乘積法則- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

關於組合數學的計數原理，請見「乘法原理」。

... 一元微分顯示▽ ... 其中n是一個正整數（該公式即使當n不是正整數時也是成立的，但證明需要用到其它方法）。

乘積法則 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋   關於組合數學的計數原理，請見「乘法原理」。

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若已知兩個可導函數 f , g {\displaystylef,g} 及其導數 f ′ , g ′ {\displaystylef',g'} ，則它們的積 f g {\displaystylefg} 的導數為： ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle(fg)'=f'g+fg'\,} 這個法則可衍生出積分的分部積分法。

目次 1萊布尼茲的發現 2例子 3證明一：利用面積 4證明二：使用對數 5證明三：使用導數的定義 6推廣 7應用 8參見 萊布尼茲的發現[編輯] 人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲，以下是他的論述：設u(x)和v(x)為x的兩個可導函數。

那麼，uv的微分是： d ( u ⋅ v ) = ( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) − u ⋅ v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v . {\displaystyle{\begin{aligned}d(u\cdotv)&{}=(u+du)\cdot(v+dv)-u\cdotv\\&{}=u\cdotdv+v\cdotdu+du\cdotdv.\end{aligned}}} 由於du·dv的可忽略性（法語：Négligeabilité），因此有： d ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u + u ⋅ d v {\displaystyled(u\cdotv)=v\cdotdu+u\cdotdv\,} 兩邊除以dx，便得： d d x ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u d x + u ⋅ d v d x {\displaystyle{\frac{d}{dx}}(u\cdotv)=v\cdot{\frac{du}{dx}}+u\cdot{\frac{dv}{dx}}} 若用拉格朗日符號來表達，則等式記為 ( u ⋅ v ) ′ = v ⋅ u ′ + u ⋅ v ′ . {\displaystyle(u\cdotv)'=v\cdotu'+u\cdotv'.\,} 例子[編輯] 假設我們要求出f(x)=x2sin(x)的導數。

利用乘積法則，可得f'(x)=2xsin(x)+x2cos(x)（這是因為x2的導數是2x，sin(x)的導數是cos(x)）。

乘積法則的一個特例，是「常數因子法則」，也就是：如果c是實數，f(x)是可微函數，那麼cf(x)也是可微的，其導數為(c×f)'(x)=c×f'(x)。

乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。

證明一：利用面積[編輯] 假設 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , {\displaystyleh(x)=f(x)g(x),\,} 且f和g在x點可導。

那麼： h ′ ( x ) = lim w → x h ( w ) − h ( x ) w − x = lim w → x f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) w − x . ( 1 ) {\displaystyleh'(x)=\lim_{w\tox}{h(w)-h(x)\overw-x}=\lim_{w\tox}{f(w)g(w)-f(x)g(x)\overw-x}.\qquad\qquad(1)} 現在，以下的差 f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) ( 2 ) {\displaystylef(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad\qquad(2)} 是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為： f ( w ) ( g ( w ) − g ( x ) ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) ) . ( 3 ) {\displaystylef(w){\Bigg(}g(w)-g(x){\Bigg)}+g(w){\Bigg(}f(w)-f(x){\Bigg)}.\qquad\qquad(3)} 因此，(1)的表達式等於： lim w → x ( f ( w ) ( g ( w ) − g ( x ) w − x ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) w − x ) ) . ( 4 ) {\displaystyle\lim_{w\tox}\left(f(w)\left({g(w)-g(x)\overw-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x)\overw-x}\right)\right).\qquad\qquad(4)} 如果(5)式中的四個極限都存在，則(4)的表達式等於： ( lim w → x f ( w ) ) ( lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x ) + ( lim w → x g ( w ) ) ( lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x ) . ( 5 ) {\displaystyle\left(\lim_{w\tox}f(w)\right)\left(\lim_{w\tox}{g(w)-g(x)\overw-x}\right)+\left(\lim_{w\tox}g(w)\right)\left(\lim_{w\tox}{f(w)-f(x)\overw-x}\right).\qquad\qquad(5)} 現在： lim w → x f ( w ) = f ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}f(w)=f(x)\,} 因為當w→x時，f(x)不變； lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x = g ′ ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}{g(w)-g(x)\overw-x}=g'(x)} 因為g在x點可導； lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x = f ′ ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}{f(w)-f(x)\overw-x}=f'(x)} 因為f在x點可導；以及 lim w → x g ( w ) = g ( x ) {\displaystyle\lim_{w\tox}g(w)=g(x)\,} 因為g在x點連續（可導的函數一定連續）。

