确定，即可列出二者线性组合而成的边值条件。

边值条件也可以根據边值问题對應的微分算子來分類：若是使用椭圆算子，則問題為椭圆边值问题；使用雙曲線算子，則問題為雙曲線边值问题。

依微分算子還可以將問題再細分為線性及非線性等。

参考文献[编辑] ^QiangWangGuodingLiKeGong.電磁場理論基礎.台北:五南圖書出版股份有限公司.2003:p88[2010-09-23]. 引文格式1维护：冗余文本(link) 参见[编辑] 相關數學概念 初值問題 微分方程 格林函數 隨機過程和邊界值問題（英语：Stochasticprocessesandboundaryvalueproblems） Sturm-Liouville理論 狄利克雷边界条件 诺伊曼边界条件 Robin边界条件（英语：Robinboundarycondition） 索末菲輻射條件（英语：Sommerfeldradiationcondition） 柯西邊界條件 混合邊界條件（英语：Mixedboundarycondition） 物理應用 波 正交模（英语：normalmode） 靜電學 拉普拉斯方程 位勢論 大氣中無線電波衰減計算（英语：Computationofradiowaveattenuationintheatmosphere） 黑洞 完美熱接觸（英语：Perfectthermalcontact） 數值運算 打靶法 直接多重打靶法（英语：directmultipleshootingmethod） 规范控制 BNF:cb11942188p(data) FAST:837122 GND:4048395-2 LCCN:sh85016102 NDL:00567211 NKC:ph135575 SUDOC:027364100 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=边值问题&oldid=63703070” 分类：​微分方程边界条件隐藏分类：​引文格式1维护：冗余文本包含BNF标识符的维基百科条目包含FAST标识符的维基百科条目包含GND标识符的维基百科条目包含LCCN标识符的维基百科条目包含NDL标识符的维基百科条目包含NKC标识符的维基百科条目包含SUDOC标识符的维基百科条目 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 العربيةCatalàČeštinaDeutschEnglishEspañolفارسیFrançaisעבריתMagyar日本語한국어NorsknynorskPolskiPortuguêsРусскийSvenskaTürkçeУкраїнська 编辑链接