常用的微分與積分公式| 學呀- 物理| 微積分、物理、數學

在上一個章節中，我們介紹了-A&S-?chap=8148jgsxfg&subj=physics-A&T-微積分的意義-A&E-，在這個章節裡，我們將會列舉出一些常見的微分與積分公式。

返回目錄頁 物理學的世界 什麼是物理？ 科學方法 測量與實驗 有效位數 物理中的數學方法 向量 物理學中的微積分 常用的微分與積分公式 直線與平面運動 速度與速率 加速度 位移、速度、加速度 自由落體 相對運動 拋物線運動 力與運動 慣性定律 力與加速度 作用力與反作用力 力圖 摩擦力 虎克定律 靜力平衡 功與能量 作功 能量與守恆 動能 重力位能 彈力位能 功率 動量與碰撞 動量是什麼？ 動量守恆 彈性與非彈性碰撞 轉動 從角位置到角加速度 轉動慣量與轉動動能 常見的轉動慣量 平行軸定理 力矩 角動量守恆 滾動 轉動與平移運動公式 圓周運動與星體運動 等速率圓周運動 萬有引力定律 衛星運動 克普勒第一定律 克普勒第二定律 克普勒第三定律 簡單機械原理 斜面原理 槓桿原理 齒輪與履帶 定與動滑輪 簡諧運動 彈簧的簡諧運動 單擺的簡諧運動 波、聲音、光 什麼是波？ 波的種類 波速、頻率、波長 聲波 共振與回聲 流體力學 液體的特性 液體壓力 浮力 流體的動力分析 表面張力 熱力學 溫度與熱 熱、比熱、溫度 物質的三相 溫度的轉移與平衡 作功與溫度 熵 熱力學第一定律準靜態過程 光的基本介紹 電磁波與光 反射作用 光與顏色 凹面鏡與凸面鏡 折射作用 凹透鏡與凸透鏡 成像公式 折射與反射的生活應用 電 電荷與起電 導體、絕緣體、半導體 靜電力 電場與電力線 導體的靜電平衡 平行板電場 電位差與電能 電容 電流與電阻 電的生活應用 電路與電路元件 串聯、並聯、等效電阻 電功與生活用電 神奇的光 薄膜干涉 單狹縫干涉 雙狹縫干涉 尚未登入 前去登入/註冊 首頁&搜尋 所有課程 分享資源 最愛課程 收藏內容 常見問題 關於學呀 線上募款 分享章節 將此章節分享到您所屬的Google教室班級中。

貢獻。

致教育 感謝以下內容貢獻者的編輯 LienzIlI NeilLu 常用的微分與積分公式 課程目錄 編輯課程 分享至Google教室 在上一個章節中，我們介紹了微積分的意義，在這個章節裡，我們將會列舉出一些常見的微分與積分公式。

以下數學式中，$x$表示變數，$n$與$a$表示常數，而$f(x)$與$g(x)$則表示$x$的函數。

而為了讓公式看起來不要太過複雜，在這個章節裡我們將會使用「$\prime$」符號來表示微分，例如：$(f(x))^\prime$就代表$f(x)$的微分，即$df(x)/dx$。

微分 加減與係數 微分式的加減可以直接分開： $$(f(x)+g(x))^\prime=f^\prime(x)+g^\prime(x)$$ 係數（必須是常數）則可以提出式子外： $$(a\cdotf(x))^\prime=a\cdotf^\prime(x)$$ 多項式 遇到多項式的微分時，可以將次數向前提，再將次數$-1$即可： $$(x^n)^\prime=n\cdotx^{n-1}$$ 乘除法 微分式的乘除法不可像加減法一樣直接分開，而是要遵循下列公式。

乘法： $$(f(x)\cdotg(x))^\prime$$$$=f^\prime(x)\cdotg(x)+f(x)\cdotg^\prime(x)$$ 除法: $$(\frac{f(x)}{g(x)})^\prime$$$$=\frac{f^\prime(x)\cdotg(x)-g^\prime(x)\cdotf(x)}{g^2(x)}$$ 連鎖律（chainrule） 微分式可以利用連鎖律進行變換，以利計算。

$$\frac{df(x)}{dx}=\frac{df(x)}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}$$ 如果將其用「$\prime$」的形式來表達，可以變成： $$f(g(x))^\prime=f^\prime(g(x))\cdotg^\prime(x)$$ 連鎖律在$f(x)$內含有根號或多重函數時十分有用，可以多加利用。