現在可以得出結論，(5)的表達式等於： f ( x ) g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) . {\displaystylef(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,} 證明二：使用對數[編輯] 設f=uv，並假設u和v是正數。

那麼： ln ⁡ f = ln ⁡ u + ln ⁡ v . {\displaystyle\lnf=\lnu+\lnv.\,} 兩邊求導，得： 1 f d d x f = 1 u d d x u + 1 v d d x v {\displaystyle{1\overf}{d\overdx}f={1\overu}{d\overdx}u+{1\overv}{d\overdx}v} 把等式的左邊乘以f，右邊乘以uv，即得： d d x f = v d d x u + u d d x v . {\displaystyle{d\overdx}f=v{d\overdx}u+u{d\overdx}v.} 證明三：使用導數的定義[編輯] 設 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , {\displaystyleh(x)=f(x)g(x),\,} 且f和g在x點可導。

那麼： h ′ ( x ) = lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x {\displaystyleh'(x)=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{h(x+\Delta{x})-h(x)}{\Delta{x}}}=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}}} = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) + f ( x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x {\displaystyle=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x+\Delta{x})g(x+\Delta{x})-f(x)g(x+\Delta{x})+f(x)g(x+\Delta{x})-f(x)g(x)}{\Delta{x}}}} = lim Δ x → 0 [ f ( x + Δ x ) − f ( x ) ] ⋅ g ( x + Δ x ) + f ( x ) ⋅ [ g ( x + Δ x ) − g ( x ) ] Δ x {\displaystyle=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{[f(x+\Delta{x})-f(x)]\cdotg(x+\Delta{x})+f(x)\cdot[g(x+\Delta{x})-g(x)]}{\Delta{x}}}} = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) + lim Δ x → 0 f ( x ) ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x {\displaystyle=\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}}\cdot\lim_{\Delta{x}\to0}g(x+\Delta{x})+\lim_{\Delta{x}\to0}f(x)\cdot\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{g(x+\Delta{x})-g(x)}{\Delta{x}}}} = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} . 推廣[編輯] 若有 n {\displaystylen} 個函數 f 1 , f 2 , . . . , f n {\displaystylef_{1},f_{2},...,f_{n}} ，則： ( ∏ k = 1 n f k ) ′ = ∑ k = 1 n ( f k ′ ⋅ ∏ j = 1 j ≠ k n f j ) {\displaystyle\left({\prod_{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime}=\sum_{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot\prod_{j=1\atopj\neqk}^{n}{f_{j}}}\right)}} （萊布尼茲法則）若 f , g {\displaystylef,g} 均為可導 n {\displaystylen} 次的函數，則 f g {\displaystylefg} 的 n {\displaystylen} 次導數為： ( f ⋅ g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( k ) g ( n − k ) {\displaystyle(f\cdotg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choosek}f^{(k)}g^{(n-k)}} 其中 ( n k ) {\displaystyle{n\choosek}} 是二項式係數。

應用[編輯] 乘積法則的一個應用是證明以下公式： d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle{d\overdx}x^{n}=nx^{n-1}} 其中n是一個正整數（該公式即使當n不是正整數時也是成立的，但證明需要用到其它方法）。

我們用數學歸納法來證明這個公式。

如果n=1， d d x x 1 = lim h → 0 ( x + h ) − x h = 1 = 1 x 1 − 1 {\displaystyle{\frac{d}{dx}}x^{1}=\lim_{h\to0}{\frac{(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}} 假設公式對於某個特定的k成立，那麼對於k + 1，我們有： d d x x k + 1 = d d x ( x k ⋅ x ) = x d d x x k + x k d d x x = x ( k x k − 1 ) + x k ⋅ 1 = ( k + 1 ) x k . {\displaystyle{\begin{aligned}{d\overdx}x^{k+1}&{}={d\overdx}\left(x^{k}\cdotx\right)\\\\&{}=x{d\overdx}x^{k}+x^{k}{d\overdx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}} 因此公式對於k + 1也成立。

參見[編輯] 除法定則 倒數定則 鏈式法則 分部積分法 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=乘积法则&oldid=68974115」 分類：​乘法求導法則隱藏分類：​含有英語的條目 導覽選單 個人工具 尚未登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 繁體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 視圖 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導覽 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةBosanskiCatalàČeštinaDeutschEnglishEsperantoEspañolفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתहिन्दीMagyarBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語한국어NederlandsPortuguêsРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSlovenščinaSvenskaதமிழ்ไทยTagalogTürkçeУкраїнськаTiếngViệt 編輯連結