3.1積分的基本性質

微積分基本定理建立起微分與積分的關係，由此關係可看出，微分與積分類似兩個互為可逆的運算，如平方及開方。

若將一連續函數積分，得到一新的函數（為原來函數之不定積分） ... 微積分基本定理 　         微積分基本定理建立起微分與積分的關係，由此關係可看出，微分與積分類似兩個互為可逆的運算，如平方及開方。

若將一連續函數積分，得到一新的函數（為原來函數之不定積分），再將此新函數微分，可得回原來的函數。

如取，則 為f 之一不定積分，再經微分後得。

 a 定理.（微積分基本定理的第一部分）.設對，f在可積。

給定一 ，定義下述函數 。

則對，只要 f在x 連續，A便在x 可微，且 。

  a         上述定理指出，在適當的條件下（即 f在x 要連續），若欲將一函數積分後所得之新函數再微分，則可省卻一開始之積分過程，新函數在 x 之導數即為原來函數在x 之值。

例 1.求連續函數 f 使其滿足 。

  　a 定義. 函數F 若滿足，，便稱為函數 f在之反導數。

 a          例如，sine函數為cosine 函數在任一區間之一反導數（因 ）。

一函數之反導數並不唯一，此因若找到f 之一反導數F，則F+C，其中 C為一常數，亦為 f之一反導數。

也就是同一函數之二反導數的差為一常數。

        微積分基本定理的第一部份告訴我們，對一連續函數，經由積分，可得其一反導數。

此結果再加上任二反導數之差為一常數，便得微積分基本定理的第二部分。

 a 定理.（微積分基本定理的第二部分）. 設f在開區間上連續，且 F 為f在上之一反導數。

則對， 。

  a   ， 即 f 在 [s,x] 上之積分，若能找到f之一反導數 F，便立即可得了。

  a 例 2.以求反導數的方法求，其中為有理數。

    a 進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 微積分基本定理。

微積分講義第三章，國立高雄大學應用數學系。