三角函數 常見的三角函數微分公式如下： $$\frac{d\sinx}{dx}=\cosx$$$$\frac{d\cosx}{dx}=-\sinx$$$$\frac{d\tanx}{dx}=\sec^2x$$ 次方與自然對數 自然底數$e$，或稱尤拉數，是一個常數，其值$e\approx2.718$。

自然對數$ln$（naturallog）則為以$e$為底的對數，也就是說，$ln(x)=log_e(x)$。

回到正題，含有$e$與$ln$的微分式具有以下特質: $$(e^x)^\prime=e^x$$$$(ln(x))^\prime=\frac{1}{x}$$ 而當$x$在指數次方時，微分法則如下： $$(da^x)^\prime=ln(a)\cdota^x$$ 積分 定積分的計算 在積分時給定上下限，也就是上一個章節提到的： $$\int_{x_1}^{x_2}dx$$ 其中的$x_1$與$x_2$，代表的是從$x_1$積分到$x_2$，因此得到的結果會是一個數值。

定積分的計算與表達方式如下：假設一函數$f(x)$，其一次微分為$f^{\prime}(x)$，則： $$\int_{x_1}^{x_2}f^{\prime}(x)dx$$$$=f(x)\Big\vert_{x_1}^{x_2}=f(x_2)-f(x_1)$$ 若是不定積分，也就是不加上述的$x_1$與$x_2$，我們的答案就不會是一個確定的數值，而是一個函數。

這裡要記得的是，必須在答案最後加上一個積分常數$C$。

$$\intf^{\prime}(x)dx=f(x)+C$$ 看似複雜的積分，其實並沒有想像的複雜。

積分的過程，其實只是一個在尋找「什麼樣的函數微分後會變這樣」的過程而已：假設我們知道$A$函數的微分是$B$，那麼如果被要求對$B$函數做積分，我們只要想辦法找到$A$函數即可。

加減與係數 積分的加減與係數運算與微分相同。

對於加減法而言，可以直接將左右拆開： $$\int(f(x)+g(x))dx$$$$=\intf(x)dx+\intg(x)dx$$ 對於係數而言，則一樣可以向前提出： $$\intaf(x)dx=a\intf(x)dx$$ 多項式 既然多項式的微分是將次數往前乘，次數$-1$，那麼與微分相反的積分，當然就是將次數$+1$，再往前除，即： $$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$ 其中$C$為不定積分時所產生的常數項。

不定積分指當積分沒有指定上下限時，積分得到的結果唯一函數，而非一個數值，因此會產生一項新的常數項。

（可以利用微分的想法思考：將常數$C$微分之後它就會消失。

）然而，以上的公式僅限於$n\not=-1$時才可使用，當$n=-1$時，公式如下： $$\int\frac{1}{x}dx=ln(x)+C$$ 變數變換 一些複雜的積分式可以利用變數變換使式子變得容易許多，假如今天我們遇到這樣一個看似複雜的式子： $$\intf(g(x))g^{\prime}(x)dx$$ 我們可以利用變數變換簡化它。

首先，由微分我們知道： $$\frac{dg(x)}{dx}=g^{\prime}(x)$$ 移項之後可得： $$g^{\prime}(x)\cdotdx=dg(x)$$ 回到剛剛的積分式$\intf(g(x))g^\prime(x)dx$，我們可以發現積分式的右半部與上面的結果相等！因此我們可以令$u=g(x)$，則上面的積分式就可以改寫成： $$\intf(u)du$$ 如此一來，積分就會變得十分簡單。

其它常見函數的積分 不管是什麼樣的函數，都可以用微分的結果倒推其積分，也就是剛剛所說的一個尋找「什麼樣的函數微分後會變這樣」的過程。

以下列出幾個常見的公式： $$\int\sin(x)dx=-\cos(x)+C$$$$\int\cos(x)dx=\sin(x)+C$$$$\inte^xdx=e^x+C$$ 上一章節 下一章節 使用者分享的影片來自YouTube。

瞭解更多。

+2  感謝內容貢獻者 此篇文章由2位使用者共同編輯而成，並且由使用者LienzIlI負責維護。

點此查看編輯者名單。

貢獻。

致教育 讓我們一同貢獻給新世代的教育在這裡分享、編輯、創建文章 分享資源 建立章節 編輯章節 互動遊戲 轉換為介面 SwitchtoInterface 取消 確認