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连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。

注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

分数微积分 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 数学上，分數微積分（fractionalcalculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子 D = d d x {\displaystyleD={\frac{d}{dx}}} 和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。

在这个上下文中，幂指反复应用，和 f 2 ( x ) = f ( f ( x ) ) {\displaystyle\,f^{2}(x)=f(f(x))} 中的平方意义相同。

例如，可以提出如何解释如下符号的问题 D = D 1 2 {\displaystyle{\sqrt{D}}=D^{\frac{1}{2}}} 作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的， D n {\displaystyleD^{n}} 对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。

讨论这个问题有几个原因。

一个是，这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。

连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。

注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

目录 1歷史緣由 2试探法 3分数微分在一个简单函数上的应用 4拉普拉斯變換 5分數階積分 6分數階微分 7应用 8相關條目 9参考文献 10外部链接 歷史緣由[编辑] 在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。

這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。

分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。

該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(OliverHeaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。

分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

试探法[编辑] 一个很自然的想法是问，是否存在一个算子 H {\displaystyleH} 起到半导数的作用，即使得： H 2 f ( x ) = D f ( x ) = d d x f ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyleH^{2}f(x)=Df(x)={\frac{d}{dx}}f(x)=f'(x)} 结论是：这样的算子是存在的，对于任意 a > 0 {\displaystylea>0} ,存在一个算子 P {\displaystyleP} ,满足： ( P a f ) ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle(P^{a}f)(x)=f'(x)} ， 或者换一个说法, d n y d x n {\displaystyle{\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}}} 的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n. 在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上.Γ函數的定义如下： n ! = Γ ( n + 1 ) {\displaystylen!=\Gamma(n+1)} ， 假设对函数 f ( x ) {\displaystylef(x)} ( x > 0 ) {\displaystyle(x>0)} 在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J: ( J f ) ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle(Jf)(x)=\int_{0}^{x}f(t)\;dt} 重复这个过程，可得： ( J 2 f ) ( x ) = ∫ 0 x ( J f ) ( t ) d t = ∫ 0 x ( ∫ 0 t f ( s ) d s ) d t {\displaystyle(J^{2}f)(x)=\int_{0}^{x}(Jf)(t)dt=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t}f(s)\;ds\right)\;dt} , 这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即： ( J n f ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle(J^{n}f)(x)={\frac{1}{(n-1)!}}\int_{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt} 我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用 Γ {\displaystyle\Gamma} 函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。

我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式 ( J α f ) ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t {\displaystyle(J^{\alpha}f)(x)={\frac{1}{\Gamma(\alpha)}}\int_{0}^{x}(x-t)^{\alpha-1}f(t)\;dt} 这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系 ( J α ) ( J β ) f = ( J β ) ( J α ) f = ( J α + β ) f = 1 Γ ( α + β ) ∫ 0 x ( x − t ) α + β − 1 f ( t ) d t {\displaystyle(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f={\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}}\int_{0}^{x}(x-t)^{\alpha+\beta-1}f(t)\;dt} 这个性质叫微分积分算符的半群性。

然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

分数微分在一个简单函数上的应用[编辑] 函数 f ( x ) = x {\displaystylef(x)=x} （蓝色线条）的半导数（紫色线条）以及一阶导数（红色线条） 這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x（藍色），結果（綠色）在一般的積分（α=−1:y=x2/2，紫色）及一般的一次微分（α=+1:y=1，紅色）間連續變化。

假设有一个函数 f ( x ) = x k {\displaystylef(x)=x^{k}\;} 。

它的一阶导数一般是： f ′ ( x ) = d d x f ( x ) = k x k − 1 {\displaystylef'(x)={\dfrac{d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\;} 。

重复这一过程，得到更一般的结果： d a d x a x k = k ! ( k − a ) ! x k − a {\displaystyle{\dfrac{d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac{k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\;} ，将阶乘用伽玛函数替换，可得： d a d x a x k = Γ ( k + 1 ) Γ ( k − a + 1 ) x k − a {\displaystyle{\dfrac{d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}}x^{k-a}\;} 。

当k=1,并且a=1/2时我们可以得到函数 x {\displaystylex} 的半导数： d 1 2 d x 1 2 x = Γ ( 1 + 1 ) Γ ( 1 − 1 2 + 1 ) x 1 − 1 2 = 1 ! Γ ( 3 2 ) x 1 2 = 2 x 1 2 π {\displaystyle{\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}x={\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-{\frac{1}{2}}+1)}}x^{1-{\frac{1}{2}}}={\dfrac{1!}{\Gamma({\frac{3}{2}})}}x^{\frac{1}{2}}={\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}}} 。

重复这一过程，得： d 1 2 d x 1 2 2 π − 1 2 x 1 2 = 2 π − 1 2 Γ ( 1 + 1 2 ) Γ ( 1 2 − 1 2 + 1 ) x 1 2 − 1 2 = 2 π − 1 2 Γ ( 3 2 ) Γ ( 1 ) x 0 = 2 π x 0 2 π 0 ! = 1 {\displaystyle{\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}2\pi^{-{\frac{1}{2}}}x^{\frac{1}{2}}=2\pi^{-{\frac{1}{2}}}{\dfrac{\Gamma(1+{\frac{1}{2}})}{\Gamma({\frac{1}{2}}-{\frac{1}{2}}+1)}}x^{{\frac{1}{2}}-{\frac{1}{2}}}=2\pi^{-{\frac{1}{2}}}{\dfrac{\Gamma({\frac{3}{2}})}{\Gamma(1)}}x^{0}={\dfrac{2{\sqrt{\pi}}x^{0}}{2{\sqrt{\pi}}0!}}=1} ，这正是期望的结果： ( d 1 2 d x 1 2 d 1 2 d x 1 2 ) x = d d x x = 1 {\displaystyle\left({\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}{\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}}\right)x={\dfrac{d}{dx}}x=1} 。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。

举个例子， ( 1 + i ) {\displaystyle(1+i)} 阶导数作用后， ( 1 − i ) {\displaystyle(1-i)} 阶导数再作用，可以得到二阶导数。

同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当 0 < α < 1 {\displaystyle0